Hình Tròn Mở, Hình Tròn Đóng (Hình Cầu Mở, Hình Cầu Đóng)

5  4



 2



b) Ma trận dạng toàn phương:

A  4 5



 2 2

2 

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.



2 

 4  2

vì 1

 5  0, 2  4

 4  9  0 , 

5 3

 4 5

 2 2

2 = 10 > 0

nên f xác định dương và hạng của dạng toàn phương là r( f )  3 ( vì 3 10  0 )

Ví dụ 4.17 Hãy xác định tham số m để dạng toàn phương sau đây xác định dương:

f (x , x

, x ) =

2x 2  (m  1)x 2  5x 2  2x x

 4x x

1 2 3

2 1



2 3

Giải

2



1 2 1 3 2 3

Ma trận dạng toàn phương:

A  1





m  1 2





f xác định dương các định thức con chính 1 0, 2 0, 3 0



1

 2  0, 2





 1

 2 1

m  1

 2m  1  0

m 1



 1

3

2

m  1

2  6m  1  0

Ví dụ 4.18 Hãy xác định tham số m để dạng toàn phương sau đây xác định âm:

f (x , x

, x ) =

 2x 2  5x 2 mx 2  4x x

 4x x

 8x x

1 2 3

Giải

1 2 1 3 2 3

Ma trận dạng toàn phương:

 2  2 2 



A  2  5 4 





f xác định âm các định thức con chính 1 0, 2 0, 3 0



1

2  0, 

 2

 2

 2  6  0

 5





 2



 2

3

2

 2 2

 5 4

4 m

 6m  20  0

m 10

Ví dụ 4.19 Tùy theo giá trị tham số m (với phương sau

m  1), tìm hạng và xét dấu dạng toàn

f (x , x , x ) = 6x 2 x 2 mx 2  4x x

 4x x  2x x

1 2 3

6 2



2 3

Giải

2 



1 2 1 3 2 3

Ma trận dạng toàn phương:

A  2 1 1 





1 

vì 1

 6  0, 2 2

6 2

2  2  0 ,  2 1

1 3

2 1

1 = 2m  2  0

(vì

m  1)

Hạng của dạng toàn phương là

r( f )  3

(vì

3  2m  2  0 )

Trường hợp

m  1 : 1 6  0, 2 2  0, 3  2m  2  0 nên f xác định dương

Trường hợp

m  1 : 1  6  0, 2  2  0, 3  2m  2  0

nên f không xác định

dấu (Vì 13  0 nên f không xác định dương cũng không xác định âm và có hạng bằng 3 nên f

không xác định dấu).

BÀI TẬP

Bài 4.8Với mỗi dạng toàn phương f hãy làm các việc sau: Đưa dạng toàn phương f về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange, tìm hạng và xét dấu dạng toàn phương f.

a) f(x1, x2, x3) = xxxx x x x



b) f(x1, x2, x3) = xxxx x x x x x



c) f(x1, x2, x3) =

x 2  5x 2  4x 2  2x x  4x x

1 2 3 1 2 1 3

d) f(x1, x2, x3) =

2x 2  2x 2  5x 2  2x x  4x x  4x x

1 2 3 1 2 1 3 2 3

Bài 4.9Trong mỗi trường hợp sau, hãy xác định tham số m để dạng toàn phương xác định dương.

a) f(x1, x2, x3) =

2x 2 x 2  3x 2  2mx x  2x x

1 2 3 1 3 2 3

b) f(x1, x2, x3) =

x 2 x 2  5x 2  2mx x  2x x  4x x

1 2 3 1 2 1 3 2 3

c) f(x1, x2, x3) =

x 2  5x 2 x 2  2x x  2mx x  4x x

1 2 3 1 2 1 3 2 3

e) f(x1, x2, x3) =

x 2 x 2  5x 2  4mx x  2x x  4x x

1 2 3 1 2 1 3 2 3

Bài 4.10Với mỗi dạng toàn phương f hãy làm các việc sau: Đưa dạng toàn phương f về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao, tìm hạng và xét dấu dạng toàn phương f.

