Biện Pháp 4 : Làm Cho Học Sinh Có Khả Năng Xem Xét Các Đối Tượng Toán Học

m  12 02

Biện luận hình dạng của conic dựa vào tham số m.

Giải: Ta có: MF =

d(M ; ) =

 1  5

 6 .

= m  1 , m 0.

Khi đó; tâm sai của conic (C) là: e =

MF .

m  1

d (M ; ) 6

. e < 1 

 1 

m  1

m  1  6 6 m  1  6 7 m  5 

. e = 1 

 1 

m  1

m  1  6 m  5 

m 7



. e > 1 

 1 

m  1

m  1  6 m  1  6

m  1 6



m  5 

m 7



Nhận xét: Khi có sự biến đổi về lượng (có sự biến đổi của việc so sánh tâm sai e với số 1) thì có sự thay đổi về chất (hình dạng của conic (C) thay đổi theo; là (E) hoặc

(P) hoặc (H)).

VD 4: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a và số k2. Tìm tập hợp các điểm M sao

cho: a). MA.MB k 2

b). MA2  MB2 = k2 ([126, tr. 48 - 52])

Nhận xét: Trong bài này, vấn đề là tập hợp các điểm M sẽ thay đổi tùy theo sự thay đổi của điều kiện a) và b).

Như vậy, nếu nhìn nhận vấn đề một cách BC thì sự thay đổi của điều kiện ban đầu a), b) là những biểu hiện sự thay đổi về lượng, còn sự thay đổi tập hợp các điểm M là sự thay đổi về chất. Bên cạnh đó, mối liên hệ phụ thuộc tương hỗ lẫn nhau giữa các đại lượng cũng được thể hiện, cụ thể:

k 2 a 2

a). Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R .

b). Tập hợp các điểm M là đường thẳng d vuông góc với AB tại H

mà k .

Sự nhận thức tính thay đổi: Sự vận động và phát triển là một trong những đặc trưng cho tính chất BC của TD. Vì vậy, để bồi dưỡng rèn luyện TDBC cho HS thì trong quá trình DH, mà ban đầu là DH khái niệm Toán học, tiếp đó là DH định lí, giải bài tập toán, ... GV cần chú ý đến sự vận động, phát triển dần của các khái niệm, định lí, bài tập để HS thấy được tính thay đổi, góp phần bồi dưỡng năng lực TDBC cho các em.

2.5.4. Biện pháp 4: Làm cho học sinh có khả năng xem xét các đối tượng Toán học trong sự mâu thuẫn và thống nhất

- Ở đây TDBC nhằm giúp HS cảm nhận quy luật "Phân đôi cái thống nhất" của TDBC, tránh được những sai lầm của cách xem xét phiến diện.

- Trong DH Toán giúp HS phát hiện vấn đề học toán một cách chủ động sáng tạo, làm cho HS hiểu sâu sắc hơn đối tượng toán đang học.

VD 1: Tam giác và tam giác vuông Xét tính chất sau của tam giác vuông:

Tính chất 1: Trong tam giác vuông, tổng các bình phương côsin các góc bằng 1: Cos2A + Cos2B + Cos2C = 1

Chứng minh:

Giả sử tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pitago ta có: a2 = b2 + c2 (1)

Theo định lí hàm số Sin trong tam giác ta có:

a 

SinA

b 

SinB

c SinC

 2R

Suy ra: a= 2RsinA, b=2RsinB, c= 2RsinC

	(2)
Thế (2) vào (10 ta có: 4R2Sin2A = 4R2Sin2+ 4R2Sin2c,
Suy ra: sin2A = sin2B + sin2C, mà: sin2A= sin2900=1
suy ra: Sin2A + Sin2B + Sin2C = 2		(3)
Mặt khác, ta có: Sin2A + Cos2A + Sin2B +Cos2B + Sin2C + Cos2C = 3	(4)

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 225 trang tài liệu này.

Từ (3) và (4) suy ra: Cos2A + Cos2B + Cos2C =1

Như vậy, một tam giác không phải là tam giác vuông thì không có tính chất này.

Thông thường với cách dạy và cách học quen thuộc thì câu nói này hoàn toàn đúng, nên chẳng có vấn đề gì phải bàn thêm. Tuy nhiên:

* Phát hiện vấn đề: Với TDBC, ta sẽ giúp HS phát hiện vấn đề, học toán một cách chủ động và sáng tạo.

