Các Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến

Dãy x(n) có chiều dài: L[x(n)] = [0, 3] = 4

xn

`

-2 -1 0 1 2 3 4 n

Hình 1.22. Dãy có chiều dài hữu hạn N=4

c. Năng lượng của dãy

Năng lượng của dãy x(n) được định nghĩa như sau:



Ví dụ 3:

Ex 

n

x(n) 2

(1.8)

Hãy tính năng lượng của các dãy: (n), u(n), rectN (n).

Giải:

Ex 



(n) 2  1

n



Dãy có năng lượng hữu hạn

E rect

(n) 2 N Dãy có năng lượng hữu hạn

x N

n



Ex 



n

u(n) 2 

Dãy có năng lượng vô hạn

d. Công suất trung bình của dãy

Công suất trung bình của dãy x(n) được định nghĩa như sau:



P  lim 1 N x(n) 2

(1.9)

x

N 2N 1 nN

Nếu ta định nghĩa năng lượng của tín hiệu x(n) trong một khoảng hữu hạn

N n N

là:

N

E x(n) 2

N (1.10)

nN

thì có thể biễu diễn năng lượng tín hiệu như sau:

x N

E  lim E

N 

và công suất trung bình của tín hiệu x(n) là:

(1.11)

P  lim 1E

(1.12)

x N 2N 1 N

Như vậy, nếu

Ex là hữu hạn thì

P 0

. Mặt khác, nếu

Ex là vô hạn thì công

x

suất trung bình

Ví dụ 4:

Px có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.

Hãy tính công suất trung bình của dãy u(n) và rectN(n).

ynb0xnb1xn1b2xn 2b4xn 4

N

Giải:

N

P  lim1

u(n) 2  lim1

1 2  limN 11

u N 2N 1

nN N 2N 1 n0

N 2N 1 2

P  lim 1

'

N

rect

(n) 2  lim

N 1



1

1 2  lim

N  0

rectN

N ' 2N ' 1

N

nN '

N ' 2N ' 1

n0

N ' 2N ' 1

Nhận xét: Erect = N là hữu hạn, vì vậy Prect = 0.

Dãy năng lượng

Nếu năng lượng của dãy x(n) là hữu hạn (tức là 0 Ex  ) thì x(n) gọi là dãy năng lượng.

Dãy công suất

Nếu Px là hữu hạn (tức là 0 Px  ) thì x(n) gọi là dãy công suất.

Từ các ví dụ trên ta thấy rằng rectN(n) là dãy năng lượng còn u(n) là dãy công suất.

e. Tổng của 2 dãy

Tổng của 2 dãy nhận được bằng cách cộng từng đôi một các giá trị mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập.

Ví dụ 4:

Cho hai dãy:

x1 nrect3 n1và

x2 nrect3 n 2

Hãy tính tổng của hai dãy

x1 nvà

x2 nlà dãy

x3 n:

Giải:

x3 nx1 nx2 n

Tổng của hai dãy x1 nvà

x2 nlà dãy

x3 n

được thể hiện trên hình 1.23.

x1 n

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n

x2 n

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n

x3n

2

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n

f. Tích của 2 dãy

Hình 1.23.

x1 nvà

x2 nvà dãy tổng

x3 n

Tích của 2 dãy nhận được bằng cách nhân từng đôi một các giá trị mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập.

Ví dụ 5:

Cho hai dãy:

x1 nrect3 n1và

x2 nrect3 n 2

Hãy tính tích của hai dãy

x1 nvà

x2 nlà dãy

x3 n:

Giải:

x3nx1nx2n

Tích của 2 dãy được thể hiện trên hình 1.24.

x1 n

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n

x2 n

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n

x3 n

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n

Hình 1.24.

x1 nvà

x2 nvà dãy tích

x3 n

g. Tích của một dãy với hằng số

Tích của một dãy với các hằng số nhận được bằng cách nhân tất cả các giá trị mẫu của dãy với hằng số đó.

