Phương Pháp Giải Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính Hệ Số Hằng

h(n) = 0 với mọi n < 0 (1.24)

Định lý đảo:

Nếu đáp ứng xung h(n) của một hệ thống tuyến tính bất biến bằng 0 với n < 0 thì hệ thống đó là nhân quả.

Nhận xét: Các hệ thống nhân quả là hệ thống duy nhất thực hiện được về mặt vật lý. Đối với các hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả, ta có thể biến dạng công thức tích chập dựa theo tính chất h(n) = 0 với n < 0.



y(n) x(n) h n

x k h n k 

k

h n k 0 víi k n h n k 0 víi k n

y(n) 

x k h n k 

k 

Nếu viết ở dạng: y(n) h(n) x nh(k) = 0 với k < 0



h k x n k 

k

y(n) hkx nk 

k0

Ví dụ 1:

Xét tính nhân quả của hai hệ thống bất biến được cho bởi các phương trình sai phân sau:

y (n) 2x n 1x n 2

y (n) 3x n 12x n 2x(n 2)

Giải:

Đặt

x nnynhn

Ta có:

h (n) 2n1n2

h (n) 3n12n2(n 2)

Xem hình 1.34 ta thấy rằng:

h1(n) = 0 với n < 0 nên h1(n) là nhân quả.

h2 (n) ≠ 0 với n < 0 nên h2(n) là không nhân quả.

h1n

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n

h2n

Hình 1.34. Đáp ứng xung của hai hệ thống trong ví dụ 1.

c. Dãy nhân quả

Định nghĩa: Một dãy x(n) được gọi là nhân quả nếu x(n) = 0 với n < 0.

Đối với một hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có kích thích x(n) là nhân quả thì:

x(n) = 0 với n < 0 (1.25)

x(k) = 0 với k < 0

Và: h(n) = 0 với n < 0 h(n-k) = 0 với k > n

Ví dụ 2:

y(n) x k hn k 

k0

(1.26)

Cho hệ thống tuyến tính bất biến có h(n) và x(n) như sau:

a

h n

0

n 0

n 0

b

x n

0

n 0

n 0

Với 0 < a <1 0 < b <1

Hãy tính y(n)

Giải:

Vì h(n) và x(n) đều là nhân quả, nên ta có:

y(n) 

k0

x(k)h(n k) 

k0

bk ank an a1 kbk

1 ba1 n1

n1

y n 

an



0

1 ba1

a b

a b

n 0

n 0

Nhận xét:

Từ ví dụ 2 ta thấy rằng đối với hệ thống h(n) nhân quả có kích thích vào x(n) nhân quả thì ra sẽ có đáp ứng ra y(n) nhân quả. Tương tự, nếu ta xét trên quan điểm chiều dài của dãy ta thấy rằng nếu:

L hn0,

Và Thì

L x n0,

L y n0,

Ở đây, ta ký hiệu L là chiều dài của dãy.

Nếu hệ thống h(n) và kích thích vào x(n) nhân quả nhưng có chiều dài hữu hạn thì ta có thể suy ra ngay chiều dài của dãy.

L hn0,N 1N N 0

1 1 1

Và:

L x n0,N 1N N 0

2 2 2

Thì:

L yn0,N N 1N N 1

1 2 1 2

d. Dãy và hệ thống phản nhân quả

Ngược lại với khái niệm nhân quả, chúng ta có khái niệm phản nhân quả. Một dãy x(n) được gọi là phản nhân quả nếu x(n) = 0 với n > 0.

Một hệ thống rời rạc được gọi là phản nhân quả nếu đáp ứng xung h(n) của nó thỏa mãn điều kiện h(n) = 0 với n > 0.

Ví dụ 3:

x n



Xét tính nhân quả của các tín hiệu cho trên hình 1.35.

x n



-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 n

Giải:

x1 (n) và

Hình 1.35. Biểu diễn tín hiệu của ví dụ 3.

x2 (n) là các tín hiệu phản nhân quả.

x1 (n)là tín hiệu phản nhân quả có chiều dài vô hạn

Lx (n),0

x2 (n)là tín hiệu phản nhân quả có chiều dài hữu hạn

1.3.4. Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định

Lx (n)4,05

Định nghĩa: Một hệ thống tuyến tính bất biến gọi là ổn định nếu ứng với dãy đầu vào giới hạn ta cũng có dãy đầu ra giới hạn (biên độ bị hạn chế ≠ ±∞ ).

Tức là với

x nvới n bất kỳ

Ta sẽ có

ynvới n bất kỳ

Hệ thống này còn được gọi là hệ thống BIBO (Bounded Input Bounde Output)

Định lý:

Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là ổn định nếu và chỉ nếu đáp ứng xung h(n) của nó thoả mãn điều kiện sau đây:



Ví dụ 1:

S 

n

h(n) 

(1.27)

Hãy xét tính nhân quả và ổn định của hệ thống có đáp ứng xung :

Giải:

- Tính nhân quả:

a

h n

0

n 0

n 0

Vì đáp ứng xung h(n) = 0 với mọi n < 0 nên hệ thống này là nhân quả.

- Tính ổn định:



S 

n

h(n)

a n n0

Nếu

a 1 thì chuỗi này hội tụ về số hữu hạn:

S 1

Nếu a 1 thì chuỗi này phân kỳ.

Vậy hệ thống này ổn định nếu

a 1 và hệ thống sẽ không ổn định nếu

a 1.

1.4. Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

1.4.1. Khái niệm

- Phương trình sai phân tuyến tính

Về mặt toán học, kích thích vào x(n) và đáp ứng ra y(n) của hầu hết các hệ thống tuyến tính thỏa mãn phương trình sai phân tuyến tính sau đây:

N M

akny n k brnx n r 

(1.28)

k0 r0

Ở đây N và M là các số nguyên dương.

N gọi là bậc của phương trình sai phân.

Nhận xét: Trong phương trình này, tập hợp các hệ số

an,

b nsẽ biểu diễn

toàn bộ hành vi của hệ thống đối với một giá trị n cho trước, thay cho đáp ứng xung.

- Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

Phương trình sai phân có tất cả các hệ số phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

ak và br

là hằng số được gọi là

Trong chương trình, chúng ta chỉ đi sâu nghiên cứu các hệ thống tuyến tính bất

biến mà dãy vào và dãy ra của hệ thống này được liên hệ với nhau bởi một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N. Vì vậy chúng ta nghiên cứu kỹ các phương trình này.

Một hệ thống tuyến tính bất biến về mặt toán học được mô tả bởi một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng dạng tổng quát sau đây:

N M

aky n k brx n r 

(1.29)

k0

Tập hợp các hệ số hằng

r0

ak , br sẽ biểu diễn một hệ thống tuyến tính bất biến.

Chúng ta có thể viết phương trình dưới dạng khác sau đây:

N M

a0y(n) akynk brxnr 

Nếu:

k 1

r 0

M b N a

a0  0 y(n) r x nr ky nk 

r 0 a0

M N

'

k 1 a0

' ' b ' a

y(n) b x n r a y n k víi b r,a k

r k r a k a

r0

k 1 0 0

Đáp ứng ra y(n) được xác định bởi phương trình sai phân như trên tương đương với đáp ứng ra được xác định theo phép tích chập:



y nx nh n

x k h n k 

k 

Đáp ứng xung h(n) đặc trưng cho hệ thống.

Chú ý: Nếu đầu vào là xung đơn vị δ(n) thì đầu ra ta có đáp ứng xung h(n).

hn	yn