Thuật Toán Chéo Hóa Trực Giao Ma Trận Đối Xứng Thực

Nếu A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính X1, X2, ..., Xnlần lượt ứng với các trị riêng 1, 2, ..., nthì A chéo hóa được. Khi đó, đặt P = (X1X2.... Xn), thì

1





P-1AP = 0

0 

2 

0 



0 = D = dg(1, 2, ..., n).







 Chú ý 2



0

0



n 

i) Khi thực hiện bước 2, nếu có trị riêng của A với số bội tương ứng r và ứng với 

ma trận A có ít hơn r vectơ riêng độc lập tuyến tính thì A không chéo hóa được.

ii) Nếu chỉ cần tìm trị riêng và vectơ riêng thì ta thực hiện bước 1 và bước 2.

Ví du 4.5 Chéo hóa ma trận

A 3



 2

2và tính



3

Anvới n là số nguyên.

det( A I )  0 

3 

2

2



3 

Giải

 0  1, 5

x1 

2 2x1 

0

1 

1 

*= 1: X = x

,

( A  1I ) X  0 

2

2x 

= 

0

X x1 

X 1 

2 

2 

 1



X1

1



x1 

 2

2 x1 

0

1

1

*= 5: X = x

,

( A  5I ) X  0 

2

 2x

= 0

X x2 1X 2 1

2 

2 



X 2

vectơ riêng cơ sở

1 

vectơ riêng cơ sở

1

 1 X 1  1, 5 X 2 





1 1

1 1 0

1

1 01

Đặt

P X 1 X 2 =  1

, ta được P

1

AP 

 0

và

5

A PP

 0 5

Suy ra

1n 0 

1 11

0  1 1

1

1 1  5n

5n  1

An P

P 1 = 

= 

0 5n 

 1

10

5n 2 1

1  2  5n  1

1  5n 



2 0 0



Ví du 4.6 Chéo hóa ma trận A 0 1 0.

2

2 

1 1

Giải

0 0

Đa thức đặc trưng:

PA 

0 1

02.12.

2

PA  0  2  1.

1 1

 Với2, giả sử

x1 

X x X  0là vectơ riêng của A , khi đó

2 

x3 

0 0 0 x1 0

A I X  0 0 1 0 x 0

2



2 1 1x30

0 0 0 02 1 1 0

0 1 0 00 1 0 0.



2 1 1 00 0 0 0

x 1 a





Nghiệm tổng quát của hệ là 





1 2

x2  0

x3 a

, a .

a 

1 

1 



Suy ra

X 2 a 2 

và vectơ riêng cơ sở ứng với

2là X

2 .

2

0 

a 

0 

1 

1 0 

1 









x1 

 Với 1 , giả sử

X x X  0là vectơ riêng của A , khi đó

2 

x3 

1 0 0x1 0



A I X  0 0 0 0x2 0

2 1 0x30

1 0 0 01 0 0 0

0 0 0 00 1 0 0.



2 1 0 00 0 0 0

x

2

x1  0

Nghiệm tổng quát của hệ là

 0 ,

x

a



3

a .

0 0

0

Suy ra

X  0 a 0và vectơ riêng cơ sở ứng với 1 là X

0.



2 

a 1

1



Vì A có 2 vectơ riêng cơ sở độc lập tuyến tính nên A không chéo hóa được.

2 0 0



Ví du 4.7 Cho ma trận A = 2 3 2

3

4

3





a) Tìm trị riêng và vectơ riêng của A.

b) Chéo hoá ma trận A và dựa vào kết quả đó tính An, với n là số nguyên.

Giải

a) det (A -I) = 0 

2 -

2

3

0

3 

3

0

2

4 



= 0 



 1

 2

 6

x1 

1 0

0x1 

0



*= 1: X =  x 2 

x 3 

, (A –I)X = 0  2 2

 3 3

2x 2 

3x 3 

= 0

0



x1 0

0 





0 







0 

x

x

X =  - x =

x  1 X

=  - 1

2 3

3 

3 

1 

x3 tùy ýR

x 3 

1 

1 





X1

x1 

0 0

0x1 

0



*= 2: X =  x 2 

x 3 

, (A –2I)X = 0  2 1

 3 3

2x 2 

2x 3 

= 0

0



x 2x 



1 2  - 2x 2 

 4

- 4

x 3 x X =  x =

x2 2 

X =  2 

3 2 2

2 

2 

2 



x 2 tùy ýR

3 x 

3

3 

2

2





x1 

 4 0

0 x1 

0



*= 6: X =  x 2 

, (A –6I)X = 0  2  3 2

x 2 

= 0

x 3 

 3 2

 2x 3 0



x1 0

 0 



0



0

2 2 

x3 

x 2 



3 x3

X = 

 3

x 3 =



2

3 3

X3 =  2

3

x3 tùy ýR

 x 3 

Vậy trị riêng và vectơ riêng tương ứng của A là

0 

vec tơ riêng cơ sở 

*= 1



X1 =  - 1

1 



*= 2

vectôrieâng cô sở X

- 4

= 2 

2 

3 

*= 6

vectôrieâng cô sở X



0

= 2

3 

3



b) Đặt P = (X X

0  4

X ) =  1 2

01

2P –1AP =  0

0 0



2 0

= D.