- Nếu nhìn tam giác và tam giác vuông trong sự mâu thuẫn với nhau thì câu kêt luận trên là đúng.

- Nếu nhìn tam giác và tam giác vuông trong sự thống nhất với nhau. Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, tam giác vuông cũng là một tam giác. khi đó ta sẽ nghĩ rằng tam giác vuông có tính chất 1 thì trong tam giác chắc cũng có tính chất tổng quát hơn, nhận tính chất 1 là trường hợp đặc biệt.

* Giải quyết vấn đề: Nhờ xem xét Toán học trong sự mâu thuẫn và thống nhất mà HS phát hiện được vấn đề, giúp HS học toán một cách chủ động và sáng tạo để tìm tính chất tổng quát hơn tính chất 1, nghĩa là thôi thúc HS tìm tòi trong tam giác ABC bất kì thì: Cos2A + Cos2B + Cos2C = ?

- Các góc A, B, C trong tam giác liên hệ với nhau: Tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800: A + B + C = 1800 suy ra A + B = 1800 – C

 cos(A + B) = cos(1800 – C) hay: cosA. cosB – sinA. sinB = cosC

 cos2 C = cos2A cos2B + sin2A. sin2B – 2cosA.cos B. sinA. sinB (1)

- Để xuất hiện cos2A, cos2B nhờ mối liên hệ: cos2A + sin2A =1, cos2B + sin2B =1. Thay sin2A =1cos2A , sin2B =1cos2B vào (1) ta được: cos2 C = cos2A cos2B + (1cos2A)( 1cos2B) – 2cosA.cos B. sinA. sinB

= cos2A cos2B +1 cos2Acos2B + cos2A cos2B– 2cosA.cos B. sinA. sinB

 Cos2A + Cos2B + Cos2C= 1 + 2cosA.cos B(cosA.cos B sinA. SinB)

= 1+2cosA.cos B.cos(A+B) = 12cosA.cosB.cosC. Như vậy HS sẽ tìm ra được:

Tính chất 2: Với mọi tam giác ABC, ta có:

Cos2A + Cos2B + Cos2C= 12cosA.cosB. cosC. (2) Khi tam giác ABC vuông, thì đẳng thức (2) trở thành: Cos2A + Cos2B +

Cos2C= 1 vì cosA = cos900=0, chứng tỏ tính chất 2 tổng quát hơn tính chất 1, tính chất 1 chỉ là trường hợp đặc biệt.

VD 2: Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau có phải là hình bình hành không?

Để trả lời được câu hỏi trên thì HS phải liên tưởng, tái hiện lại định nghĩa hình thang: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Và HS phải liên tưởng cách nhận biết hình bình hành:

- Tứ giác có các cạnh đối song song.

- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau.

- Tứ giác có các góc đối bằng nhau.

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau.

Dựng hình tượng trực quan, HS liên tưởng và vẽ ra hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau.

Hình thang ABCD có AB // CD và theo giả

thiết có hai đáy bằng nhau, tức là: AB = CD. Do đó, tứ giác ABCD có AB // CD và

AB = CD nên ABCD là hình bình hành. D

Như vậy, phát biểu trên đúng.

Hình 2.55

Qua VD trên, ta có thể thấy được mối quan hệ biện chứng của các cặp phạm trù cái riêng và cái chung. Trong đó hình bình hành là cái riêng, là cái đặc biệt của hình thang. Vậy: Một cái riêng có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chung khác nhau.

Một cái chung đem đặc biệt hóa từng bộ phận khác nhau bằng những cách khác nhau sẽ cho những cái riêng khác nhau.

Chính vì lí do đó, nếu GV biết cách hướng dẫn HS xem xét đối tượng Toán học dưới các góc độ khác nhau, trong sự mâu thuẫn và thống nhất, trong mối quan hệ BC giữa cái riêng và cái chung thì các em sẽ học toán chủ động và sáng tạo hơn.

2.5.5. Biện pháp 5: Làm cho học sinh biết xem xét một đối tượng Toán học đồng thời xem xét phủ định của đối tượng đó

- TDBC ở đây là A và phủ định A cùng tồn tại song song. Đó là hai mặt đối lập trong phạm vi một đối tượng.

