Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Và Nhân Quả

Chú ý: Tích chập này chỉ đúng với hệ thống tuyến tính bất biến vì nó được định nghĩa chỉ cho hệ thống này.

c. Các tính chất của tích chập

- Tính chất giao hoán

y(n) x(n) h nh nx(n)

(1.20)

= x k h n k 

k 

h k x n k 

k 

hn

Ý nghĩa: Trong một hệ thống tuyến tính bất biến ta có thể hoán vị đầu vào x(n) và đáp ứng xung h(n) cho nhau thì đáp ứng ra y(n) không thay đổi.

xn

yn

hn

yn

xn

Hình 1.31. Mô tả tính chất giao hoán của tích chập

- Tính kết hợp

y(n) x(n) h1nh2nx(n) h1nh2n

(1.21)

Ý nghĩa: Nếu ta có hai hệ thống tuyến tính bất biến ghép nối tiếp với nhau thì đáp ứng xung của hệ thống tổng quát sẽ là tích chập của đáp ứng xung của các hệ thống thành phần.

h1nh2n	yn

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 272 trang tài liệu này.

xn

xnh1n

yn

h2n

h1n

Hình 1.32. Mô tả tính chất kết hợp của tích chập

- Tính chất phân phối

y(n) x(n) h1nh2nx(n) h1nx(n) h2n

(1.22)

Ý nghĩa: Nếu ta có hai hệ thống tuyến tính bất biến ghép song song với nhau thì đáp ứng xung của hệ thống tổng quát sẽ là tổng đáp ứng xung của các hệ thống thành phần.

xn

yn

h1n h2n

xnh1n

xn

yn

h2n

xnh2n

h1n

Hình 1.32. Mô tả tính chất phân phối của tích chập

Phương pháp tính tích chập

Về nguyên tắc chúng ta phải tính y(n) = x(n) * h(n) theo cách tìm từng giá trị

y(n) ứng với từng giá trị n cụ thể từ n đến n 



y n

x k h n k 

k

n : -

Với n < 0:



n 1

n 2

...

y 1

x k h 1 k 

k 

Ph¶i tÝnh ®Òn gi¸ trÞ n 

Với n ³ 0 :



n 0

n 1

...

y 0

x k h 0 k 

k 



x k h 1 k 

k 

Ph¶i tÝnh ®Òn gi¸ trÞ n 

...

Tập hợp các giá trị tìm được ta có kết quả tích chập y(n) cần tìm.

Để dễ dàng trong việc tính toán người ta đưa ra nhiều phương pháp tính phép chập. Sau đây sẽ trình bày một số phương pháp thường sử dụng để tính tích chập khi dãy x(n) và h(n) đều là các dãy hữu hạn và tồn tại trong khoảng thời gian ngắn.

Phương pháp tính tích chập bằng đồ thị

Phương pháp gồm các bước sau:

Bước 1: Đổi biến n thành biến k,

x(n)®

x(k), h(n)®

h(k), cố định

x(k).

h(0 -

Bước 2: Quay

k)ứng với n = 0.

h(k)

đối xứng qua trục tung để thu được

h(-

k), tức

Bước 3: Dịch chuyển

h(-

k)theo từng giá trị n, nếu n > 0 dịch chuyển về bên

phải, nếu n < 0 dịch chuyển về phía trái ta thu được

h(n - k)

Bước 4: Thực hiện phép nhân trị của k.

x(k)h(n -

k)theo từng mẫu đối với tất cả các giá

Bước 5: Cộng các giá trị thu được ta có một giá trị của y(n).Tổng hợp các kết

quả ta có dãy

y(n)cần tìm.

Chú ý: ta có thể cố định

h(k) rồi lấy đối xứng

x(k) qua trục tung, sau đó tiến

hành các bước như trên. Kết quả sẽ không thay đổi do tích chập có tính chất giao hoán.

Ví dụ 1:

Cho một hệ thống tuyến tính bất biến có:

x(n) rect5 n



1 n

h(n) 4

0

0 n 4

n cßn l¹i

Hãy tính tích chập

Giải:

x nhnbằng phương pháp đồ thị.