1 2 3 

1

3

0

6

0



3 

1 0 0



Ta có : P –1AP =  0

0









2 0

6

0 

= D A = P AP-1 An = P DP-1. P DP-1…… P DP-1

0  4

0 1 0 0 

 0  12 8 



4

5





An = P DnP-1 An =  1 2 2 0 2n 0 1

 5 0 0





20 

1







 20.2n

n 1 n n

3 30

0

n

0 6n  4 

0





n

A =  10.2  10.6

12  8.6

 8  8.6 





20  15.2n  15.6n

 12  12.6n

8  12.6n 

2.4. Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực

2.4.1. Ñònh nghóa

i) Ma trận vuông A = [aij]nxn gọi là ma trận đối xứng nếu AT= A ( tức là aij= aji

với i  1, n và j  1, n ).

ii) Ma trận vuông A = [aij]nxn gọi là ma trận trực giao nếu AT= A-1 (tức là

n

AT A I AAT ).

2.4..2. Định lý Ma trận thực A = [aij]nxn là ma trận trực giao khi và chỉ khi các vectơ hàng (hay các vectơ cột) của A là hệ vectơ trực chuẩn(theo tích vô hướng Euclide trong n).

Ví du 4.8

 3 2



 2



 1 1 

2

1

2



a) A =  2 4 1 

là ma trận đối xứng. b) A =  1 là ma trận trực giao.

 2 1 5 



2





2

2.4.3 -Định lý Nếu A = [aij]nxn là ma trận đối xứng thực vuông cấp n thì:

i) Tất cả các trị riêng của A đều là số thực.

ii) Các vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau của A thì trực giao (theo tích vô hướng Euclide trong n).

iii) Nếu là trị riêng bội k của A (tức là là nghiệm bội k của phương trình đặc trưng của A) thì ứng với sẽ có k vectơ riêng độc lập tuyến tính.

iv) A sẽ có n vectơ riêng trực chuẩn.

v) A đồng dạng trực giao với ma trận chéo. Tức là, tồn taiï ma trận trực giao P sao cho

P-1AP = D là ma trận chéo. Ma trận P là ma trận gồm các cột là các vectơ riêng trực chuẩn của A. Khi đó ta nói A chéo hóa trực giao được.

2.4..4 Thuật toán chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực

Cho ma trận đối xứng thực A = [aij]nxn.

Bước 1Giải phương trình det(A - I) = 0 để tìm các trị riêng của A.

Bước 2Nếu 1, 2, ..., klà trị riêng phân biệt của A thì lần lượt giải k hệ phương

trình thuần nhất (A -iI)X = 0 với i  1, k để tìm n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A.

Bước 3Trực giao và sau đó chuẩn hóa các vectơ riêng độc lập tuyến tính có được ở

bước 2 (chỉ cần trực giao các vectơ riêng cùng trị riêng).

Bước 4Nếu Y1, Y2, ..., Ynlà n vectơ riêng trực chuẩn (có được ở bước 3) lần lượt ứng với các trị riêng 1, 2, ..., nthì ta đặt ma trận P = (Y1, Y2, ..., Yn).

1





Khi đó P là ma trận trực giao (PT= P-1) và: P-1AP = 0



Có thể bạn quan tâm!

• / Một Vật Có Khối Lượng M Được Đặt Ở Cuối Lò Xo Và Kéo Theo Hướng Thẳng Đứng Về Phía Dưới Rồi Thả Ra, Thì Hệ Vật Và Lò Xo Sẽ Bắt Đầu
• Biểu Thức Giải Tích Của Tích Hỗn Hợp
• Thuật Toán Chéo Hóa Ma Trận Cho A Là Ma Trận Vuông Cấp N.
• Đưa Dạng Toàn Phương Về Dạng Chính Tắc Bằng Phương Pháp Lagrange
• Hình Tròn Mở, Hình Tròn Đóng (Hình Cầu Mở, Hình Cầu Đóng)
• Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 20

Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.



= D.



0



Ví du 4.9 Cho ma trận A =  1

1





1 1





0 1

0

1 



0



a) Chéo hóa trực giao ma trận A.

b) Chéo hóa trực giao ma trận Ak , với k là số nguyên.

Giải

-1 1

a) det (A -I)

= 0 1

1

1

1 

= 0 

( 1)2 ( 2) = 0 λ 1

 λ  2



x1 

11

1x1 

0



= -1: X= x2 , (A +1I)X = 0 1

1 1x2 

= 0

x3 = -x1 – x2

x3 

1 1

1x3 

0



1 

X  0 

x1 1 0 

1 



 1

Suy ra X = x 2

= x1 0 +x2 1 0 



x1 x 2 

 1

 1

X



X1 2

X 2  1 

 1



x1 

- 2 1

1 x1 

0



= 2: X = x2 , (A–2I)X = 0 1  2

1 x2 

= 0

x3 

1 1

 2x3 

0





x3 



1

1

x1 x3

x 

x x

X = 

3 = x3 1 X3 = 1

2 3

x3 

1

1



X3

1 

' 0 

1 12 

 Trực giao Đặt X '= X

=  0 ;

X ' = X

-  X 2 , X1 X ' = 1 

- 1 0 = 1 

1 1 

2 2  X ' , X ' 1 

2 

 1

1 1  1

 1

1 



1 

2 



1 ' 2 

Trị riêng tương ứng

 Chuẩn hóa: Y1=

X1 =  0 



= -1

X'

1

2 



 1 

 1 



Y =1 X ' = 

6 

2 

Tròrieângtươngứng = -1



2 ' 2 6 

X 2  1





1

1

1





Y =1X = 



6 

3



Tròrieângtươngứng = 2

3

3 3 

X 

3 

3 

 1  1 1 



 2 6 3 

Đặt P = (Y1Y2Y3) =  0 2 1  là ma trận trực giao.

6 3 

 1  1 1 



3

2



6 

 1 0 0



Khi đó P –1AP =  0

0









 1 0

2

0 

= P TAP.

b) Từ kết quả câu a) ta có :

 1 0

0k

 (1)k 0 0 

–1 k

-1 1

1 k 

P A P =

PAP.PAP........PAP

klần

=  0

0





 1 0=  0

2





0  0

(1) 0

0 

2

k 



Ma trận làm chéo hóa Akcũng là ma trận P.

BÀI TẬP

Bài 4.4Tìm trị riêng thực và cơ sở của các không gian riêng tương ứng của các ma trận sau đây



1 0

 1

2 1

a) A = b) A =  1 2c) A = d) A =  0 1 1 



0









 1 1 

Bài 4.5Chéc hóa các ma trận

















a) A = 

b) A = 

c) A = 















d) A = 

e) A = 



f) A = 









Bài 4.6Cho các ma trận:















a) A = 5 1

1 5

b) A =









c)A = 







d) A =

e) A = 

Chéo hoá trực giao ma trận A và tính Anvới n là số nguyên.

5  6



 6





Bài 4.7Cho ma trận A = 1 4 2 = A

 4

3





 6 

a) Tìm trị riêng , vectơ riêng của A.

b) Chéo hoá ma trận A. Chéo hóa An. Tính Anvới n là số nguyên.

Đ3. DAẽNG TOAỉN PHệễNG

3.1 . Ñònh nghóa Một dạng toàn phương thực

f (x1 , x2 ,..., xn )

của n biến

(x1 , x2 ,..., xn )

là một đa thức đẳng cấp bậc hai theo các biến x1, x2,..., xn. Tức là nó có dạng

n n

f (x) = f (x1, x2 ,..., xn ) = a ij x i x j

i1 j1

với aij = aji , i= 1, n

và j=1, n

Ví dụ 4.10

2

a) f (x, y) x

4

y 2

9

là dạng toàn phương theo hai biến

x, y.

2

b) f (x, y, z) x

4

y 2

9

z 2

16

là dạng toàn phương theo ba biến

x, y, z.

c) f (x , x , x ) = xxxx x

x x x x

là dạng toàn phương theo ba biến

1 2 3

x1 , x2 , x3 .





3.2 . Ma trận của dạng toàn phương

n n

Cho dạng toàn phương

f (x) = f (x1, x2 ,..., xn ) = a ij x i x j

i1 j1

với aij= aji. Nếu

gọi E = e1, e2,...,e nlà cơ sở chính tắc của nthì ta có

x1 

x = (x , x ,..., x

n

) = xi ei

xE 



x2 

đặt



X , XT = (x1 x2 …… xn)

1 2 n

i1









Khi đó dạng toàn phương

xn 

f (x1, x2,..., xn) có thể viết lại dưới dạng ma trận là

f (x) =

n

f (x1 , x2 ,..., xn ) = 

i1

n

a ij x i x j = X

j1

TAX

Trong đó ma trận A =

a11



a21

a12 a22

a1n 



a2n 

= [a ]

gọi là ma trận của dạng toàn



ij nxn

a





n1

an2



ann 

phương f(x1,x2, … ,xn) (ma trận của dạng toàn phương f đối với cơ sở E). Vì aij= aji nên A là ma trận đối xứng thực ( tức là AT= A).

- Hạng của ma trận A gọi là hạng của dạng toàn phương f, ký hiệu r(f).

- Dạng toàn phương f gọi là không suy biến nếu r(f) = n, dạng toàn phương f gọi là suy biến nếu r(f) < n.

Ví dụ 4.11