- Khi DH Toán cần xem xét như vậy sẽ hiểu đối tượng Toán học sâu sắc hơn và tránh sai lầm. Đương nhiên trong Toán học, nếu A là đúng thì không A là sai.

VD: Định nghĩa hàm số liên tục: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a ; b).

Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm

x0 (a ; b) nếu:

lim f (x) 

xx0

f (x0 ).

Nếu tại điểm

x0 hàm số không liên tục, thì nó được gọi là gián đoạn tại

x0 và

điểm

x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).

Điều đó có nghĩa là, khi DH giáo viên phải nhắc HS nhận biết tính liên tục của

hàm số f(x) tại hàm số f(x) tại

x0 , đồng thời cũng phải nhận biết tính không liên tục (gián đoạn) của

x0 và có thể minh họa bằng hình vẽ (đồ thị) để HS hiểu sâu sắc hơn khái

niệm hàm số liên tục tại một điểm. Chẳng hạn, ta xét 3 BT sau:

0 x0



BT 1: Xét tính liên tục của hàm số:

f (x) x2 0 x1



x2  2x 1 x  1

Ta có: - Khi x < 0 thì f(x) = 0 nên hàm số liên tục;

- Khi 0 < x < 1 thì f(x) = x2 nên hàm số liên tục;

- Khi x > 1 thì f(x) = x2  2x 1 nên hàm số liên tục;

- Khi x = 0 thì f(0) = 02 = 0;

lim

f (x)  lim 0  0; lim

f (x)  lim x2  0  lim

f (x)  lim

f (x) f (0)

nên hàm số liên

x0

x0

x0

x0

tục tại x = 0.

- Khi x = 1 thì f(1) = -12 - 21 + 1 = - 2 và

lim f (x)  lim x2  1  lim f (x) 

f (1) nên

x1

hàm số f(x) không liên tục tại x =1, hay x = 1 là điểm gián đoạn của hàm số f(x).

BT 2: Xét tính liên tục của hàm số

x 1 tại điểm x

= 3.

Ta có:

32 1 10

f (x)

x  30

f (3) 

0  3 0

không xác định, nên hàm số f(x) không liên tục tại x0 = 3, hay

x0 = 3 là điểm gián đoạn của hàm số f(x).

x21 x  0

BT 3: Cho hàm số:

f (x) 

x x  0

. Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại x0 = 0.

Ta đễ dàng suy ra hàm số f(x) không liên tục tại x0 = 0, hay x0 = 0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x).

Như vậy khi xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, ta cần đồng thời xem xét hàm số gián đoạn (phủ định) của hàm số đó sẽ rèn luyện tốt TDBC cho HS.

Nhận xét: - Khi tìm điểm gián đoạn của một hàm số HS hay nhầm lẫn giữa điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ. VD: Tìm điểm gián đoạn của hàm số:

f (x) 

2x 1

x2  5x  6

. HS đã lập luận như sau: f(x) gián đoạn khi và chỉ khi f(x) không xác

định x2  5x  6  0 x  2; x  3 . Vậy x = 2; x = 3 là điểm gián đoạn của f(x). Mặc dù

kết quả đúng nhưng HS đã mắc sai lầm trong lập luận: f(x) gián đoạn tại x0 là điều kiện đủ để f(x) gián đoạn tại x0 chứ không phải là điều kiện cần để f(x) gián đoạn tại x0 (xem BT2). Để khắc phục sai lầm trên GV cần phân biệt cho HS điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ khi dạy khái niệm liên tục và gián đoạn của hàm số.

- Trong chương trình toán còn có những cặp đối tượng HS tưởng chừng như là đối lập nhau nhưng không phải như vậy. Chẳng hạn: Hàm số chẵn và lẻ, hàm số đồng biến và nghịch biến, ... (vì có những hàm số không chẵn mà cũng không lẽ, có những hàm số không đồng biến mà cũng không nghịch biến, ...). Việc xem xét kĩ những cặp đối tượng như vậy sẽ giúp HS hiểu rõ hơn kiến thức đang học.

- Trong nhiều trường hợp có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, HS lại hiểu sai là hai mặt đối lập nằm trong một đối tượng (nguyên nhân là do HS không nắm vững lôgic toán). Chẳng hạn 3 BT sau:

BT 1: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có trọng tâm lần lượt là G và G'.

Chứng minh: 3GG' AA' BB' CC' .

