Đưa Dạng Toàn Phương Về Dạng Chính Tắc Bằng Phương Pháp Lagrange

x 2 y 2

1 

0





4

a) Dạng toàn phương

f (x, y) 

Có thể bạn quan tâm!

• Biểu Thức Giải Tích Của Tích Hỗn Hợp
• Thuật Toán Chéo Hóa Ma Trận Cho A Là Ma Trận Vuông Cấp N.
• Thuật Toán Chéo Hóa Trực Giao Ma Trận Đối Xứng Thực
• Hình Tròn Mở, Hình Tròn Đóng (Hình Cầu Mở, Hình Cầu Đóng)
• Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 20
• Ñònh Nghóa ( Số Gia Riêng Và Số Gia Toàn Phần)

Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.

4

có ma trận

9

A 

9

0 1



0

1 

0 

b) Dạng toàn phương

f (x, y, z) x

2

4

y 2

9

z 2

16

có ma trận

 4

A  0





 0





1 0 

9 

1 



0 16 

c) Dạng toàn phương

f (x , x , x ) =

x 2  3x 2  5x 2  2x x  4x x  2x x

có ma trận

1 2 3

1 2 3 1 2 1 3 2 3

1 1 2 



A  0

2





3  1.

5



 1 

3.3. Đổi cơ sở cho dạng toàn phương

Nếu A và D lần lượt là ma trận của dạng toàn phương f trong các cơ sở E và E’, P = P(EE’) là ma trận chuyển cơ sở từ E sang E’ thì D = PTAP.

 Chú yù Thông thường khi cho một dạng tòan phương viết dưới dạng đa thức

f(x) =

n



i1

n

a ij x i x j

j1

mà không nói rõ cơ sở thì ta hiểu cơ sở được xét là cơ sở chính

tắc của Rn.

3.4. Dạng chính tắc của một dạng toàn phương

Dạng toàn phương fCT(y) gọi là chính tắc nếu trong một cơ sở B nào đó nó có

dạng

f CT (y) 

y 2 y 2

 ... y 2

1

1 1 2 2

0  0 

n n

y1 



Đặt D = 0

2 

0 , Y= y

y2  , Y T

yT

 (y

y .....y )





B 

B 1 2 n

0

0







n 



y

n 

Khi đó dạng toàn phương fCT(y) có thể viết lại dưới dạng ma trận là

1 0  0 y1 



fCT(y) = (y1 y2 … .yn) 0

2 

0 y2 

= yT Dy

 Y T DY





B B

0

y

0







n n 

Ma trận D chính là ma trân của fCT trong cơ sở B . Đặc biệt khi

λi 1 hay

λi  0 với i =1, n

thì dạng toàn phương fCTgọi là dạng chuẩn.

Cho dạng toàn phương f(x) = xTAx

 X T AX

. Giả sử có ma trận khả

E E

nghòch P sao cho PTAP = D là ma trận chéo. Thực hiện phép đổi biến X

= PY , suy ra XT = YTPT , ta được f(x) = XTAX = YTPTAPY = YTDY = yT Dy=

B B

fCT(y) . Khi đó ta nói phép đổi biến ( tuyến tính không suy biến ) X = PY đưa dạng toàn phương f về dạng chính tắc là fCT.

Nếu E = e1, e2,..., enlà cơ sở đã cho, B = v1, v2,..., vnlà cơ sở mới ứng với fCTthì

ta có

v

v

....v

(*) P

(*)

P . Dựa vào (*) ta tìm được các vectơ v , v ,

1 E 2 E

n E 

(EB) 1 2

…,vn của B.

3.5. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange

Ý tưởng của phương pháp Lagrange là từng bước đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng cách áp dụng liên tiếp nhiều lần phép đổi biến tuyến tính.

Ví dụ 4.12

Đưa dạng toàn phương f(x1,x2,x3) = xxxx x

x x

x x

về dạng

chính tắc bằng phương pháp Lagrange



Giải



f(x ,x ,x ) = 2 x 2  2x (x

x 3 )  (x

x 3 ) 2 - 2(x + x 3 )2 +5 x 2

+ 2 x 2

+ 4x x

1 2 3

1

1 2 2

2 2 2 2

2 3 2 3

= 1 2

 x  x 

x 2

3



+3 x 2

+ 2x2x3 + 32

2

x

3

2 2

= x 3 2 2

x 3 x 2 

1 2 3 2

 x1  x 2 + 3 x 2  2x 2

3 -

x 3  x 3

2 

3 9  3 2

= 1 2

 x  x 

x 2

3



+3  x 2 

x 2 72

3

x

+



3



2 

2  6

y

 x



1 1



 x 2

 x 3

2

x 3



x

 y

1 1



 y 2

1 y3

6

y

x 

1



 1  1





1 





1



6 y 

1

Đặt:  y 2 

x 2 

 x 2 

y 2 3

x 2 =  0 1

 y 2 X= PY.

