Sơ Đồ Thực Hiện Hệ Thống Đệ Quy Và Không Đệ Quy

Ví dụ 3:

Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau đây:

y(n) 2 y(n 1) 3y(n 2) x(n) 2x(n 1)

với kích thích

x(n)

u(n)

và điều kiện ban đầu y(-1) = y(-2) = 0. Cho biết

tính ổn định của hệ đã cho.

Giải:

- Bước 1 : Tìm nghiệm y0(n) của phương trình thuần nhất :

y(n) 2 y(n 1) 3y(n 2) 0

Thế

y0 (n) A.n vào phương trình thuần nhất :

An 2An1 3An2 0

An2 2 230

Giải phương trình đặc trưng

(2 23) 0

nhận được các nghiệm :

1

2

1 vµ 3

y nA A (3)n

0 1 2

- Bước 2 : Tìm một nghiệm riêng yp(n) của phương trình sai phân.

Chọn :

y p (n) B.n.x(n) 

B.n.u(n)

Thế yp(n) vào phương trình sai phân đã cho nhận được :

B.n.u(n) 2B.(n 1)u(n 1) 3B.(n 2)u(n 2) u(n) 2.u(n 1)

Phương trình trên đúng với mọi

n 2 , để xác định B chọn n = 2 và có :

2B.u( 2) 2B.u(1) u( 2) 2 u(1)

 ( 2B 2B )  (1 2)

B 3

4

Vậy nghiệm cưỡng bức là :

y p (n) 

3 .n.u(n)

4

- Bước 3 : Xác định nghiệm tổng quát

Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân đã cho là :

yny ny nA A 3n3nu n

0 p 1 34

- Bước 4 : Xác định hai hằng số sai phân từ điều kiện ban đầu. Theo phương trình sai phân và điều kiện ban đầu ở đầu bài, xác định được :

y(0) 2 y(1) 3y(2) u(0) 2u(1)

y(0) 2.0 3.0 1 2.0 y(0) 1

và :

y(1) 2 y(0) 3y(1) u(1) 2u(0)

y(1) 2.1 3.0 1 2.1 y(1) 1

Theo nghiệm tổng quát xác định được ở bước 3 có hệ phương trình :



A1 A2 1



A 3A 3 1

1 2 4

Giải hệ phương trình trên tìm được:

13



A1 16

và A2 

3

16

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình sai phân đã cho là:

y(n) 13 33n3nu n

16 16 4

Hệ thống đã cho có y0(n) -  khi n  , nên hệ thống không ổn định.

Ví dụ trên cho thấy rằng, giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bằng phương pháp tìm nghiệm tổng quát là khá phức tạp, khi phương trình sai phân có bậc N > 2 sẽ càng phức tạp hơn vì phải giải phương trình bậc cao.

Như vậy, cả hai phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng đã được trình bày ở trên đều phức tạp, vì thế người ta sẽ tìm phương pháp khác để giải phương trình sai phân dễ dàng hơn, vấn đề đó sẽ được nghiên cứu ở chương hai.

1.5. Sơ đồ thực hiện hệ thống

1.5.1. Các phần tử thực hiện hệ thống

Có 3 phần tử chính để thực hiện hệ thống trong miền rời rạc như sau:

x1n

x2n

xLn

x1n

x2n

xLn

xn

L

xin

i1

L

xin

i1

a

axn

Bộ trễ D: Delay:trễ

xn

xn 1

D

Bộ cộng

Bộ nhân

Bộ nhân với hằng số

Hình 1.37.Các phần tử thực hiện hệ thống

1.5.2. Sơ đồ thực hiện hệ thống đệ quy và không đệ quy

Một hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả và ổn định thực hiện được về mặt vật lý. Từ các phần tử trên ta sẽ mô tả cho các hệ thống này.

Dựa vào phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng người ta chia ra thành hệ thống không đệ quy, hệ thống đệ quy và hệ thống đệ quy thuẩn túy. Dưới đây chúng ta sẽ đi tìm hiểu các hệ thống và sơ đồ khối tổng quát của chúng.

a. Hệ thống không đệ quy

Từ phương trình sai phân tổng quát:

N M

akynk brxnr 

k 0 r 0

Trong trường hợp nếu N = 0 ta có:

M

a0ynbrxnr 

r 0

a0  0

Hoặc:

M

ynbrxnr 

r 0

a0  1

(1.37)

Từ đây ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa: Một hệ thống tuyến tính bất biến được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc 0 được gọi là hệ thống không đệ qui.

