Ñònh Nghóa ( Số Gia Riêng Và Số Gia Toàn Phần)

Bài tập

Bài 1 Cho hàm số f(x,y) = xxy . Tìm f(1,2) , f(2, -3) , f(y,x)

xy

Bài 2 Tìm miền xác định của các hàm số sau:

y2  2px

1 x2 y2

a2 b2

1) z (p >0) 2) z 

Có thể bạn quan tâm!

• Đưa Dạng Toàn Phương Về Dạng Chính Tắc Bằng Phương Pháp Lagrange
• Hình Tròn Mở, Hình Tròn Đóng (Hình Cầu Mở, Hình Cầu Đóng)
• Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 20
• Định Lý Nếu Hàm Số Nhiều Biến Có Tất Cả Các Đạo Hàm Riêng Cấp K Miền D Thì Tồn Tại Vi Phân Đến Cấp K Của Hàm Số Trên Miền D.
• Định Lý 1 Giả Sử Hàm F(X,y) Thỏa 3 Điều Kiện
• Cách Tìm Cực Trị Hàm Hai Biến Dựa Vào Định Lý Điều Kiện Cần , Định Lý Điều Kiện Đủ, Tiêu Chuẩn Sylvester Vào Việc Xét Dấu Dạng Toàn Phương,

Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.

xy

xy

3) f(x,y) = + 

4) z 

1 

x

x y

1

y

z

x y

5) z lnx2y

1

4 x2 y2

6) f(x,y,z) = + + 

7) w 

R2 x2 y2 z2  1

8) w= x

x2 y2 z2 r2

a

y

b

zc

với 0 < r < R . 9) f(x,y) = ln(y2 -x)

x y  4 1x y

Bài 3Tìm miền xác định của các hàm số sau và biểu diễn hình học miền xác định đó.

y2  2x

a) z 

x2 y2 x 

b) z 

c) z 

x2 y2  4

x2 y2 xy

2 1

d) z  ln 

2 2 

e) z  arcsin x y 

f) z  ln x y .

 2x x y 

4 x2 y2

Bài 4Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) z  16 x 2 y 2

d) z = 5 – x2 – y2 , điều kiện

x 2 y 2  9

b) z 

9 x 2y 2, điều kiện

2 2

2(x y )

e) z , điều kiện 0 z  2

x 2 y 2  4

c) z = 6-x2-y2, điều kiện z 0

9

x 2 y 2

f) z  3 

, với điều kiện z 0

Bài 5Diện tích toàn phần cơ thể người ước tính theo công thức:

S (W , H )  72.H 0,725W 0,425

trong đó S là diện tích (đơn vị (đơn vị cm ).

cm 2), W là cân nặng (đơn vị kg ), H là chiều cao

a) Cho biết chiều cao và cân nặng của bạn. Tính diện tích toàn phần cơ thể bạn.

b) Nếu bạn giảm 1kg mà vẫn giữ nguyên chiều cao thì diện tích toàn phần cơ thể bạn giảm bao nhiêu?

c) Nếu bạn tăng 2kg cân nặng và tăng 1 cm chiều cao thì diện tích toàn phần cơ thể bạn tăng bao nhiêu?

d) Hãy ước tính chiều cao của một người có cân nặng 18,37kg và diện tích toàn phần

cơ thể là 0,648 m 2.

e) Bạn hãy suy nghĩ và ước đoán tập xác định hàm số này.(***)

§2. GIỚI HẠN- LIÊN TỤC

Sau khi học xong bài này, bạn có thể:

Hiểu khái niệm giới hạn kép hàm số hai biến, tính chất giới hạn.

Biết cách tính giới hạn hàm số hai biến, ba biến, n biến.

Hiểu khái niệm hàm số liên tục, tính chất hàm số liên tục.

Biết cách xét tính liên tục hàm hai biến, ba biến.

Hiểu được ý nghĩa quan trọng của hàm số liên tục trên tập đóng và bị chặn.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1- Giới hạn hàm số (giới hạn kép)

Ký hiệu

lim

x x 0

y y0

f(x, y)

hay

lim

( x, y )( xo , yo )

f(x, y)

dùng để chỉ giới hạn của hàm số

f (x, y)

khi (x, y)

dần về điểm (xo, yo)

và định nghĩa như sau đây ( L là hằng số).