1) f(x1, x2) = xxx x



2) f(x1, x2, x3) = xxxx x x x x x



3) f(x1, x2, x3) = xxxx x x x x x



4) f(x1, x2, x3) = xxxx x x x



5) f(x1, x2, x3) = xxxx x x x



6) f(x1, x2, x3) = xxxx x x x x x



7) f(x1, x2, x3) = xxxx x x x x x



8) f(x1, x2, x3) =

2x 2  2x 2  5x 2  2x x  4x x  4x x

1 2 3 1 2 1 3 2 3

9) f(x1, x2, x3) = xx xxx x

Bài 4.11Nhận dạng và vẽ các đường bậc hai sau:

a) 11x2 +24xy +4y2 = 15

b) 5x2 - 4xy +8y2 = 36

Bài 4.12Nhận dạng các mặt bậc hai sau:

c) 2x2 –4xy –y2 + 8 = 0 d) 5x2 + 4xy +5y2 = 9

a) xxxx x x x x x





b) 2x 2  5x 2  5x 2  4x x  4x x 88x x

 24

1 2 3 1 2 1 3 2 3

c) xxxx x x x x x





d) xxxx x x x





Bài 4.13Cho dạng toàn phương

f(x1, x2, x3) = 3x 2  3x 2  3x 2  2x x  2x x  2x x

1 2 3 1 2 1 3 2 3

a) Viết ma trận A của dạng toàn phương f và đưa dạng toàn phương f về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao.

b) Tìm hạng và xét dấu dạng toàn phương f.

c) Hãy đưa dạng toàn phương g(x1,x2,x3) có ma trận là A-1 về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao.

c) Hãy đưa dạng toàn phương h(x1,x2,x3) có ma trận là ATvề dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao.

Bài 4.14Cho dạng toàn phương f = XTAX .

a) Chứng minh rằng nếu f xác định dương thì dạng toàn phương có ma trận là A-1 cũng xác định dương.

b) Chứng minh rằng nếu f xác định dương thì dạng toàn phương có ma trận là Ak, với k là số nguyên dương, cũng xác định dương.

c) Chứng minh rằng nếu f xác định dương thì dạng toàn phương có ma trận là Ak, với k là số nguyên, cũng xác định dương.

Chương 5

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG

Trong chương này, bạn sẽ học

-----------------------------------------------------------------------------------------

Khái niệm không gian 2, 3, n; khoảng cách trong  n.

Khái niệm hình tròn mở, hình tròn đóng, quả cầu mở, quả cầu đóng, lân cận của một điểm.

Khái niệm điểm trong, điểm biên, điểm tụ

Khái niệm tập mở, tập đóng, tập bị chặn,liên thông,miền…;

Khái niệm hàm nhiều biến, miền xác định, miền giá trị, đồ thị;

Khái niệm đường mức, mặt mức và ứng dụng vào thực tế;

Khái niệm giới hạn hàm nhiều biến, tính chất và cách tính giới hạn;

Khái niệm hàm số liên tục, tính chất và cách xét tính liên tục;

Tính chất quang trọng hàm số liên tục trên tập đóng và bị chặn;

Khái niệm số gia, đạo hàm riêng, khả vi và vi phân hàm số; hiểu được liên hệ giữa liên tục, đạo hàm riêng, khả vi;

Cách tính đạo hàm riêng, vi phân cấp một và cấp cao hàm nhiều biến;

Khái niệm hàm hợp, hàm ẩn và cách tính đạo hàm (riêng) vi phân của hàm hợp, hàm ẩn;

Khái niệm và cách tìm cực trị, cực trị có điều kiện hàm nhiều biến;

Khái niệm và cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm nhiều biến và ứng dụng vào thực tế;

Khái niệm đạo hàm theo hướng, vectơ gradient;

Tiếp tuyến và pháp diện của đường cong;

Tiếp diện và pháp tuyến mặt cong.

