Phát triển tư duy biện chứng của học sinh trong dạy học Hình học ở trường trung học phổ thông

Việc lựa chọn cặp lớp TN - ĐC ở đợt TN thứ hai cũng được sự đồng ý của Ban Giám hiệu Trường THPT Trần Phú (thầy Tổ trưởng tổ toán trực tiếp dạy TN).

3.2.2. Nội dung thực nghiệm

Vào thời điểm tiến hành đợt TN thứ nhất, đang có sự thay đổi sách giáo khoa THPT, Trường THPT Trần Phú sử dụng cuốn Hình học 10 nâng cao của nhóm tác giả: Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị - Nxb Giáo dục, 2006 [83].

Vào thời điểm tiến hành đợt TN thứ hai, với khối lớp 11 cũng sử dụng cuốn Hình học 11 nâng cao của nhóm tác giả: Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê - Nxb Giáo dục, 2007 [84]. Với khối 12 do cả nước đang tiến hành thay sách giáo khoa nhưng đối với lớp 12 vẫn sử dụng sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000 của nhóm tác giả Văn Như Cương, Phan Văn Viện – Nxb Giáo dục, 2000 [4].

Mặc dù 2 đợt TN trong các năm 2007, 2008 đều diễn ra trong quãng thời gian từ tháng 01 đến tháng 4 nhưng các chủ đề kiến thức được dạy trong 2 đợt TN ấy không hoàn toàn giống nhau. Cụ thể là:

Đợt I: TN được tiến hành trong 28 tiết với chương PP tọa độ trong mặt phẳng (đây là chương III của SGK Hình học 10 nâng cao [83]).

Đợt II:

- Đối với khối 11: TN được tiến hành trong 30 tiết với nữa sau chương II (Đường thẳng và Mp trong KG. Quan hệ song song) và nữa đầu chương III

(Vectơ trong KG. Quan hệ vuông góc trong KG) của SGK Hình học nâng cao 11 [84].

- Đối với khối 12: TN được tiến hành trong 28 tiết với nữa sau chương I (PP tọa độ trong mp) và nữa đầu chương II (PP tọa độ trong KG) [4].

Trong đợt TN thứ nhất, chúng tôi cho HS làm một bài kiểm tra cuối chương. Trong đợt TN thứ hai, chúng tôi cho HS làm hai bài kiểm tra ở giữa mỗi chương và cuối chương tương ứng với mỗi khối lớp. Sau đây là nội dung các đề kiểm tra:

Đề kiểm tra đợt thực nghiệm thứ nhất (thời gian 50 phút) - Khối 10

Câu 1: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm: A(1; 2), B(1; 2), C(5;

2) theo nhiều cách khác nhau.

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho một phương trình có dạng:

x2 y 2 , với a  b. Xác định hình dạng đồ thị của phương trình trên.

a2 b2

Đề kiểm tra số I đợt thực nghiệm thứ hai (thời gian 60 phút)- Khối 11

Câu 1: Cho hai hình bình hành MNPQ và MNEF không đồng phẳng. Lấy K

thuộc MP, H thuộc NF sao cho:

MK NH KP HF

1 . Qua K, H dựng các đường thẳng

song song với MN cắt MQ, MF lần lượt tại M1, N1.

a. Chứng minh rằng: KH// QE (nêu các cách giải khác nhau)

b. Chứng minh rằng: M1N1 // (QEF)

c. Chứng minh rằng: (M1N1HK) // (QEF)

d. Nếu thay đổi giả thiết

MK NH  1

thì KH có song song với EQ không?

KP HF 2

KH có song song với (QEF) không? Vì sao?.

Câu 2: Cho hình chóp ABCD, trong mặt phẳng (ABC) lấy điểm M. Từ M dựng các đường thẳng song song với DA1, DB1, DC lần lượt cắt các mặt phẳng (DBC), (DAC), (DAB) tại A’, B’, C’.

a. Gọi N là giao điểm của DA’ với BC. Chứng minh rằng: A, M, N thẳng hàng, từ đó nêu cách dựng các điểm A’, B’, C’.

b. Chứng minh:

SMBC SABC

MA' , từ đó áp dụng chứng minh:

MA' MB' MC'  1 .