Ví dụ 6:

Cho dãy x nrect n 1. Hãy tính: x (n) x (n) víi =2

1 3 2 1

Giải:

Tích của dãy số với hằng số 2 được thể hiện trên hình 1.25.

x1n

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n

x2 n

2

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n

Hình 1.25. Tích của dãy với hằng số 2

h. Trễ (dịch)

Ta nói rằng dãy x2(n) là dãy dịch trễ của dãy x1(n) đi n0

sau đây:

giá trị nếu có quan hệ

Ví dụ 7:

x2 (n) x1(n n0 )

với mọi n, n0 là số nguyên

Cho tín hiệu x(n) được mô tả như sau:

x(n) (n) 3 n1 n 21 n 3

4 2 4

Hãy biểu diễn đồ thị tín hiệu x(n).

Giải:

n

1

-1 0 1 n

3n 1

4

3

4

-1 0 1 2 3 n

1n  2

2

1

2

-1 0 1 2 3 n

1n  3

4

1

4

-1 0 1 2 3 n

x n

`

1

3

4

1

2

1

4

-2 -1 0 1 2 3 4 n

Hình 1.26. Minh hoạ x(n) trong ví dụ 7.

Ta có biễu diễn toán học tín hiệu x(n) như sau:

ï

íïï 1- n

x(n)= ì 4

0 £ n £ 4

î

ïïï 0

n cßn l¹i

Nhận xét: Nhờ có phép tổng, tích và trễ chúng ta có thể biểu diễn một dãy x(n) dưới dạng sau đây:

x(n) 



x k .n k 

k 

(1.13)

Trong đó, x(k) là giá trị x(n) tại thời điểm n = k. Do vậy, về mặt bản chất x(k) và x(n) khác nhau (n là biến thời gian rời rạc, k là chỉ số), nhưng về mặt thể hiện x(n) và x(k) là như nhau.

1.3. Các hệ thống tuyến tính bất biến

1.3.1. Các hệ thống tuyến tính

a. Một số khái niệm:

Ký hiệu hệ thống:

Hệ thống	y(n)
	Ra

Có thể bạn quan tâm!

• Xử lý tín hiệu số - 1
• Xử lý tín hiệu số - 2
• Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Và Nhân Quả
• Phương Pháp Giải Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính Hệ Số Hằng
• Sơ Đồ Thực Hiện Hệ Thống Đệ Quy Và Không Đệ Quy

Xem toàn bộ 272 trang tài liệu này.

x(n)

Vào

Hình 1.27. Ký hiệu hệ thống

Kích thích và đáp ứng:

- Dãy vào của hệ thống được gọi là kích thích.

- Dãy ra của hệ thống được gọi là đáp ứng của hệ thống ứng với kích thích đang khảo sát.

Toán tử T:

Một hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi dãy vào thành dãy ra.

Chúng ta có thể sử dụng hai loại ký hiệu toán tử sau đây:

hoặc:

Txny n

xnTy n

(1.14)

Chúng ta cũng có thể biểu diễn hệ thống này bằng sơ đồ cho trên hình 1.28.

T	y(n)

x(n)

Hình 1.28. Hệ thống đặc trưng bởi toán tử T

b. Định nghĩa hệ thống tuyến tính

Định nghĩa: Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu toán tử T của nó thỏa mãn nguyên lý xếp chồng, tức là phải tuân theo quan hệ sau đây:

Tax1nbx2naT x1nbT x2nay1nby2n

Ở đây a và b là hai hằng số bất kỳ

(1.15)

y1 n, y2 n

tương ứng là đáp ứng của kích thích

x1 n, x2 n.

Ví dụ 1: Hãy xét tính tuyến tính của các hệ thống sau :

a. y(n) =

nx(n)

b. y(n) =

x2 (n)

Giải:

a. Đáp ứng của hệ thống đối với hai kích thích riêng rẽ x1(n) và x2(n):

y1(n) =

y2 (n) =

nx1(n) =

nx2 (n) =

F[x1(n)]

F[x2 (n)]

Đáp ứng của hệ thống đối với kích thích xếp chồng

x(n) = [a1x1(n)+ a2 x2 (n)]:

y(n) =

F [a1x1(n) +

a2 x2 (n)] =

n.[a1x1(n) +

a2 x2 (n)]

y(n) =

n.a1.x1(n) + n.a2.x2 (n) =

a1.[ n.x1(n)] + a2.[ n.x2 (n)]