------------------------------------------------------------------------------------------

§0. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Sau khi học xong bài này, bạn có thể:

Hiểu khái niệm không gian 2 , 3, n; khoảng cách trong n .

Hiểu khái niệm hình tròn mở, hình tròn đóng, quả cầu mở, quả cầu đóng, lân cận của một điểm; xác định được tập các điểm trong và tập các điểm biên của một tập hợp điểm trong n.

Xác định được tập hợp đã cho có là: tập mở, tập đóng, tập bị chặn,liên thông,…

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1. Không gian Euclide n

Tập 2= (x, y) : x R, y R- thường diễn hình học là mặt phẳng (0xy) .

1 2 n i

Tập 3= (x, y, z) : x R, y R, z R- thường diễn hình học là không gian (0xyz) . Tập n = x  (x , x ,...., x ) : x  , i  1, n 

x = (x1 , x2 ,…, xn) n , y = (y1 , y2 ,…, yn) n , 

ÑN

Phép toán cộng “+” : x + y (x

+ y , x + y

, .…, x

+ y ) n

1 1 2 2 n n

ÑN

Phép toán nhân “.” :x

(x ,x ,.…,x ) n

1 2 n

Tích vô hướng: <x,y>

ÑN

x1y1+ x2y2+ .…+ xnyn(ký hiệu <x,y> hoặc xy)

ÑN

x x x

2 2

1 2

Độ dài véctơ (chuẩn véctơ, modun véctơ): x x, x =

Từ hai phép toán cộng “+” và nhân “.” ta suy ra phép trừ “-”hai véctơ như

ÑN

sau: x - y x+(-1)y = (x1 - y1, x2 - y2 , .…, xn - yn)

Tính chấtVới mọi véctơ x, y, z trong không gian Euclide nvà R, ta có:

i) x 0  x n; và x = 0 x = 0.

ii) α x  α x .

iii)  x, y 

x . y

(Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz)

Dấu “ = “ xảy ra khi x và y phụ thuộc tuyến tính (cùng phương )

iv) x y 

x y

( Bất đẳng thức tam giác )

Dấu “ = “ xảy ra khi x và y cùng chiều

v) x z 

x - y 

y - z

2. Một số khái niệm trong n

2.1. Khoảng cách trong n

Cho x = (x1, x2,…, xn) n, y = (y1, y2,…, yn) n. Khoảng cách (distance) giữa

(x y )2  (x y )  (x y )2

1 1

2 2

n n

x và y, ký hiệu d (x, y) , xác định như sau

Nếu ký hiệu

d (x, y) =

M (x1 , x2

x - y 

,..., xn )

n,

N ( y1 , y2

,..., yn )

nthì giữa x và y cũng là

(x y )2  (x y )  (x y )2

1 1

2 2

n n

khoảng cách giữa M và N MN =

x - y

d (x, y)

(ta xem như

M x  (x1 ,..., xn ) và

N y  ( y1 ,..., yn ) )

2.2. Hình tròn mở, hình tròn đóng (hình cầu mở, hình cầu đóng)

Cho điểm M 2và số r  0 .

i) Hình tròn mở tâm M bán kính r , ký hiệu

B(M , r)

hay

B(x, r) hay Br(x) , là tập

B(M , r) N R 2 : MN r

y R 2 : x y rB(x, r)

(Hình tròn môû là hình tròn không bao gồmđường tròn biên)

ii) Hình tròn đóng tâm M bán kính r , ký hiệu

B(M , r)

hay B(x, r)

hay Br(x) , là tập

B(M , r)

N R 2 : MN r

y R 2 : x y rB(x, r)

(Hình tròn đónglà hình tròn có bao gồmđường tròn biên)

iii)Lân cận: Tập

B(M ,) N R 2 : MN y R 2 :

x y

B(x,) ,

với 0 bé, gọi làlân cận điểm M haylân cận điểm x .

Tập y R 2 : 0 

điểm x .

x y

gọi làlân cận thủng của

Tương tự, nếu điểm

M x  (x1 ,..., xn )

n ( n  3

) và số

r  0

thì các tập:

B(x, r) y Rn :

x y

rgọi là quả cầu mở tâm x (hay tâm M ) bán kính r .