DA DB DC

Đề kiểm tra số II đợt thực nghiệm thứ hai (thời gian 50 phút)- Khối 11

Cho tứ diện ABCD, biết AB  CD và BC  AD.

a. CMR: AC  BD theo hai cách khác nhau;

b. CMR bốn đường cao tứ diện đồng qui;

c. M  AC; AM = x. Dựng thiết diện mặt phẳng qua M song song với AB và CD với tứ diện;

d. Tính diện tích của thiết diện theo x và các cạnh của tứ diện. Tìm M để diện tích lớn nhất;

e. Tìm điều kiện để chu vi thiết diện không phụ thuộc vào x.

Đề kiểm tra số I đợt thực nghiệm thứ hai (thời gian 55 phút) - Khối 12

Câu 1: Cho đường thẳng ( ): 2x – y + 1 = 0; I(1; 2). Viết phương trình đường thẳng ( ’) đối xứng với ( ) qua I.

Câu 2: Cho đường thẳng ( ): x – y + 2 = 0; A(1; -2); B(2; 1).

a. Chứng minh: A, B cùng phía với ( );

b. Tìm điểm M sao cho MA + MB bé nhất. Tìm giá trị bé nhất đó;

c. Nêu cách giải tổng quát câu a; b.

Câu 3: Cho đường cong (C

m):

x y 2



m2 m2  4 1

a. Với điều kiện nào của m thì (Cm) là (E);

b. Với điều kiện nào của m thì (Cm) là (H);

c. Với điều kiện nào của m thì (Cm) là (H) vuông;

d. CMR: luôn có hai (H) qua A(1; y0) với y0 0.

Đề kiểm tra số II đợt thực nghiệm thứ hai (thời gian 55 phút)- Khối 12

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Biết A’(0; 0; 0); D’ Ox; B’ Oy; A Oz.

a. Xác định tọa độ các đỉnh của hình lập phương;

b. Gọi M, N là trung điểm của của DC và DD’. Xác định tọa độ M, N.

c. Tìm tọa độ trọng tâm G, G’ của tứ diện A’D’MN và BCC’D’;

d. CMR: GG’ // (ABB’A’) bằng các cách khác nhau.

Việc ra các đề kiểm tra như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm. Xin được phân tích rõ hơn về điều này, và đồng thời là những đánh giá sơ bộ về chất lượng làm bài của HS:

Trước hết, tất cả các câu trong 5 đề kiểm tra không phức tạp về mặt tính toán. Nói một cách khác, nếu HS xác định đúng hướng giải thì dường như chắc chắn sẽ đi đến kết quả mà không bị kìm hãm bởi những tính toán rắc rối. Điều đó phần nào cho thấy: các đề kiểm tra thiên về việc “khảo sát” và “bồi dưỡng” TDBC hơn là kỹ thuật tính toán. Mặt khác, nhiều câu trong số đó chứa đựng những tiềm năng để có thể phát triển và rèn luyện TDBC cho HS, tuy nhiên không thiên về “đánh đố” hoặc “gài bẫy”.

* Đối với đợt TN thứ nhất: với đề kiểm tra cho khối 10:

Câu 1 dụng ý của chúng tôi là kiểm tra HS có nhìn nhận một đối tượng Toán học trong mối liên hệ phụ thuộc (mối liên quan của các cách giải) và nhìn đối tượng Toán học với nhiều khía cạnh khác nhau (giải BT theo nhiều cách).

Câu 2 nhằm bồi dưỡng đặc trưng “sự biến đổi về lượng đấn đến sự biến đổi

m 1

về chất”, cụ thể ta xác định được e MF

d (M ; ) 6

thay đổi e thì hình dạng của conic thay đổi theo.

* Đối với đợt thực nghiệm thứ hai

- Khối 11

* Đối với đề kiểm tra số I

là tâm sai của conic, từ đó nếu

Câu 1.a là câu chứng minh KH // QE. Dụng ý câu này là cho HS có thể trình bày nhiều cách giải khác nhau của một BT nhằm thực hiện biện pháp “xem xét đối tượng Toán học với nhiều khía cạnh khác nhau”.

Câu 1.b là câu chứng minh M1N1 // (QEF), ở đây chúng tôi muốn HS hiểu, vận dụng biện pháp “Xem xét đối tượng Toán học trong mối liên hệ và phụ thuộc với các đối tượng Toán học khác”, cụ thể do M1K // MA nên các tam giác QM1K và

QMA đồng dạng từ đó ta có:

MM1 AK  1

(tương tự N1H // MN, nên các tam

MQ AQ 3

giác FN1H và FMN đồng dạng từ đó ta cũng có:

MM1 MN1 1 ). Do đó M1N1 //

QF mà QF  (QEF), suy ra M1N1 // (QEF).

MQ MF 3

Câu 1.c BT yêu cầu chứng minh: (M1N1HK) // (QEF), với câu này dụng ý là kiểm tra khả năng vận dụng biện pháp “Xem xét đối tượng Toán học trong mối liên hệ và phụ thuộc với các đối tượng Toán học khác”. Từ M1K // N1H // MN, dẫn tới (M1N1HK) xác định. Do M1K // MN // EF nên M1K // (QEF) và M1N1 // QF nên M1N1 // (QEF). Từ đó ta có điều cần chứng minh.

Câu 1.d dụng ý là rèn luyện một đặc trưng cơ bản của TDBC là sự biến đổi về lượng dẫn tới sự biến đổi về chất, cụ thể bằng cách thay đổi giả thiết của BT

MK NH  1

lúc đó ta thấy KH không song song với EQ nữa, nhưng KH lại vẫn

KP HF 2

song song với (QEF). Đây là câu quan trọng nhất mà chúng tôi muốn thể hiện của bài kiểm tra này.

Câu 2.a câu này chúng tôi muốn HS biết khái quát hóa cách dựng các điểm A’, B’, C’ bởi năng lực khái quát hóa nhìn chung HS còn hạn chế. Nếu HS khái quát hóa các BT cụ thể thì đã thể hiện HS có TDBC rồi.

Câu 2.b thực chất chúng tôi có dụng ý kiểm tra tư duy sáng tạo của HS, đây là một nội dung không thể thiếu khi giải toán, cụ thể từ việc chứng minh:

SMBC

MA' , rồi áp dụng chứng minh:

MA' MB' MC'  1. Ở đây tính linh hoạt và

SABC DA

DA DB DC

mềm dẻo của TD phải được thể hiện ở HS thì mới giải quyết được. Mặt khác qua câu này dụng ý muốn HS thấy được nguồn gốc để giải các BT tổng hợp là phải xuất phát từ các BT gốc.

* Đối với đề kiểm tra số II:

Đối với câu a chứng minh AC  BD, chúng tôi muốn HS nhìn một BT với nhiều hướng giải khác nhau nhằm bồi dưỡng TDBC, đó là nhìn một đối tượng Toán học với nhiều khía cạnh khác nhau.

Với câu b, đó là chứng minh bốn đường cao tứ diện đồng qui, dụng ý muốn HS hiểu các đối tượng Toán học tồn tại một cách khách quan (với những dữ kiện mà BT cho hiển nhiên bốn đường cao phải đồng qui)

Câu c, với M  AC; AM = x. Dựng thiết diện mặt phẳng qua M song song với AB và CD với tứ diện. Câu này nhằm giúp HS liên tưởng tới sự tồn tại của các hình Hình học nhờ thực hiện đủ bốn bước khi giải một BT dựng hình.

Câu d và câu e, đó là tính diện tích của thiết diện theo x và các cạnh của tứ diện, tìm M để diện tích lớn nhất và tìm điều kiện để chu vi thiết diện không phụ thuộc vào x. Dụng ý ở đây là làm cho HS thấy được sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng Toán học (lượng đổi dẫn tới chất đổi)

- Khối 12

* Đối với đề kiểm tra số I

Câu 1, viết phương trình đường thẳng ( ’) đối xứng với ( ) qua I, biết ( ): 2x – y + 1 = 0; I(1; 2). Nếu viết được phương trình ( ’) thì xem như HS đã nhìn

được một ánh xạ, cụ thể ở đây là một phép dời hình, nghĩa là khẳng định một đặc trưng của TDBC đó là tính thay đổi.