Từ đó suy ra một điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm [2, tr. 16, B3].

BT 2: Cho tứ giác ABCD.

a). Chứng minh AB2 + CD2 BC2 AD2 = 2 AC.DB

b). Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau [14, tr. 64, Bài 5].

BT 3: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a). Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là m2b + m2c = 5m2a

b). Điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là b2 + c2 = 5a2 [14, tr. 64, Bài 7].

- Một số BT có BT ngược, HS có thể hiểu sai là hai mặt đối lập nằm trong một

đối tượng. Chẳng hạn 4 BT sau:

BT 1: Cho tứ giác ABCD. A C

a. Chứng minh rằng: AB2 + CD2 = BC2 + AD2 + 2 CA.BD

b. Từ câu a, ta thấy nếu tứ giác ABCD có hai đường

chéo vuông góc thì CA.BD

= 0, khi đó AB2 + CD2 = BC2 + AD2. D

Hình 2.56

Nhưng đặt vấn đề ngược lại:

Nếu tứ giác ABCD có CA.BD = 0. Suy ra:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2 thì hai đường chéo vuông góc với nhau.

Từ câu a, nếu ta xét BT ngược của nó thì ta sẽ có một kết quả là: Điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là tổng bình phương các cặp cạnh đối

diện bằng nhau. A

BT 2: Cho tam giác ABC, với G là trọng tâm.

Chứng minh rằng: GA GB GC O [126, tr. 13].

Từ BT trên, GV cần giúp HS nhìn BT ngược của nó, cụ thể là: Cho tam giác ABC, G là một điểm

B M C

sao cho: GA GB GC O

thì G là trọng tâm của tam giác.

Hình 2.57

Khi đó ta có kết luận: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác khi và chỉ khi GA GB GC O .

BT 3: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam

giác A’B’C’ thì 3 GG' AA' BB' CC' [126, tr. 24].

Từ BT này ta đặt BT ngược là: Hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm

khi thì G’ phải trùng với G, tức là: G’ G GG' O . Suy ra AA' BB' CC' = O .

Tóm lại: ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm khi và chỉ khi

AA' BB' CC' = O .

BT 4: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M. Trên a có hai điểm A và B,

trên b có hai điểm C và D khác M sao cho MA.MB MC.MD . Chứng minh rằng: 4

điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

Khi hướng dẫn làm BT này, GV sẽ nêu ra BT ngược:

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M. Trên a có hai điểm A và B, trên b có hai điểm C và D khác M sao cho 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn thì

MA.MB MC.MD .

Ở đây đưa ra BT ngược nhằm mục đích khắc sâu cho HS biết thêm một cách để chứng minh 4 điểm bất kì cùng thuộc một đường tròn cũng như khắc sâu lí thuyết về phương tích của một điểm đối với đường tròn.

Tuy nhiên HS có thể hiểu sai là hai mặt đối lập nằm trong một đối tượng. Nhưng khi dạy cho HS một đối tượng Toán học nào đó, GV cần hướng dẫn HS nhìn nhận đối tượng Toán học và các mối quan hệ của chúng theo hai chiều. Điều đó sẽ giúp các em phát hiện ra những đối tượng và mối quan hệ mới trong học Toán, như thế sẽ gây hứng thú trong học tập rất nhiều, việc nhìn nhận một vấn đề theo cách nhìn hai chiều ta sẽ giúp HS phát hiện những vấn đề mới, đồng thời củng cố khắc sâu thêm cho HS về đối tượng Toán học mà ta bàn đến.

- Các BT sau mặc dù không làm cho HS biết xem xét một đối tượng Toán học đồng thời xem xét phủ định của đối tượng đó nhưng vẫn có tác dụng to lớn trong dạy học nhằm phát triển TD của HS:

M’

BT 1: Cho điểm M(1 ; 2) và đường thẳng d: 2x + y – 5 = 0. Tìm tọa độ của điểm M’ đối xứng với điểm M qua d [14, tr. 124].

Ta có dễ dàng tính được:

M ' 9 ;12 





Khi làm BT này Giáo viên cần đặt ra câu hỏi:

* Cho M(1 ; 2) và đường thẳng d: 2x + y 5 = 0.

Hỏi 2 điểm M và M’ có đối xứng với nhau qua d hay không ?

Hình 2.58