 Ñònh nghóa 1Cho hàm số z = f(x,y) xác định trong miền D và (xo, yo) là điểm tụ của D.

lim

xx

ÑNdãy

f(x, y)  L 

(x n, y n)  (x 0, y0) , (x n, y n)  D

0

yy0

 Thì

dãy

f( x n , y n )

 L

Lưuý

Dãy

(x n

, y n

)  (x 0

, y0

)  lim x

n

n

xo

và lim y y

n

o

n

xn xo



yn yo

 Ñònh nghóa 2Cho hàm số z = f(x,y) xác định trong miền D và (xo, yo) là điểm tụ của D .

lim

ÑN 0

(x - x o) 2 (y - yo) 2

f(x, y)  L 

cho

trước,  0 sao cho (x, y)  D thỏa

xx0

yy0

 0 

thì

f(x, y) - L 

Chú ý Định nghĩa 1 và định nghĩa 2 là tương đương nhau.

Ví dụ 5.11

a) lim

x, y 1,2

2x  3y 1 3

vì với mỗi dãy điểm xn,yn1, 2, dãy số

fxn,yn2xn 3yn1 3 .

b) lim

x, y 0,0

2x y x y

không tồn tại vì:

Với dãy điểm M

1, 0 0, 0, dãy số

f 1 , 0 2 / n  2  2

n n 

n 

1 / n

Với dãy điểm K



0, 10, 0, dãy số



f  0, 1 1 / n 1 1.

n n 

n 

1 / n



Tính chất

 Nếu

lim

xx0

yy0

f(x, y)  A

, lim

xx0

yy0

g(x, y)  B

thì :

lim f(x, y)  g(x, y) A  B ;

xx0

yy0

lim

xx0

yy0

f(x, y) . g(x, y)  A . B

lim

f(x, y)  A

, với B 0 ;

lim f(x, y)g(x,y)  A B, 0 A ,0 B 

xx0 g(x, y) B

yy0

xx0

yy0

( điều kiện là vế phải không có dạng vô định)

f(x, y)  g(x, y),(x, y) lân cận(x 0 , y0 ) 





 Nếu  lim f(x, y)  A , lim f(x, y)  B thì A B.





xx0

yy0

xx0

yy0 

 Tính chất kẹp:



g(x, y)  f(x, y)  h(x, y),(x, y)  lân cận (x 0 , y0 ) 



Nếu 



lim g(x, y)  L

xx0

 lim h(x, y)

xx0

thì



lim

xx0

f(x, y)  L

 Nếu



lim

xx0

yy0

yy0

f(x, y)  0

thì

lim

xx0

yy0

yy0

f (x, y)  0

yy0

 Giới hạn của hàm số nếu có thì duy nhất .

 Cách tính giới hạn: Thông thường, khi tính giới hạn hàm số ta làm như sau

Nếu giới hạn không có dạng vô định thì thay giá trị các biến vào.

Áp dụng tính chất, định nghĩa của giới hạn.

Áp dụng các gới hạn cơ bản đặc biệt, vô cùng bé, vô cùng lớn.

Đổi biến.

Áp dụng quy tắc L’Hospitale khi đưa được về một biến.

Ví dụ 5.12Tính các giới hạn

3 9

2 2 2

a) lim1xy x2xy = 1  1 21212 = 3 3

x1

y2

=

x y

2 2

b) lim lim

x 2 y 2 (3  9 x 2 y 2 )

6

3 

x0 y0

9 x 2 y 2

x0 y0

x 2 y 2

c) lim (x2 + y2) sin

x

y

1

x 2 y 2

 0 ( tính chất kẹp)

vì -(x2 + y2) -(x2 + y2) sin

1

x 2 y 2

(x2+ y2), và (x 2y 2)  0

khi (x, y)  (0,0)





2 

xy x2 y. 1

d) lim 11 

 lim 11 x = e0 =1





2 

xy

x y 

xy

x y 



vì lim 1

1 x y

2



 lim 1

1 t

e

(đặt t x2 y );

lim

1  0



xy

x2 y 

t t 

xy



x

2- Hàm số liên tục

2.1-Ñònh nghóa

i) Hàm số

f (x, y)

gọi là liên tục tại điểm (x0,y0) nếu và chỉ nếu

f (x, y)

xác định tại

điểm (x0,y0) và

lim

xx0

yy0

f(x, y) =

f (xo , yo ) .

ii) Hàm

iii) Hàm

f (x, y)

f (x, y)

gọi là gián đoạn tại (x0,y0) nếu nó không liên tục tại (x0,y0).

gọi là liên tục trên tập E nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc E.

Ví dụ 5.13Xét sự liên tục của hàm

x3





f x, y x2  2 y2 ,

a

 ,

tại 0, 0.