Nhận xét: Hệ thống không đệ quy là hệ thống mà đáp ứng ra y(n) của nó chỉ phụ thuộc vào kích thích vào ở thời điểm hiện tại và quá khứ.

Ta có thể viết:

Ở đây

y nF x n, x n 1,..., x n M (1.38)

F .ký hiệu là hàm.

Nếu ta gọi h(k)=bk

Ta sẽ có:

M

y nh(k)x nk 

k 0

(1.39)

Đây là biểu thức của tích chập giữa h(n) và x(n) khi h(n) là nhân quả và có

chiều dài hữu hạn

L hnM 1. h(n) là đáp ứng xung của hệ thống không đệ quy.

Ta có thể nói rằng: Hệ thống không đệ qui chính là hệ thống có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn, ký hiệu FIR (Finite-Duration Impulse Response) .

Xét tính ổn định:

Tiêu chuẩn ổn định:

M

S hnhn

(1.40)

nn0

Điều kiện ổn định đối với đáp ứng xung luôn luôn được thỏa mãn, vì vậy hệ thống FIR là hệ thống luôn luôn ổn định. Đây là đặc điểm ưu việt nhất của hệ thống này đa số được dùng trong mạch điện.

Sơ đồ thực hiện hệ thống:

y nb0 x n

M

brxnr 

1r144 2 4 43

F1xn1,...,xnM 



xn

b0b0xn

F1xn 1,..., xn M 	

Có thể bạn quan tâm!

• Các Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến
• Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Và Nhân Quả
• Phương Pháp Giải Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính Hệ Số Hằng
• Xử lý tín hiệu số - 7
• Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
• Xử lý tín hiệu số - 9

Xem toàn bộ 272 trang tài liệu này.

yn

Hình 1.38. Hệ thống không đệ quy

Nhận xét: Hệ thống không đệ quy, sơ đồ của nó không có nhánh phản hồi, vì vậy nó luôn luôn ổn định, tức là hệ thống FIR luôn ổn định.

b. Hệ thống đệ quy

Từ phương trình sai phân tổng quát:

N M

akynk brxnr 

k 0 r 0

Trong trường hợp nếu N > 0 ta có:

M b N a

y nr x nr ky nk 

a0  0

Hoặc:

r 0 a0

k 1 a0

M N

ynbrxnr akynk 

a0  1

(1.41)

r 0 k 1

Từ đây ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa:Một hệ thống tuyến tính bất biến được mô tả bởi phương trình sai phân bậc N > 0 được gọi là hệ thống đệ qui.

Nhận xét: Hệ thống đệ quy là hệ thống mà đáp ứng ra y(n) của nó phụ thuộc vào kích thích vào ở thời điểm hiện tại, quá khứ và cả vào đáp ứng ra ở thời điểm quá khứ.

Ta có thể viết:

y nF y(n 1), y(n  2),..., y(n N ), x n, x n 1,..., x n M (1.42)

Ở đây

F .ký hiệu là hàm.

Nếu giải các phương trình sai phân của hệ thống đệ quy ta sẽ thấy đáp ứng xung của hệ thống có chiều dài vô hạn, do vậy hệ thống này (hệ thống đệ qui) còn gọi là hệ thống có đáp ứng xung chiều dài vô hạn IIR (Infinite-Duration Impulse Response).

Xét tính ổn định

Hệ thống đệ quy có thể ổn định hoặc không ổn định. Khi xét hệ thống đệ quy, ta phải xét tính ổn định hệ thống. Đây là nhược điểm của hệ thống IIR so với hệ thống FIR xét về quan điểm độ ổn định.

Đối với hệ thống FIR có thể tìm ngay được h(n) từ các hệ số của phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng. Còn với hệ thống IIR, từ các hệ số của phương trình sai phân ta không thể tìm được ngay h(n). Nhưng từ nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ta lại có thể tìm được h(n). Cụ thể:

k k

N

h(n) y0

(n) A n k 1

(1.43)

Sau đây chúng ta sẽ xét tính ổn định của hệ thống IIR.

Sử dụng điều kiện ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả:



S 

n

h(n)

h(n)

n0

N N

S A n A n

n0 k 0

N

S A

k k k k

n0 k 0



n

k 0 N

k k

n0

n

S Ak k

N

Ak

k 0

k 0 n0

là hằng số, vậy nếu k <1 với mọi k thì ta có:



n

k 



n0

Vậy nếu

1 với mọi k thì hệ thống IIR tương ứng sẽ ổn định. Còn nếu chỉ



k

k

cần một trong số nghiệm của phương trình đặc trưng thống IIR tương ứng sẽ không ổn định.