2

3 x 

3 y 

 y3 

x 3 

x 3 

y33 0 0

13 



X Y



P

Phép đổi biến tuyến tính X = PY đưa dạng toàn phương f về dạng chính tắc là

fCT(y1,y2,y3) =

2y 2  3y 2 7 y 2

1 2 6 3

Ví dụ 4.13 Đưa dạng tòan phương f(x1,x2,x3) = x1x2+ x1x3+ x2x3về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange.

x1 

y1  y 2

Giải

x1 1 1

0y1 

x





2

Đổi biến lần 1: 

y1 - y 2



x 2 

=  1



 1 0 y 2 

X = P1Y

 x 3 

y3 x 3 

 0 0

1y3 



X P1 Y

Khi đó : f(x1,x2,x3) = y 2  y 2  2y y = y  y 2- y 2  y 2

Đổi biến lần 2:

1 2 1 3 1 3 2 3

z1 

y1  y3 y1 

z1  z3 y1 

1 0

 1z1 

z  y y 

z  y =  0 1

0 z Y = P Z

2 2 2

2 2 

2 2

z3 

y3 y3 

z3 y3 

 0 0

1 z3 





1 1



Y

 1



P2 Z

Suy ra : X = P1Y = P1.P2Z =  1

0

 1  1Z = PZ

0 1 



P

Phép biến đổi tuyến tính X = PZ đưa dạng toàn phương f về dạng chính tắc là

fCT(z1,z2,z3) =

z 2  z 2  z 2

1 2 3

3.6. Thuật toán đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao

Cho dạng toàn phương thực trong cơ sở chính tắc E của nlà

n n

f (x) = f (x1, x2 ,..., xn ) = a ij x i x j

i1 j1

Bước 1Viết ma trận A của f , giải phương trình det(A- λI ) = 0 để tìm các trị riêng của A .

Bước 2Nếu

λ1 , λ 2 ,..., λ k

là k trị riêng phân biệt của A thì lần lượt giải k hệ phương

x1 



trình tuyến tính (A- λ I )X = 0 với X= x2 , i  1, k

để tìm các vectơ trên cơ sở của A.

i 

x



n 

Bước 3Trực giao và chuẩn hóa các vectơ riêng cơ sở có được ở bước 2 ( chỉ cần trực giao các vectơ riêng cùng trị riêng )

Bươcù 4Nếu Y1, Y2, ….. , Ynlà các vectơ riêng cơ sở trực chuẩn của A( có được ở

bước 3 ) lần lượt tương ứng với các trị riêng λ1, λ 2,....., λ nthì đặt

x1 y1 



P =( Y1,Y2, … ,Yn) là ma trận trực giao. Khi đó với X = x2, Y = y2



x



n 



y

n 

Phép biến đổi trực giao X = PY đưa dạng toàn phương f về dạng chính tắc là fCT(y)

y

1

= λ1 2

 λ 2

y 2  ...  λ n

y 2 .

2

n

Ví dụ 4.14 Cho dạng toàn phương

f(x1,x2,x3)=

2x 2  5x 2  2x 2  4x x  2x x  4x x

1 2 3 1 2 1 3 2 3

a) Đưa dạng toàn phương f về dạng chính tắc bằng phương pháp biến đổi trực giao.

b) Áp dụng kết quả câu (a) hãy nhận dạng mặt bậc hai có phương trình trong hệ trục tọa độ Oxyz là : 2x2+ 5y2+ 2z2+ 4xy + 2xz + 4yz = 14.