2

Ta có f 0, 0a . Vì

x, y 0, 0

x, y 0, 0

Giải

, a const

x3

x2  2 y2

0 

x . x x

và lim 0  lim x  0

nên

x2  2 y2

x0 y0

x3

x0 y0

x

lim f x, y  lim

 0 .

2 2

x0 y0

x0 y0

 2 y



Do lim f x, y 

x 0

y0

2.2.Tính chất

f 0, 0

nên

f x, y liên tục tại 0, 0.

 Nếu f(x,y) , g(x,y) là các hàm liên tục thì:

f(x, y)  g(x, y), f(x, y).g(x, y),

f(x, y)

g(x, y)

với

g(x, y) 0

cũng là các hàm liên tục .

 Hàm hợp của hai hàm liên tục cũng là hàm liên tục .

 Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó .

Ví dụ 5.14

a) Hàm số V 1r 2h

3

là hàm số sơ cấp xác định trên R 2

nên liên tục trên

R 2 .

b) Hàm số

f (x, y) 

x y x 2 y 2

là hàm số sơ cấp xác định trên

R 2(0,0)nên liên tục trên

R 2 (0,0).

c) Hàm số

R 2 .

f x, y x2  2xy y3

2x x2 y3

là hàm số sơ cấp xác định trên R 2

nên liên tục trên

2

d) Hàm số

f x, y 

x 1

là hàm số sơ cấp xác định trên

D (x, y) R

: x  1nên

liên tục trên D .

2.3- Định lý Weierstrass

i) Nếu hàm

f (x, y)

liên tục trên tập compact E (tập đóng và bị chặn) thì

f (x, y) bò

chặn trên E . Tức là : M > 0 sao cho :

f(x, y)

 M , (x, y) E .

ii) Nếu hàm

f (x, y)

liên tục trên tập compact E thì nó đạt GTLN , GTNN trên E . Tức

là (x1,y1) E , (x2,y2) E sao cho :

GTNN = f (x1,y1) f(x,y) f (x2,y2) = GTLN , (x,y) E

 Chú yù Tính liên tục của hàm n biến (n 3) tương tự hàm hai biến.

BÀI TẬP

Bài 1Tính các giới hạn sau:

1) lim 4xy sin 1 2) lim (x2 + y2) sin 

xy

3) lim

xy

x2 y2

xy

4) lim 

xy

2

xy2

x2 y2 1 1

x0 y0

xy

5) lim x

x

y

1

x0 y2

2  4 xy2

6) lim

x0 y0

x xy

xy2

3 1 xy

1 

7) lim sin xy

x0 y0

8) lim x3 y3

x y

x1 2 2

y1

9) lim

xy2

10)

lim x y

x y

x0 2 2

y0

11) lim (1+ x ) y

x2 2

y

x y

12) lim x(cos(xy))

xy

x

13) lim

x0 2

y0

y

xy

y2

14)

xy

x

lim

x0 y0

y

x2 y

2

4 y2

x y

15) lim xy

16) lim 1xy x2xy

x0 y0

Bài 2Xét sự liên tục của các hàm số sau:

x0 y2

y2  2x

1) z lnx2 y

3) z 

4 x2 y2

2) z  ln x2y  1

x2 y2

nếu x,y, 



4) z x2 y2

0





0 0

nếu x,y0,0



xy2

khi (x,y) (0,0)

Bài 3Cho

fx, yx 2 y 2

. Tìm hằng số a để f(x,y) liên tục tại (0,0).

a



khi (x,y) (0,0)

Bài 4Cho hàm số : f(x,y)

(x 2 y 2) x2y2



khi

(x, y)  (0,0)

 A

khi

(x, y)  (0,0)

Xác định hằng số A để f(x,y) liên tục tại (0,0).

)

 x 3  y3

Bài 5 Cho hàm số f(x,y) =

cos(

 x 2

 y 2

khi

(x, y)  (0,0)

A

khi

(x, y)  (0,0)

Xác định hằng số A để f(x,y) liên tục trên R2.

§3. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN

Sau khi học xong bài này, bạn có thể:

Hiểu khái niệm số gia riêng, số gia toàn phần và ý nghĩa trong kỹ thuật, kinh tế,…

Hiểu khái niệm đạo hàm riêng cấp một, cấp cao hàm nhiều biến.

Tính được đạo hàm riêng cấp một, cấp hai (cấp cao) hàm nhiều biến.

Nắm vững điều kiện cần và điều kiện đủ của khả vi.

Nắm vững quan hệ giữ: khả vi, có đạo hàm riêng, liên tục.