1 thì tổng S  và hệ

Vậy ta có thể phát biểu lại điều kiện ổn định của hệ thống IIR như sau:

Điều kiện ổn định: Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định của một hệ thống IIR nhân quả được biểu diễn bởi một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng là giá trị tuyệt đối của tất cả các nghiệm ak của phương trình đặc trưng phải nhỏ hơn 1.

Nếu:

Thì:

k <1 với mọi k (1.44)



S h(n) 

n0

Sơ đồ thực hiện hệ thống:

M N

ynb0xnbrxnr (ak)y nk 

1r144 2 4 43 1k14 4 2 4 4 3

F1xn1,...,xnM F2 yn1,..., ynN 

 



xn



F1xn 1,..., xn M 	

b0b0xn







yn

F x n 1 ,..., x n N



2



Hình 1.39. Hệ thống đệ quy

Nhận xét: Hệ thống đệ quy, sơ đồ của nó gồm 2 khối F1 và F2. F1 giống như hệ thống không đệ quy còn F2 là nhánh phản hồi. Do có nhánh phản hồi nên ta phải xét độ ổn định của hệ thống IIR.

c. Hệ thống đệ quy thuần túy

Hệ thống đệ quy thuần túy là trường hợp riêng của hệ thống đệ quy khi M = 0. Khi N > 0, M = 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính bậc N như sau:

N

ynb0xnakynk 

k 1

a0  1

(1.45)

Nhận xét: Hệ thống đệ quy là hệ thống mà đáp ứng ra y(n) của nó phụ thuộc vào kích thích vào chỉ ở thời điểm hiện tại và vào đáp ứng ra chỉ ở thời điểm quá khứ.

Ta có thể viết:

y nF xn, y(n 1), y(n  2),..., y(n N )(1.46)

Ở đây

F .ký hiệu là hàm.

Tất nhiên hệ thống đệ quy thuần túy cũng là hệ thống IIR, tức là đáp ứng xung

h(n) của nó có chiều dài vô hạn.

Sơ đồ thực hiện hệ thống:

N

ynb0xn(ak)y nk 

1k14 4 2 4 4 3

F2yn1,..., ynN 



0

b0 bxn

F x n 1 ,..., x n N



xn

2



 

Hình 1.40. Hệ thống đệ quy thuần túy

yn





Nhận xét: Hệ thống đệ quy, sơ đồ của nó chỉ có b0 và F2. Do F2 là nhánh phản hồi nên nó cũng là hệ thống IIR và ta phải xét độ ổn định của nó.

Ví dụ 1:

Cho hệ thống đệ quy thuần túy mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau:

y n 3y n1 2y n  2x n

Hãy tìm đáp ứng xung h(n) và xét độ ổn định của nó với điều kiện ban đầu

y(n)= 0 với n < 0.

Giải:

Ở đây N = 2, M = 0, b0 = 1

Để xác định h(n) ta chỉ cần tìm y0(n). Phương trình đặc trưng có dạng:

2  3 2  0

Ta có:

1  1 ;2  2

Vậy:

ynA 1nA 2nh(n)

0 1 2

Xác định A1 và A2 theo điều kiện ban đầu và đặt

x n(n)

n = 0:

y 0 3y 1 2y 20 1

Ta có: y(0) = 1

n = 1:

y 1 3y 0 2 y 11 0

Ta có: y(1) = 3

Thay vào y0(n) ta có:

y 0A1 A2  1

y 1A1  2 A2  3

A1 1; A2  2



h n1 2.2n  2n1 1

n  0



Vì 1

1 vµ

2 1 nên hệ thống này không ổn định.

2

Ví dụ 2:

Cho phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng:

ynb0xnb1xn1b2xn 2b5xn 5

Hãy vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống cho bởi phương trình này.

Giải:

Đây là phương trình sai phân của hệ thống không đệ quy: N = 0, M = 5. Sơ đồ hệ thống như trên hình 1.41

b0

xn

D b1

yn

D b2

D

F1

D

D b5

Hình 1.41. Sơ đồ hệ thống không đệ quy ví dụ 2

Ví dụ 3:

Hãy vẽ sơ đồ cấu trúc của hệ thống rời rạc được cho bởi phương trình sai phân

tuyến tính:

3 3

ynakynk brxnr 

k1 r0

Giải:

Đây là phương trình sai phân của hệ thống đệ quy: N = M = 3. Sơ đồ hệ thống như trên hình 1.42

b0

xn

D

b1

a1

yn

D

D

b2

a2

D

D

b3

a

D

3

Hình 1.42. Sơ đồ hệ thống đệ quy ví dụ 3