Dụng ý câu câu 2, cụ thể : Cho đường thẳng ( ): x – y + 2 = 0; A(1; -2); B(2; 1), câu a và câu b (chứng minh: A, B cùng phía với ( ); Tìm điểm M sao cho MA + MB bé nhất. Tìm giá trị bé nhất đó) nhằm giúp HS biết nhìn trường hợp riêng với một giá trị cụ thể; Quan trong hơn là giúp HS biết khái quát BT (câu c: nêu cách giải tổng quát câu a; b), nghĩa là nhìn đối tượng Toán học một cách toàn diện.

Câu 3 (cho đường cong (Cm):

x y 2

m2 m2  4

 1 ; với điều kiện nào của m thì

(Cm) là (E); với điều kiện nào của m thì (Cm) là (H); với điều kiện nào của m thì (Cm) là (H) vuông) với ba câu a, b, c dụng ý muốn rèn luyện cho HS hiểu một đặc trưng quan trọng nữa của TDBC là lượng đổi chất đổi. Riêng câu d (chứng minh luôn có hai (H) qua A(1; y0) với y0 0) nhằm khẳng định tính hai mặt, tính mâu thuẫn luôn tồn tại trong cùng một đối tượng Toán học, nghĩa là nếu m thay đổi thì hình dạng các hình cũng thay đổi (câu a, b, c), tuy nhiên dù m thay đổi thế nào thì luôn tồn tại hai

(H) đi qua điểm A (1; y0) với y0 0.

* Đối với đề kiểm tra số II

Dụng ý câu a (xác định tọa độ các đỉnh của hình lập phương), câu b (gọi M, N là trung điểm của của DC và DD’. Xác định tọa độ M, N) và câu c (tìm tọa độ trọng tâm G, G’ của tứ diện A’D’MN và BCC’D’) đều nhấn mạnh sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng Toán học. Còn câu d (chứng minh: GG’ // (ABB’A’) bằng các cách khác nhau), ở đây đã bồi dưỡng cho HS biết nhìn một đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau.

Qua những sự phân tích trên đây có thể thấy rằng, 5 đề kiểm tra của 2 đợt TN đã thể hiện dụng ý: khảo sát vận dụng TDBC và hiểu rõ những đặc trưng cơ bản của TDBC đối với HS lớp 10, 11, 12 THPT trong khi học môn HH.

3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.3.1. Đánh giá định tính

Những khó khăn và sai lầm của HS (có liên quan đến TDBC và sử dụng các đặc trưng cơ bản của TDBC) đã được đề cập nhiều ở chương 1 và chương 2. Việc phân tích dụng ý của 5 đề kiểm tra cũng như đánh giá sơ bộ kết quả làm bài kiểm

tra thêm một lần nữa cho thấy rằng: khả năng hiểu và vận dụng TDBC của HS còn hạn chế. Nhận định này còn được rút ra từ thực tiễn sư phạm của tác giả và sự khảo sát lấy ý kiến của 300 GV toán của 40 trường THPT của các tỉnh DakLak, Dak Nông, Bình Phước và Hà Tĩnh (có mẫu phiếu hỏi ở phần phụ lục).

Khi quá trình TN mới được bắt đầu, quan sát chất lượng trả lời các câu hỏi cũng như giải các bài tập, có thể nhận thấy rằng: nhìn chung, HS lớp ĐC và ngay cả lớp TN cũng ở vào tình trạng như vậy. Chẳng hạn:

- Khi đứng trước các BT HH, HS không biết chuyển các BT này về các BT đại số (bằng PP tọa độ, chẳng hạn BT ở đề kiểm tra số 2 của khối 12) hoặc HS không ý thức được sự cần thiết phải chuyển các BT HH mà cứ giải bằng các cách giải truyền thống hoặc HS không biết các cách khác nhau để giải một BT;

- Khi xem xét một BT HS không biết mối liện hệ của BT này với các BT đã giải (BT gốc, khái quát BT).