Giải

2



Ma trận dạng toàn phương f là A =  2

1





2 1





5 2

2

2 

det (A -I)

= 0 

2 -

2

1

2

5 

2

1

2

2 

= 0 

( 1) 2 ( 7)

= 0 λ  1

λ  7



x1 

1 2

1x1 

0



= 1: X = x2 ,(A–1I)X = 0  2 4

2x2 = 0

x3 

 1 2

1x3 

0



x1 + 2x2 + x3 = 0 x3 = -x1 – 2x2

1 



x 

1 0 

X1  0 

1 



 1

X =  x 2

= x1 0 +x2 1 0 





 x1  2x 2 

 1

X1

 2



X



X 2  1 



2  2

x1 

- 5 2

1 x1 

0



= 7: X = x2 , (A–7I)X = 0  2  2

2 x2 

= 0

x3 

 1 2

 5x3 

0



x3 

1 

1 

x1 x3

X =  2x = x

 2 X

= 2

x2  2x3

3 

3 

3 

x3 

1 

1 



X

 Trực giao

1 

3

' 0 1  1

Đặt X '= X =  0 ;

X ' = X -  X 2 , X1  X ' =  1 - 2  0 =  1 

1 1 

2 2  X ' , X ' 1 2 



 1

1 1  2

 1 1



1 







1 ' 2 

Trị riêng tương ứng

 Chuẩn hóa Y1=

X1 =  0 



= 1

X'

1

 1 

2





 1 



Y =1 X ' = 

3 

1 

Tròrieângtươngứng 

= 1



2 ' 2 3 

X 2  1





1

2

1





Y =1X = 



3 

6



Tròrieângtươngứng 

= 7

6

3 3 

X 

3 

6 

 1  1 1 



 2 3 6 

Đặt P = (Y1Y2Y3) =  0 1 2  là ma trận trực giao.

3 6 

 1  1 1 



x1 



6

 2 3 

y1 



Với X =

x2, Y = y2, phép đổi biến trực giao X = PY đưa dạng toàn phương f về

x3 y3 



dạng chính tắc là fCT(y) = y2y2 7y2.

1 2 3

b) Thực hiện phép đổi biến trực giao

1  1 1 

x 

1 u 

1 v 1 w

2

3

2

3

6

x u 

6



3

6

y = 0 1 2 v y 

1 v 2 w

3



6 

z 

 1  1

1 w 1 1 1





z u

v w

2

3

6 

2 3 6

Suy ra: (1) 

u 2 v2 

7w 2 = 14 

u 2 + v 2 + w2 = 1.

14 14 2

Vậy mặt bậc hai đã cho là mặt Elipxôit. Các vectơ cơ sở trực chuẩn của hệ tọa độ

1 1 

 i'  i  k

mới

o' uvw

là

2

 j' 1 

2

1 1 .

3

 i j k



1 

6

 k'  i 



3 3

2 1 

6

6

j  k

Ví dụ 4.15 Cho dạng toàn phương

f(x , x )  4x2  4x2  2x x

1 2 1 2 1 2

a) Đưa dạng toàn phương f về dạng chính tắc bằng phương pháp biến đổi trực giao.

Tính Anvới A là ma trận dạng toàn phương.

b) Áp dụng kết quả câu (a) hãy nhận dạng đường bậc hai có phương trình trong hệ

trục tọa độ Oxy là :

4x2  4 y2  2xy  9

2x  3

2 y  0 .

Giải





a) Ma trận dạng toàn phương f là: A = 4 1 

 1 4

det (A -I)

= 0 

4 

1

1



4 

= 0 Trị riêng 3; 5

x1 

1 1x1 

0

x1 

1 

= 3: X = x

,(A–3I)X = 0 1

x = 0X = x x1

1

2 

2 

1 

1

x1 

 1 1 x1 

0

x2 



X 1

1

= 5: X = x

,(A–5I)X = 0 1

x

= 

X = 

x

x2 

2 

vectơ riêng cơ sở

1 

12 

vectơ riêng cơ sở

0

1

2 

1



X 2

 3 X 1 

, 5 X 2 

1

1 1  1 1

1

2

Chuẩn hóa Y1 

, Y 

2

2

1 1



2



1 1

2



-1 3 0

Đặt P =  1

1là ma trận trực giao. Khi đó P

AP = 

0

=D.

