Thuật Toán Chéo Hóa Ma Trận Cho A Là Ma Trận Vuông Cấp N.

Ánh sáng mặt trời chiếu lên mặt trụ parabol phản xạ lại qua trục tiêu điểm. Tại trục tiêu điểm, người ta đặt một ống bên trong chứa chất hấp thu tốt năng lượng mặt trời và dùng năng lượng này sản xuất điện.

Các hình trên đây là hệ thống thu năng lượng mặt trời để sản xuất điện dạng trụ parabol.

Bài 3.39Vẽ các mặt cong sau:

1) x 2 y 2  9 , 0 z  5

Chiếc xe này như một trạm rada di động gồm 1 rada dạng chảo parabol tròn xoay ở trên và 1 ra da trụ parabol ngay bên dưới.

Bài tập

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.

2) z 2 y 2  4,0 x  3

3) x y 2

4) x 2 y 2

 1,

0 z  4

4 9

5) x 2

y 2 z 

6 9

6) z  1 x 2 y 2

7) z  4 x 2 y 2 8) y x 2 z2

Bài 3.40Biết kinh độ, vĩ độ, cao độ của hai vệ tinh địa tĩnh của Việt Nam là

VINASAT-1: (132oE; 0o;35786km)

VINASAT-2: (131.8oE;0o;35786km)

Giải thích vì sao các ăngten thu sóng truyền hình K+của các hộ dân đặt nghiêng và hơi lệch về phía đông nam.

Nếu có vũ khí diệt vệ tinh (vũ khí bắn đến độ cao 35786km) thì các vệ tinh loại này dễ bị tiêu diệt vì chúng có tọa độ cố định trong không gian. Các vệ tinh di động khó bị tiêu diệt hơn nhưng cần công nghệ và chi phí cao hơn .

Chương 4

TRỊ RIÊNG-VECTƠ RIÊNG-CHÉO HÓA MA TRẬN DẠNG TOÀN PHƯƠNG

*****

Trong chương này, bạn sẽ học

-----------------------------------------------------------------------------------------

Khái niệm trị riêng, vectơ riêng, không gian riêng ma trận;

Ma trận đồng dạng, một số tính chất trị riêng;

Cách tìm trị riêng, vectơ riêng, không gian riêng;

Chéo hóa ma trận, thuật toán chéo hóa ma trận, ứng dụng;

Ma trận đối xứng và ma trận trực giao;

Thuật toán chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực;

Khái niệm dạng toàn phương, ma trận dạng toàn phương;

Dạng chính tắc của một dạng toàn phương;

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao;

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange;

Ứng dụng dạng toàn phương để nhận dạng đường và mặt bậc hai.

------------------------------------------------------------------------------------------

§1. TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG

1.1. Ñònh nghóa Cho ma trận vuông A = [aij]nxn.

i) Trị riêng của ma trận A trên  là số  sao cho det(A - I) = 0.

x1 



ii) Mọi vectơ cột X =

x2 

n( X 0) sao cho (A - I)X = 0 gọi là vectơ riêng





n 

của A ứng với trị riêng .

iii) Đa thức

f (x)

= det(xI A)

gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.

iv) Phương trình det(A - I) = 0 gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A.

v) Tập V= X n:(A - I) X = 0tạo thành một không gian con của n, gọi là

không gian riêng của A ứng với trị riêng của .

1 12

Ví du 4.1 Cho ma trận A =  3

, = 4, X = . Khi đó

5 6



det(A-I) =  3

 3

1= 0 nên = 4 là trị riêng của A.

 3

120

2

(A-4I)X =  3

= 

1 6 0

nên X = 

là vectơ riêng của A ứng với = 4.



Ví du 4.2 Tìm giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận



3 2 0

Phương trình đặc trưng của A

A2 3 0

 0 0 5

Giải

det(A-I) = 0 

3 

 2

3 

x1 

5 

= 0 (5 ) 2 (1 )  0  1  5

 Với 1 , giả sử

X x X  0là vectơ riêng, khi đó

2 

x3 

3 1 2 0

x1 0

A I X  0 2 3 1 0

x 0



 0 0 5 1x30

 2 2 0 02 2 0 02 2 0 0

2 2 0 00 0 0 00 0 4 0



 0 0 4 00 0 4 00 0 0 0

x1 a



 0

Hệ phương trình trên có vô số nghiệm x a , a .

Vậy

a1



X aa 1,



3

a  0

00

1



Vectơ riêng cơ sở tương ứng với 1 là X 1.

0

x1 

 Với 5 , giả sử X x X  0là vectơ riêng, khi đó

2 

x3 

3  5 2 0

x1 0

A I X  0 2 3  5 0

x 0



 0 0 5  5x30

2 2 0 02 2 0 0

2 2 0 0 0 0 0 0



 0 0 0 0 0 0 0 0

x1 a



Hệ phương trình trên có vô số nghiệm x a

a, b .

b



3



a10

Vậy

X a a  1 b 0, a 2 b 2  0 .

b  0 1 

 1



1



0

Các vectơ riêng cơ sở tương ứng với 5 là

Chú ý 1

2 và

 0 

X 0.