Tính được vi phân cấp một, cấp hai hàm nhiều biến.

Biết áp dụng vi phân tính gần đúng.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1-Ñònh nghóa ( số gia riêng và số gia toàn phần)

Cho hàm số z =

f (x, y)

xác định trong miền D. Lấy các điểm (x0,y0)D, (x0+ x,y0)D,

(x0 , y0+ y ) D, (x0 + x, y0+ y ) D.

i) Ký hiệu xf(x0 , y0)

ÑN

[f(x0+ x , y0) – f(x0, y0)] gọi là số gia riêng của hàm

f (x, y)

theo biến x tại (x0, y0) .

ii) Ký hiệu yf(x0 , y0)

ÑN

[f(x0 , y0+ y

) – f(x0, y0)] gọi là số gia riêng của hàm

f (x, y)

theo biến y tại (x0, y0) .

iii) Ký hiệu f(x0 , y0)

ÑN

[f(x0 + x, y0+ y

) – f(x0, y0)] gọi là số gia toàn phần của hàm

f (x, y)

tại điểm (x0,y0).

Ví dụ 5.15Cho hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas



2 1

Q(K , L) 120.K 3 L 3

sản phẩm (Q là số sản phẩm, K là vốn, L là lực lượng lao động )

2 1

2 1

Giả sử

K  0

và

L  0 , khi đó:

Số gia riêng theo vốn

K Q(Ko , Lo )

= 120.(Ko K ) 3 Lo 3 -

120K o 3 Lo 3 =

1 2 2

120.Lo3[(KoK ) 3Ko3] là lượng sản phẩm tăng lên khi tăng vốn một lượng K

2 1

2 1

từ

K o lên

K o K

và giữ nguyên lực lượng lao động ở mức

Lo .

Số gia riêng theo lao động

L Q(K o , Lo )

= 120.Ko 3 (Lo L) 3 -

120K o 3 Lo 3 =

2 1 1

120.Ko3[(LoL) 3Lo3] là lượng sản phẩm tăng lên khi tăng lực lượng lao động

2 1 2 1

một lượng L

từ

Lo lên

Lo L

và giữ nguyên vốn ở mức

K o .

Số gia toàn phần

Q(Ko , Lo ) =

120.(KoK ) 3(LoL) 3-120.K o3Lo3là lượng sản

phẩm tăng lên khi tăng vốn một lượng K

từ

K o lên

K o K

và tăng lực lượng lao

động một lượng L

2-Ñònh nghóa

từ

Lo lên

Lo L .

Cho hàm số z f (x, y) xác định trên tập mở D và (xo, yo) D .

x

0

i) Đạo hàm riêng của hàm số z =

f (x, y)

theo biến x tại điểm (x0,y0) được ký hiệu là

x

f (x

x 0

, y0 ) ,

z (x

x 0

, y0

) , f ' (x

, y0

) hay z'

(x 0

, y0

) , và được định nghĩa như sau

f (x

x 0

, y0 ) 

lim

Δx0

f(x 0  Δx, y0 )  f(x 0 , y0 ) Δx

= f ' (x

, y0 )

(Điều kiện:giới hạn này tồn tại hữu hạn)

x

y

0

0

ii) Đạo hàm riêng của hàm z = f(x,y) theo biến y tại điểm (x0,y0) được ký hiệu là

f (x

y 0

, y0 ) ,

z (x

y 0

, y 0

) , f ' (x

, y0 ) ,

z' (x

, y0

) , và được định nghĩa như sau

y

0

f(x

, y )  lim

f(x 0 , y0  Δy

)  f(x 0 , y0 ) =

f ' (x

, y )

(Điều kiện:giới hạn này tồn tại hữu hạn)

y 0 0

Δy0 Δy

y 0 0

iii) Hàm số z =

f (x, y)

gọi là có đạo hàm riêng trong tập mở D nếu tồn tại các đạo hàm

riêng

 Chú yù

f ,f

x y

tại mọi điểm (x, y) D .

Đạo hàm riêng của hàm n biến (n 3) được định nghĩa tương tự như hàm hai biến.

Khi tính đạo hàm riêng của một hàm theo biến số nào thì ta xem như hàm số chỉ phụ thuộc vào biến số đó, tất cả các biến còn lại là hằng số.

Các qui tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm một biến vẫn đúng với đạo hàm riêng.

Trong trường hợp giới hạn trong định nghĩa trên không tồn tại thì ta nói đạo hàm riêng của hàm số(theo biến tương ứng đó) không tồn tại.