5



2

2





x1 y1 

Với X = x , Y y , phép đổi biến trực giao

2 2 





X= PY 

x1 

y1 y2

2

2

y y

2

2

x 1 2

2

đưa dạng toàn phương f về dạng chính tắc là f ( y , y )  3y2 5 y2

* Tính

An : Suy ra A = PDP-1 ,

CT 1 2 1 2

An = PD n P 1 = PD n PT

2 



1 1 1 1 

2

2

3

0 

n 

= 2 

2

2 







1

1

 0



5n 1 1 

2

2











2



1 .3n

1 .5

n 1

2



1  3n  5n

5n  3n 

2



= 

2 =  2 2 

2





1 .3n

1 .5n 1

1  5n  3n

2



3n  5n 



2

2





x u v

 2 2 

2

2



b) Đặt rồi thay vào phương trình đường bậc hai đã cho ta được

u v

v 

2

2

3u2  5v2  6u  12v  0  3[u2  2u  1]  5[v2  2v. 6 36 ]  3 36

5 25 5

 3(u  1)2  5(v 6)2 51

 (u  1)2

17

5

5 5

(v 6)2

5  1

51

25

Vậy đường bậc hai đã cho là đường elip. Các vectơ cơ sở trực chuẩn của hệ tọa độ

mới

o'uv

là





i' 





2

2

1

1

i  j

1 1 .

2

2

 j'  i  j



3.7. Định luật quán tính

Số hệ số âm và số hệ số dương trong dạng chính tắc của một dạng toàn phương không phụ thuộc vào phép biến đổi tuyến tính không suy biến (det P 0 ) để đưa dạng toàn phương đó về dạng chính tắc

3.8. Phân loại dạng toàn phương ( xác định dương, xác định âm )

3.8.1.Ñònh nghóa

i) Dạng toàn phương

ii) Dạng toàn phương

f (x)

f (x)

gọi là xác định dương nếu f(x) > 0,  x  0 . gọi là xác định âm nếu f(x) < 0,  x  0 .

iii) Dạng toàn phương

f (x)

gọi là nửa xác định dương (nửa xác định âm) nếu

f (x)  0

( f (x)  0 ) với mọi x và tồn tại x0 0

sao cho f(x0) = 0.

0

x

0

iv) Dạng toàn phương f gọi là không xác định dấu nếu tồn tại x0, 0 và f( x ') < 0.

' sao cho f(x0)>

ij

3.8.2. Ñònh nghóa Cho dạng toàn phương f(x) = XTAX , với A = a



nn

Δ1  a11 ,

Δ 2 

a11

a12

a11

, Δ3 a21

a12 a22

a13 a23

,..…, Δ k 

a11



 a1k

,…., Δ n  A

gọi

a 21

a 22

a31

a32

a33

a k1

 a kk

là các định thức con chính của A.

3.8.3. Tiêu chuẩn Syvester

Cho dạng toàn phương f(x) = XTAX . Ta có :

i) f là xác định dương Tất cả các định thức con chính của A đều dương

ii) f xác định âm 

Các định thưcù con chính cấp lẻ của A âm



Các định thức con chính cấp chẵn của A dương

y

3.8.4.Định lý Giả sử dạng toàn phương

f (x1 , x2 ,..., xn )

được đưa về dạng chính tắc

f CT

( y1 , y2

,..., yn ) =

λ1y 2  λ 2

y 2  ...  λ n 2

bằng phép đổi biến tuyến tính không suy

1

2

n

biến X = PY ( tức là det P 0). Khi đóù:

i) f xác định dương 

λ1  0, λ 2  0,...., λ n

 0 .

ii) f xác định âm 

λ1  0, λ 2  0,...., λ n  0 .

iii) f nửa xác định dương  λ1 0, λ 2 0,...., λ n 0 và

iv) f nửa xác định âm  λ1 0, λ 2 0,...., λ n 0 và

λ1.λ 2 ...λ n  0 .

λ1.λ 2 ...λ n  0 .

v) f không xác định dấu 

Trong các

giá trị1 ,2 ,.....,n vừa



có giá trị

dương, vừa

có giá trị

âm

Ví dụ 4.16 Tìm hạng và xét dấu các dạng toàn phương sau

a) f (x , x ) 4x 2  4x 2  6x x

b) f (x , x , x ) = 5x 2  5x 2  2x 2  8x x

 4x x  4x x

1 2 1

2 1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 1 3 2 3

Giải

 4 3 

a) Ma trận dạng toàn phương:

A 



 3  4

vì 1

4  0, 2

 4

3

3  7  0

 4

nên f xác định âm và hạng của dạng toàn

phương là

r( f )  2

( vì

2  7  0 )