1

i) Nếu X là vectơ riêng của A ứng với trị riêng và hằng số khác 0 thì X cũng là vectơ riêng của A ứng với trị riêng của .

ii) Vectơ riêng khác vectơ 0. Các vectơ riêng của ma trận thường được viết dưới dạng cột để thuận tiện cho phép nhân ma trận.

iii) Trong định nghĩa này nếu thay tập số thực  bởi tập số phức  thì ta có trị riêng và véctơ riêng trên .

1.2 Ñònh nghóa Ma trận vuông A = [aij]nxn gọi là đồng dạng với ma trận B = [bij]nxn nếu và chỉ nếu có ma trận khả nghịch P sao cho P-1AP = B.

Ví du 4.3 Ma trận

A 4 1 





 1 4

đồng dạng với ma trận B = 3



 0

0vì tồn tại



5

1

2 2 

-1 3 0





P 1

 2

thỏa P

2



AP = 

 0

B .

5

1.3 Định lý

a) Các ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặt trưng và trị riêng.

b) Các ma trận đồng dạng có cùng định thức.

1.4 . Hệ quả Nếu 1, 2, ..., n (các giá trị này có thể trùng nhau) là các trị riêng của ma trận A = [aij]nxn thì:

i) det A = 1.2...….n

ii) 1+2 +.… +n = a11 +a22 +.... + ann

iii) k , k , . . . , k

là các trị riêng của ma trận

Ak, k là số nguyên.

n

1. 5 . Định lý Cauley – Hamilton ( một cách khác để tìm ma trận đảo)

Mỗi ma trận vuông là nghiệm của đa thức đặt trưng của nó. Tức là, nếu A =

[aij]nxn và

f (x)

= det(xI A)

thì f(A) = 0nn.

 1  2



Ví du 4.4 Cho ma trận A =  0  1

 4

Phương trình đặc trưng của A là:

0 



0 . Viết biểu thức tính A-1 theo A.



 1

Giải

det(A-I) = 0 

1 

 2

 1 

 4

 1 

= 0 3 +2 --1 = 0

Vì A là nghiệm của phương trình đặc trưng của nó nên: A3+A2–A - I = 0 . Suy ra : A(A2+A –I) = I nên A-1 = A2+A –I.

1.6. Định lý Nếu X1, X2, ..., Xmlần lượt là m vectơ riêng ứng với m trị riêng phân biệt 1, 2, ..., m(m n) của ma trận vuông A = [aij]nxn thì hệ vectơ X1, X2, ..., Xmđộc lập tuyến tính. Nói các khác, các vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau của A tạo thành một hệ vectơ độc lập tuyến tính.

BÀI TẬP

Bài 4.1 Chứng minh rằng nếu X là vectơ riêng của A ứng với trị riêng và hằng số khác 0 thì X cũng là vectơ riêng của A ứng với trị riêng của .

Bài 4.2 Chứng minh rằng nếu

X 1 , X 2

là các vectơ riêng của A ứng với trị riêng và

,là các hằng số khác 0 thỏaX 1X 2 0



A ứng với trị riêng của .

thìX 1 X 2

cũng là vectơ riêng của

Bài 4.3Chứng minh rằng nếu trên .

A a

nn

, với

aij

, thì A có không quá n trị riêng

2. 1. Ñònh nghóa

§2. CHÉO HÓA MA TRẬN

i) Ma trận D vuông cấp n gọi là gọi là ma trận chéo nếu nó có dạng:





D = 0

0 0 





2  0 

ký hiệu



dg(1, 2, ..., n)



 0 







n 

ii) Ma trận A vuông cấp n gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với ma trận chéo. Tức là có ma trận khả nghịch P sao cho P-1AP = D, với D là ma trận chéo.

2. 2. Định lý (điều kiện cần và đủ để một ma trận chéo hóa được)

Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta có:

i) A chéo hóa được khi và chỉ khi A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính.

ii) Giả sử A chéo hóa được và X1, X2, ..., Xnlà n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A lần lượt ứng với các trị riêng 1, 2, ..., n(các icó thể trùng nhau).





Đặt P = (X1X2... X2). Khi đó P-1AP = 0

0 

2 

0 



0 D







2.3. Hệ quả





n 

i) Nếu ma trận A = [aij]nxn có n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được.

ii) Nếu ứng với mỗi trị riêng bội k, A có k vécơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo hóa được.

2.4. Thuật toán chéo hóa ma trận Cho A là ma trận vuông cấp n.

Bước 1 Giải phương trình det(A - I) = 0 để tìm các trị riêng của A.

Bước 2 Nếu 1, 2, ..., klà k trị riêng phân biệt của A thì lần lượt giải k hệ phương

x1 



trình tuyến tính thuần nhất (A - iI)X = 0 với X= x2với i = 1,2,..., k để tìm các vectơ





n 

riêng độc lập tuyến tính (các vectơ riêng cơ sở) của A.

Bước 3

Nếu A có ít hơn n vectơ riêng độc lập tuyến tính thì A không chéo hóa được.