B(x, r)

y Rn :

x y

rgọi là quả cầu đóng tâm x (hay tâm M ) bán kính r .

B(x,) y Rn :

x y

, với 0

bé, gọi làlân cận điểm x .

Tập y Rn : 0 

x y

gọi làlân cận thủng của điểm x .

Tập

S y Rn :

x y

rgọi là mặt cầu tâm x (hay tâm M ) bán kính r .

2.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ

Cho E nvà

a  (a1 ,..., an ) ,

b  (b1 ,...,bn ) ,

c  (c1 ,..., cn

) n

Điểm a gọi là điểm trong của E nếu r > 0 sao cho

B(a, r) E.Tập tất cả các

điểm trong của E ký hiệu là E .

Điểm b gọi là điểm biên của E nếu r > 0, hình tròn mở B(b, r) chứa điểm

thuộc E và điểm không thuộc E. Tập tất cả các điểm biên của E ký hiệu là E .

Bao đóng của E, ký hiệu E , E := E E . ( Lưu yù điểm biên của E có thể không thuộc E)

Điểm c gọi là điểm tụ của E nếu r > 0 hình tròn mở thuộc E. ( Lưu yù điểm tụ của E có thể không thuộc E)

B(c, r) chứa vô số điểm

2.4 Tập mở, tập đóng, tập bị chặn, tập compăct, tập liên thông

Cho E n

Tập E gọi là tập mở nếu mọi điểm thuộc E đều là điểm trong của E.

Tập E gọi là tập đóng nếu E chứa mọi điểm biên của nó.

Tập E gọi là tập bị chặn ( giới nội) nếu R > 0 sao cho E B(0,R). Nói cách khác, E gọi là tập bị chặn nếu ta có thể bao E lại bởi một đường tròn (mặt cầu) cố định.

Tập đóng và bị chặn gọi là tập compact.

Tập E gọi là tập liên thông nếu mỗi cặp điểm “một đường liên tục” trong E nối M với N .

M , N

bất kỳ thuộc E luôn tồn tại

Tập D gọi là một miền nếu D là tập mở và liên thông. Khi đó D = D D

miền đóng hai miền kín.

Ví dụ 5.1

là

3 x 2 y2 z2 

a) Cho

E (x, y, z) R



: 

a 2 b2 c2

 1



- khối elipxôit. Khi đó, mọi điểm thuộc E

đều là điểm tụ của

2 2 2

, tập tất cả các điểm biên của là mặt elipxôit x y z ,

E E a 2

b2 c2 1

3 x 2 y2 z2 

tập các điểm trong của E là

(x, y, z) R



: 

a 2 b2 c2

 1. Tập E là tập đóng, bị



chặn, liên thông, compact, miền kín.

b) Cho

F (x, y) R 2 : y  0. Khi đó, mọi điểm thuộc F đều là điểm trong của F , tập

tất cả các điểm biên của F là đường thẳng y  0 , tập các điểm tụ của F là

(x, y) R 2: y  0F . Tập F là tập mở, liên thông, không bị chặn và là một miền.

Ví dụ 5.2

a) Hình tròn mở là một tập mở, liên thông, bị chặn và là một miền.

b) Hình tròn đóng là tập đóng, liên thông, bị chặn, compact và là một miền kín.

c) Toàn bộ không gian Rnlà tập mở, liên thông, không bị chặn.

d) Tập

E x, y, z) R3

(



: z x

y 

- khối paraboloit eliptic vô hạn về phía dương

4 

2 2

trục 0z . Khi đó, mọi điểm thuộc E đều là điểm tụ của E , tập tất cả các điểm

biên của E là mặt paraboloit eliptic vô hạn

z x y

tập các điểm trong của

3 x 2

9 4

y2 

E là

(x, y, z) R



: z 

. Tập E là tập đóng, không bị chặn, liên thông.

9 4 