- Khi giải toán HS chưa thấy được sự thay đổi của các đối tượng Toán học, không nhìn BT trong nhiều trường hợp khác nhau;

- Năng lực liên tưởng và huy động kiến thức cũng rất hạn chế, khi đứng trước một BT HS ít có thói quen xem xét mối quan hệ của chúng trong thực tiễn. Để từ đó thấy được sự gần gủi của Toán học nói chung HH nói riêng;

- Chưa có ý thức và khả năng sử dụng các thao tác của TD như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa ... trong quá trình giải quyết vấn đề (BT);

- Khi giải các BT HS chưa biết tìm hiểu nguồn gốc ra đời, lịch sử của các BT nên chưa thấy được sự thú vị của Toán học mà cứ chú tâm vào việc giải; ...

Với GV, họ cũng rất ngại dạy các khái niệm, định lí, BT theo các biện pháp mà đề tài đã đề xuất vì nhiều lí do khác nhau (phân phối chương trình, cách thi cử, đánh giá hiện nay, thời gian, ...). Dẫu họ biết rằng, nếu sử dụng tốt các biện pháp trong chương 2 của đề tài thì HS sẽ phát huy được tính tích cực, sáng tạo. Họ dạy theo phân phối chương trình và thời gian qui định do đó phải bỏ qua việc dạy cho HS tìm tòi; dự đoán; liên hệ với các kiến thức khác, liên hệ thực tế; họ sẵn sàng làm thay cho HS ... ; nhưng họ cũng đành chấp nhận - bởi vì chưa tìm ra những cách thức dẫn dắt hợp lí đối với HS. Cũng chính vì vậy mà hứng thú học tập của HS có phần giảm sút.

Sau khi nghiên cứu kĩ và vận dụng các biện pháp sư phạm được xây dựng ở Chương 2 vào quá trình DH, các GV dạy TN đều có ý kiến rằng: không có gì trở ngại, khó khả thi trong việc vận dụng các biện pháp này; những biện pháp, đặc biệt những gợi ý về cách đặt câu hỏi và cách dẫn dắt là hợp lí, vừa sức đối với HS; cách hỏi và dẫn dắt như vậy vừa kích thích được tính tích cực, độc lập, sáng tạo của HS lại vừa kiểm soát được, ngăn chặn được những khó khăn, sai lầm có thể nảy sinh do nhìn nhận BT một cách thiếu toàn diện; HS được lĩnh hội những tri thức PP trong quá trình giải quyết vấn đề.

GV hứng thú khi dùng các biện pháp đó, còn HS thì học tập một cách tích cực hơn, những khó khăn và sai lầm của HS được chỉ ra trên đây đã giảm đi rất nhiều và đặc biệt là đã hình thành được cho HS một “phong cách” tư duy khác trước rất nhiều.

HS đã bắt đầu ham thích những dạng toán mà trước đây họ rất “ngại” - bởi vì luôn gặp phải những thiếu sót và sai lầm khi đứng trước các dạng đó.

3.3.2. Đánh giá định lượng

Kết quả làm bài kiểm tra của HS lớp TN và HS lớp ĐC được thể hiện thông qua 10 bảng thống kê sau đây (kết quả mỗi bài kiểm tra thể hiện trong 2 bảng):

Lớp TN					Lớp ĐC
xi	fi	f()	Wi(%)	W()	xi	fi	f()	Wi(%)	W()
1					1	1	1	2	2
2					2	3	4	6	8
3	5	5	11	11	3	8	12	17	25
4	6	11	13	24	4	11	23	23	48
5	16	27	35	59	5	17	40	35	83
6	11	38	24	83	6	8	48	17	100
7	2	40	4	87	7
8	4	44	9	96	8
9	1	45	2	98	9
10	1	46	2	100	10
	n1 = 46		100			n2 = 48		100