Ta thực hiện theo phương pháp tính tích chập bằng đồ thị:

- Đổi biến n thành biến k

- Giữ nguyên x(k), lấy đối xứng h(k) thành h(-k)

- Dịch h(-k) sang trái (n < 0) hoặc sang phải (n > 0) theo từng mẫu, sau đó tính từng giá trị của y(n) ứng với từng n, cụ thể như đồ thị sau:

n=0

0 1 2 3 4 5 n

xk rect5k

hk

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n

n=1

h1 k

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

xkh1 k

y1 3 1

1, 75

n=2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n

h2  k

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

xkh2  k

y1 1 3 1

2, 25

2 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n

Hình 1.29. Minh họa tính tích chập bằng đồ thị trong ví dụ 1.

Tiếp tục tính như trên ta được các giá trị:

y(3) = 2,5 y(5) = 1,5 y(7) = 0,25 y(-1) = 0 … y(- ) = 0

y(4) = 2,5 y(6) = 0,75 y(8) = 0 … y( ) = 0

Dựa vào kết quả tính toán, ta vẽ được đáp ứng ra của hệ thống:

yn

2,25

1,75

2,5

1,5

0,75

0,25

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 n

Hình 1.30. Kết quả tích chập trong ví dụ 1

Phương pháp tính tích chập theo quy luật trượt

Trong phương pháp tính tích chập theo quy luật trượt (Slide Rule Method), các bước cũng tương tự như phương pháp tính tích chập bằng đồ thị. Tuy nhiên, thay vì

biểu diễn đồ thị dãy x(k) và

h(-

k) thì ta biểu diễn bằng dãy số. Cụ thể như sau:

và h(-

Bước 1: Đổi biến n thành biến k,

k) dưới dạng dãy số.

x(n)®

x(k), h(n)®

h(k), biểu diễn

x(k)

Bước 2: Xếp thẳng hàng các giá trị x(0) và h(0) của 2 dãy, nhân từng cặp số và cộng các tích để có giá trị y(0).

Bước 3: Từ vị trí đã sắp xếp ở bước 2, thực hiện trượt dãy

h(-

k) về bên phải

theo từng giá trị n nếu n > 0 và trượt dãy

h(-

k) về bên trái nếu n < 0, để thu được

h(n -

k).

Bước 4: Thực hiện phép nhân

x(k)h(n -

k)theo từng mẫu đối với tất cả các giá

trị của k.

Bước 5: Cộng các giá trị thu được ta có một giá trị của y(n). Tổng hợp các kết

quả ta có dãy

y(n)cần tìm.

Ví dụ 2:

Cho một hệ thống tuyến tính bất biến có:

x(n) rect5 n



1 n

h(n) 4

0

0 n 4

n cßn l¹i

Hãy tính tích chập

Giải:

x nhntheo quy luật trượt.

- Đổi biến n thành biến k, biểu diễn

x(k) và

h(-

k) dưới dạng chuỗi số.

íï¯üï

x(k)= ì 1,1,1,1,1,ý

ïî

íï ¯

ïþ

3 1 1

üï ïí

1 1 3

¯ïü

h(k)= ì 1, , , ,0ý Þ h(- k)= ì 0, , , ,1ý

îï 4 2 4 ïþ ïî 4 2 4 ïþ

- Xếp thẳng hàng x(0) và h(0) và tính y(0)



1,1,1,1,1, 

 

 1 1 3  

0, , , ,1 

 4 2 4 

y0 1.1 1

- Lần lượt dịch h(-k) sang phải 1 đơn vị để tính

y(1), y(2)...

+ Tính

y(1):



1, 1, 1, 1, 1, 

 

 1 1 3  

0, , , ,1 

 4 2 4 

y1 1.1 1. 3

1,75

+ Tính

y(2):



1, 1, 1, 1, 1, 

 

 1 1 3  

0, , , ,1 

 4 2 4 

y2 1.1 1. 31. 1

1,25

4 2

….