Vậy :

y(n) =

a1 y1(n) +

a2 y2 (n) =

a1.F[x1(n)] +

a2.F[x2 (n)]

Hệ thống có toán tử T thỏa mãn nguyên lý xếp chồng nên là hệ thống tuyến tính.

b. Đáp ứng của hệ thống đối với hai kích thích riêng rẽ x1(n) và x2(n):

y (n) = x2 (n) = F[x (n)]

1 1 1

y (n) = x2 (n) = F[x (n)]

2 2 2

Phản ứng của hệ đối với tác động xếp chồng

x(n) = [a1x1(n) +

a2 x2 (n)] :

y(n) =

F[a x (n) + a x (n)] = [a x (n) + a x (n)]2

1 1 2 2 1 1 2 2

y(n) =

a2 x2 (n) + 2a a x (n)x (n) + a2 x2 (n)

1 1 1 2 1 2 2 2

y(n) =

a2 y (n) + 2a a x (n)x (n) + a2 y

(n)

Vậy :

y(n) ¹

1 1 1 2 1 2 2 2

a1F[x1(n)]+ a2 F[x2 (n)]

Hệ thống có toán tử T không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng nên không là hệ thống tuyến tính (hệ thống phi tuyến).

c. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính:

Ta thấy rằng một dãy bất kỳ x(n) được biểu diễn bằng biểu thức tổng sau đây:



x(n) 

x(k)n k 

k 

Giả sử hệ thống là tuyến tính, ta có thể viết:

y(n) T x nT x(k)nk 



k 

Vì x(k) độc lập với n, nên ta có:



y(n) T xn

x(k)T nk 

k 

(1.16)

Nếu ta ký hiệu

h (n) là đáp ứng của hệ thống với kích thích n k thì điều

k

này có nghĩa là:

hknT nk .

Vậy ta có:



y(n) x(k)hk n

k 

(1.17)

Đáp ứng

hk (n) được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính.

Nhận xét:

- Các hệ thống tuyến tính được đặc trưng hoàn toàn bởi đáp ứng xung của nó.

- hk n

là hàm của k và n, như vậy ở các giá trị k khác nhau sẽ cho ta các đáp

ứng xung khác nhau, hệ thống tuyến tính này sẽ phụ thuộc vào biến k, nếu biến k là thời gian, thì ta có hệ thống tuyến tính phụ thuộc vào thời gian.

Sau đây chúng ta sẽ xét hệ thống tuyến tính bất biến theo k, tức là dạng của đáp

ứng xung

hk n

không phụ thuộc vào k.

1.3.2. Các hệ thống tuyến tính bất biến

a. Định nghĩa:

Nếu ta có

y(n)

là đáp ứng của kích thích

x(n)

thì hệ thống được gọi là bất biến

khi y(n k)

là đáp ứng của kích thích

x(n k) , ở đây k là số nguyên.

Nếu biến số là thời gian thì ta nói hệ thống bất biến theo thời gian.

b. Tích chập

Khi hệ thống của chúng ta là hệ thống tuyến tính và bất biến thì ta có quan hệ sau:

Tnhn

Tnk hnk hkn



y nxkhknxkhnk 

(1.18)

k k 

Ta có

hk n

là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính, phụ thuộc vào cả k và n.

Nếu đáp ứng xung của hệ thống không phụ thuộc vào k, tức là nếu k là biến thời gian

thì tại mọi thời điểm khác nhau đáp ứng xung của hệ thống luôn là

h n, thì

h n

được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến. Như vậy,

h n

sẽ đặc

trưng hoàn toàn cho một hệ thống tuyến tính bất biến, thể hiện trên hình 1.28.

Đáp ứng xung

h nđặc trưng hoàn toàn cho một hệ thống tuyến tính bất biến.

h(n)	y(n)

x(n)

Hình 1.28. Hệ thống tuyến tính bất biến Ta có quan hệ sau:



y nx k h n k x(n) h(n)

k 

(1.19)

Quan hệ trên đây được gọi là tích chập của x(n) và h(n), được ký hiệu bởi dấu *.