Tiếp tục tính như trên ta được các giá trị:

y(3) = 2,5 y(5) = 1,5 y(7) = 0,25

y(4) = 2,5 y(6) = 0,75 y(8) = 0

Với n 8, thì dãy h(-k) trượt ra ngoài giá trị cuối cùng phía bên phải dãy x(k) nên y(n)=0

Với n -1, thì dãy h(-k) trượt ra ngoài giá trị cuối cùng về bên trái của x(k) nên

y(n)=0.

Phương pháp tính tích chập bằng giải tích

Xét trường hợp kích thích x(n) và đáp ứng xung h(n) đều là dãy nhân quả và có độ dài hữu hạn. Giả sử x(n) có độ dài M, và h(n) có độ dài L.

Khi đó ta có:

M 1

y(n) x(k)h(n k) x(k)h(n k)

(1.23)

k 0 k 0

Vì y(n) là dãy nhân quả, nên chỉ cần tính từ y(0). Do

(n k) 0 và (n k) (L 1) , theo (1.20) ta tính được :

h(n k) 0

với mọi



M 1

y(0) x(k)h(k) x(0)h(0) x(1)h(1) ... x(0)h(0)

k0



M 1 1

y(1) x(k)h(1 k) x(0)h(1) x(1)h(0) x(2)h(1) ... x(k)h(1 k)

k0

...........

M 1

k0

y(L 1) x(k)h(L 1 k)

k 0

M 1

y(L) x(k)h(L k) x(0)h(L) x(k)h(L k) x(k)h(L k)

k0

M 1

k1

y(L 1) x(k)h(L 1 k) x(k)h(L 1 k)

...........

k 0

M 1

k 2

M 1

y(L M 3) x(k)h(L M 3 k) 

k0

M 1



kM2

x(k)h(L M 3 k)

y(L M 2) x(k)h(L M 2 k) x(M 1)h(L 1)

k0



M 1

y(L M 1) x(k)h(L M 1 k) x(M 1)h(L) 0

k0

y(n) 0 với mọi n (L M 1) .

Nhận xét: Nếu hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h(n) hữu hạn với độ dài L , và kích thích x(n) hữu hạn có độ dài M, thì phản ứng y(n) có độ dài hữu hạn N = (L + M – 1).

Ví dụ 3:

Cho một hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có:

x(n) rect3 nh(n) rect2 n

Hãy tính tích chập

Giải:

x nhnbằng giải tích.

Vì hệ thống nhân quả, nên ta chỉ tính từ mẫu y(0).

1

y(n) h(k)x(n k) rect2(k).rect3(n k) rect3(n k)

k0

y(0) rect3(k) rect3(0) rect3(1) 1 0 1

k0

y(1) rect3(1 k) rect3(1) rect3(0) 1 12

k0

y(2) rect3(2 k) rect3(2) rect3(1) 1 12

k 0

y(3) rect3(3 k) rect3(3) rect3(2) 0 11

k0

y(4) rect3(4 k) rect3(4) rect3(3) 0 0 0

k0

y(n) 0 với mọi n 4 , y(n) có độ dài N 2 3 1 4 .

Trong thực tế thường gặp trường hợp hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả có đáp ứng xung h(n) hữu hạn, kích thích x(n) vô hạn. Khi đó, để tìm đáp ứng y(n) ta dùng biểu thức (1.20) với tính chất giao hoán của tích chập. Khi đó, ta có:

y(n) 2 rect (k 1).u(n k)



k 0

y(n) 2ku(n k)

k 1

y(0) 2ku(k) 21u(1) 22u(2) 0

k1

y(1) 2ku(1 k) 21u(0) 22u(1) 2

k1

Tính tiếp với mọi n  2 thì :

2 2 21 23

y(n) 2ku(n k) 2k6

k1

1 2

Tổng hợp các kết quả trên, nhận được :



0 víi n 0

y n2 víi n 1



6 víi n 2

1.3.3. Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả

a. Định nghĩa:

Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là nhân quả nếu đáp ứng ra của nó ở thời điểm bất kỳ n = n0 hoàn toàn độc lập với kích thích của nó ở các thời điểm tương lai n > n0.

Nói cách khác, đối với một hệ thống nhân quả đáp ứng ra không bao giờ đi trước kích thích của nó.

b. Định lý:

Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả phải bằng 0 với n < 0. Vậy: