Định Lý Nếu Hàm Số Nhiều Biến Có Tất Cả Các Đạo Hàm Riêng Cấp K Miền D Thì Tồn Tại Vi Phân Đến Cấp K Của Hàm Số Trên Miền D.

Khi nói một hàm nhiều biến có đạo hàm riêng thì ta hiểu tất cả các đạo hàm riêng

của hàm số đều tồn tại.

Ví dụ 5.16

a) Cho hàm số

f (x, y) =

4x3  2x 2 y 3  2 y . Tính

f ' , f ' (1,2) , f ' , f ' (1,2) .

x

x

y

Có thể bạn quan tâm!

• Hình Tròn Mở, Hình Tròn Đóng (Hình Cầu Mở, Hình Cầu Đóng)
• Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 20
• Ñònh Nghóa ( Số Gia Riêng Và Số Gia Toàn Phần)
• Định Lý 1 Giả Sử Hàm F(X,y) Thỏa 3 Điều Kiện
• Cách Tìm Cực Trị Hàm Hai Biến Dựa Vào Định Lý Điều Kiện Cần , Định Lý Điều Kiện Đủ, Tiêu Chuẩn Sylvester Vào Việc Xét Dấu Dạng Toàn Phương,
• Cách Tìm Cho Hàm F (X, Y) Liên Tục Trên Tập Đóng Và Bị Chặn E .

Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.

y

z

x x y y

b) Cho hàm số

1 s 2t 4

z

f ' (1,1,2) .

f (x, y, z) = 2xy 2 z 3  3x 2  5 ye z . Tính

f ' ,

f ' (1,1,2) ,

f ' ,

f ' (1,1,2) ,

f ' ,

c) Cho hàm số

f (s, t) . Tính

f ,

s

f .

t

d) Cho hàm số

z u ln(1 v2 )  5r 3 . Tính

z ,

u

z ,

v

z .

r

e) Cho

f x, y x2 y  sin x . Tính

f 'x ,

f 'y .

Giải

a) f ' = 12x 2  4xy 3  0 , f ' (1,2) = 12 12  4 1 23  44

x x

f ' = 0  6x 2 y 2  2 , f ' (1,2) = 6 12  22  2  26

y

x

b) f ' =

y

f ' =

y

x

2 y 2 z 3  6x , f ' (1,1,2) = 2 12  23  6 1  22

y

4xyz 3  0  5e z , f ' (1,1,2) = 4 11 23  0  5e2  32  5e2

f ' = 6xy 2 z 2  0  5 ye z , f ' (1,1,2) = 6 112  22  0  5 1e2  24  5e2

z

c) f =

s

z

2 1 s 2 t 4

1 s 2t 4

2s s

, f =

t

2 1 s 2 t 4

1 s 2t 4

4t 3

 2t 3

d) z = 1 ln(1 v 2 ) + 0 = ln(1 v 2 ) ,

u

z =

v

2uv 1 v 2

 0 =

2uv ,

1 v 2

z = 0  15r 2  15r 2

r

e) f 'x  2xy  cos x ; f 'y

x2 .

 2x3 y3

Ví dụ 5.17Cho hàm

f x, y x2 y2





0,

, x, y 0, 0

. Tính

x, y 0, 0

Giải

f0, 0;

x

f0, 0.

y

lim

f 0 x, 0f 0, 0 lim 2.x  0 2 , suy ra

f0, 0 2 .

x0 x x0 x x

lim

f 0, 0 yf 0, 0 lim x  0 1, suy ra

f0, 0 1 .

y0 y x0 x y

Ví dụ 5.18 Cho hàm số

f (x, y) =

x y

a) Xét tính liên tục hàm số tại (0,0) .

b) Tính

f (0,0) ,

x

f (0,0) .

y

Giải

Tập xác định hàm số là D = 2.

a) f (0,0) =

tại (0,0) .

0  0  0 ,

lim f(x, y) =

x0

y0

lim ( x y) 

x0

y0

0  0  0 = f (0,0) . Vậy hàm số liên tục

b) f (0 x,0) x +0 =

x ,

f (0, y) =

0 y = y

x  0

x

x

f (0,0) =

lim

f(0  Δx,0)  f(0,0)=

lim

 lim

 lim

x  1=

lim

giới

x Δx0 Δx

Δx0 Δx

Δx0Δx

Δx0Δx

Δx0 Δx

hạn này không tồn tại vì:

lim

 lim x  1,

x

lim

 lim x 1

x

Δx0Δx

Δx0Δx

Δx0Δx

Δx0Δx

Vậy không tồn tại đạo hàm riêng

f (0,0) .

x

f (0,0) =

lim

f(0,0 y)  f(0,0) 

lim

y  1 .

y Δy0 Δy

Δy0 Δy



xy

khi

(x, y)  (0,0)

Ví dụ 5.19 Cho hàm số

f (x, y) x 2 y 2

a) Tính

f (0,0) ,

x

f (0,0) .

y

0

Khi

(x, y)  (0,0)

b) Chứng minh hàm số không liên tục tại (0,0) .

Giải

Tập xác định hàm số là D = 2

a) f (0,0) = 0,

f (0 x,0) 

x  0

x 2  02

 0 ,

f (0,0 y) 

0 y

02 y 2

 0 .

f (0,0) =

x

f (0,0) =

lim

Δx0

lim

f(0  Δx,0)  f(0,0) =

Δx

f(0,0 y)  f(0,0) 

lim

Δx0

lim

0  0  0

Δx

0  0  0

y

Vậy

Δy0

f (0,0) = 0,

x

Δy

f (0,0) = 0.

y

Δy0 Δy

b) lim f(x, y) = lim xy

x0 y0

x0 x 2 y 2

y0

Chọn (xn

, yn ) 

(0, 1 )

n

n(0,0) . Khi đó

f (xn

, yn

)  0 n 0

Chọn (xn

, yn ) 

( 1 , 1 ) n(0,0) . Khi đó f (x , y ) 1n1 0

n n

n n 2 2

Suy ra, không tồn tại lim

xy, và do đó hàm số

f (x, y) không liên tục tại (0,0) .

Vậy hàm số

(0,0) .

f (x, y)

x0 x 2 y 2

y0

có các đạo hàm riêng

f (0,0) = 0,

x

f (0,0) = 0 nhưng không liên tục tại

y

3. Vi phân toàn phần

3.1- Định nghĩa khả vi và vi phân toàn phần

Hàm f (x, y)

gọi là khả vi tại (xo, yo)

nếu số gia toàn phần f (xo, yo)

có thể viết dưới dạng

f (xo , yo ) = A. x + B. y + 0( x) + 0( y) = A. x + B. y +0( ρ )

(x)2  (y)2

Trong đó A, B là các hằng số chỉ phụ thuộc vào (x0,y0) và ρ .

Khi đó biểu thức [A. x + B. y] gọi là vi phân toàn phần của hàm ký hiệu là df(x0,y0) hay dz(x0,y0) . Vậy df(x0,y0) = A. x + B. y.

f (x, y)

tại (xo, yo)

và được

Hàm z =

f (x, y)

gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc miền D.

3.2- Định lý Nếu hàm

f (x, y)

khả vi tại (x0,y0) thì

f (x, y)

liên tục tại (x0,y0).

 Hệ quả : Nếu hàm

f (x, y)

không liên tục tại (x0,y0) thì

f (x, y)

không khả vi tại (x0,y0).

3.3 -Định lý (điều kiện cần của khả vi)

Nếu hàm z =

f (x, y)

khả vi tại (x0,y0) thì

f (x, y)

có các đạo hàm riêng tại (x0,y0) và

f (x

x 0

, y0

) A ,

f (x

y 0

, y0

) B

 Hệ quả: Nếu hàm (x0,y0).

Chú yù

f (x, y) không có đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì

f (x, y)

không khả vi tại

Có thể hàm số

f (x, y)

có các đạo hàm riêng tại

(xo , yo )

nhưng không liên tục và cũng

không khả vi tại (xo, yo) .

Có thể hàm số

f (x, y)

liên tục tại

(xo , yo )

nhưng không có các đạo hàm riêng và cũng

không khả vi tại (xo, yo) .

Ví dụ 5.20



xy

khi

(x, y)  (0,0) f

a) Hàm số

f (x, y) x 2 y 2

có các đạo hàm riêng x (0,0) = 0,

0

Khi

(x, y)  (0,0)

f (0,0) = 0 nhưng không liên tục tại (0,0)

y

và do đó cũng không khả vi tại.

b) Hàm số

f (x, y) =

x y

liên tục tại

(0,0)

nhưng không có các đạo hàm riêng

f (0,0) , f (0,0) và cũng không khả vi tại (0,0) .

x y

3.4 -Ñònh lyù (điều kiện đủ của khả vi )

Nếu hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng trong lân cận điểm (x0,y0) và các đạo hàm riêng

f ,f

x y

liên tục tại (x0,y0) thì f(x,y) khả vi tại (x0,y0) .

f f

 Hệ quả: Nếu hàm số z =

f (x, y)

có các đạo hàm riêng

x , y

trong tập mở D và các đạo

hàm riêng

f ,f

x y

liên tục trên D thì

f (x, y)

khả vi trên D.

Chú yù Định lý và hệ quả này cũng đúng đối với hàm n biến (n  3) .

3.5 -Công thức tính vi phân

i) Cho hàm z =

f (x, y)

khả vi

df =

f dx f dy = f ' dx +

f ' dy = z' dx  z' dy dz

x yx

y x y

df(x0,y0) =

f (x

x 0

, y 0

)dx f (x

y 0

, y 0

)dy dz(xo

, yo )

ii) Tương tự, nếu hàm ba biến u f (x, y, z) khả vi

df =

f dx f dy f dz = f ' dx + f ' dy + f ' dz du

Ví dụ 5.21

x y z x y z

x 2 y 2

a) Chứng minh hàm hai biến z = (x+y) tính vi phân dz, dz(3,4).

khả vi trên tập R2(0,0)và

b) Tính vi phân toàn phần hàm số

f x, y x2 .sin y .

x 2 y 2

x 2 y 2

,

+

Giải

z



x

a)Các đạo hàm riêng '

(x y)x '

y 2 x 2

z



y

+ (x y) y

xác định và liên

y 2 x 2

x 2 y 2

tục trên tập R2(0,0)nên hàm số z = (x+y) khả vi trên tập R2(0,0)

x 2 y 2

dz = (

+ (x y)x

)dx +

+ (x y) y dy

y 2 x 2

x 2 y 2

y 2 x 2

dz(3,4) =

46 dx + 53 dy

b) df

f

x

5

dx f

y

5

dy  2x.sin y.dx x2 .cos y.dy

Ví dụ 5.22

Chứng minh hàm ba biến

df (1,1,2) .

f (x, y, z) x 2 e y y 3 z 2  2xz 3

Giải

khả vi và tính vi phân df ,

Các đạo hàm riêng

f '  2xe y  2z 3 ,

f ' x 2 e y  3y 2 z 2 ,

f ' 

2 y 3 z

 6xz 2

xác định và liên tục

x

y

z

trên 3nên hàm số

f (x, y, z)

khả vi trên 3.

Vi phân df = f 'dx + f 'dy + f 'dz  (2xe y 2z 3)dx  (x 2e y 3y 2z 2)dy + (2 y 3z

 6xz 2 )dz

x y z

df (1,1,2) = (2e  16)dx  (e  12)dy + 28dz

3.6- Qui tắc tính vi phân

d(f g) = df dg , d(f.g) = g.df+f.dg ,

d f =



g

gdf fdg g 2



3.7 - Áp dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng

Cho hàm z 

f (x, y) khả vi tại (xo, yo) , khi đó ta có công thức tính gần đúng

f(x 0

 Δx, y0

 Δy)  f(x 0

, y0

)  f ' (x

, y0

)x  f ' (x

, y0

)y

x

y

0

0

 Chú ý: Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của hàm n biến ( n 3) cũng tương tự như hàm 2 biến. Chẳng hạn u = f(x,y,z) là hàm khả vi thì : df = f 'dx  f 'dy + f 'dz = du.

4 - Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao

4.1 - Đạo hàm riêng cấp cao

x y z

x

Cho hàm 2 biến z = f(x,y) . Các đạo hàm riêng f '

, f '

là các đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm

y

riêng của các đạo hàm riêng cấp 1 này ( nếu tồn tại) gọi là các đạo hàm riêng cấp 2 và được ký hiệu và định nghĩa như sau:

2 f ' '

' ' 2 z

f

' '

2 f ' '

' ' 2 z

f

' '

 2  f xx  z xx 

2 x x  f x x

 xy  f xy  z xy xy y x = f x y

x x

2f

' '

' '

2z

  f yx  z yx 





f 

'

'

f y 



2f

' '

' '

2z



f 

'

'

  f yy  z yy f y 

yx

yx

x y x

y2

y2

y y y

Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp (n–1) gọi là đạo hàm riêng cấp n.

Các đạo hàm riêng cấp cao của hàm n biến (n 3) tương tự như hàm 2 biến.

Ví dụ 5.23Tính các đạo hàm riêng cấp hai hàm số

y

Giải

f (x, y) x3 sin y  3y 2 ye x

x

f

f

f

yy

xy

yx

Các đạo hàm riêng cấp một: f '

 3x 2 sin y ye x ,

f ' x3 cos y  6 y e x

f

xx

Các đạo hàm riêng cấp hai:

4.2- Định lý Schwarz

''  6x sin y ye x ,

'' x3 sin y  6 ,

''  3x 2 cos y e x ''

xy

, f

xy

, f

yx

yx

Nếu hàm z = f(x,y) có các đạo hàm riêng f ' ' ' ' trong một lân cận nào đó của (x0,y0) và f ' ' ' '

f '' (x ,y f '' (x ,y )

xy 0 0 yx 0 0

liên tục tại (x0,y0) thì :

Định lý này cũng đúng cho hàm n biến (n 3) và các đạo hàm riêng cấp cao hơn cấp hai.

4.3-Vi phân cấp cao Cho hàm z 

f (x, y)

Vi phân toàn phần của f (x, y) gọi là vi phân cấp 1: df(x,y) = f dx f dy  f 'dx  f 'dy  dz

x y x y

Vi phân toàn phần của df(x,y) (nếu ) gọi là vi phân toàn phần cấp 2.

Ký hiệu: d2z , d2f , d2z = d(dz) = d(df)

Vi phân toàn phần cấp 3 , 4 , … , n được ký hiệu và định nghĩa lần lượt là:

d3z = d(d2z) = d(d2f) d4z = d(d3z) = d(d3f) dnz = d(dn-1z) = d(dn-1f)

Vi phân cấp cao hàm n biến (n 3) tương tự hàm hai biến.

4.4 Định lý Nếu hàm số nhiều biến có tất cả các đạo hàm riêng cấp k miền D thì tồn tại vi phân đến cấp k của hàm số trên miền D.

4.5 Công thức tính vi phân cấp cao

(k  1) liên tục trên

i) Cho hàm số

z f (x, y)

có các đạo hàm riêng cấp cao liên tục

d 2 f (x, y) = f ' ' dx 2  2f ' ' dxdy  f ' ' dy 2 = d2z

xx

2f

xy

2f

yy

2f

ky hieu 

2

=

x 2

dx 2  2



xy



dxdy 



y 2



n

dy 2



x

dx 

dy f

y 



Vi phân cấp n : d nf 

x

dx 

dy  f .

y 

ii) Cho hàm số u 

f (x, y, z)

có các đạo hàm riêng cấp cao liên tục

d 2 f (x, y, z) = f ' ' dx 2  f ' ' dy2  f ' ' dz 2  2f ' '

dxdy  2f ' '

dxdz  2f ' '

dydz

xx

2 f

x 2

dx 2

yy

2 f

y2

dy2

zz

2 f

z 2

dz 2

xy



2 f

2 xy

xz

dxdy  2

2 f

xz

yz

dxdz  2

2 f

yz

dydz

2

= x dx y dy z dz f



Ví dụ 5.24Tính vi phân cấp hai



d 2 f (x, y) , d 2 f (1,2)

Giải

của hàm số

f (x, y) x3 y  3y 2 e x2 y

x

f

Các đạo hàm riêng cấp một: f '

 3x 2 y e x2 y ,

f ' x3  6 y  2e x2 y

y

Các đạo hàm riêng cấp hai:

''  6xy e x2 y ,

''  6  4e x2 y ,

''  3x 2  2e x2 y ''

f

f

f

xx

yy

xy

yx

Vi phân cấp hai d 2 f (x, y)  (6xy e x2 y )dx 2 (6  4e x2 y )dy 2 2(3x 2 2e x2 y )dxdy

Ví dụ 5.25

d 2 f (1,2)

 (12 e5 )dx 2  (6  4e5 )dy 2  2(3  2e5 )dxdy

Tính vi phân cấp hai

d 2f (x, y, z) , d 2f (1,2,1) của hàm số

Giải

f (x, y, z) x 2 e y y 3 z 2  2xz 3

x

Các đạo hàm riêng cấp một: f ' 2xe y 2z 3,

f ' x 2 e y  3y 2 z 2 ,

f ' 

2 y 3 z  6xz 2

y

z

Các đạo hàm riêng cấp hai:

f '' = 2e y , f '' x 2 e y  6 yz 2 ,

f ''  2 y 3  12xz

f

f

yz

zy

Vi phân cấp hai

xx yy

f

f ,

xy

yx

''  2xe y ''

zz

f

f ,

xz

zx

''  6z 2 ''

''  6 y 2 z ''

d 2 f (x, y, z) =

d 2 f (1,2,1) =

2e y dx 2 

2e2 dx 2 

(x 2 e y  6 yz 2 )dy 2  (2 y 3  12xz)dz 2 + 4xe y dxdy +12z 2 dxdz +12 y 2 zdydz

(e2  12)dy 2  28dz 2 + 4e2 dxdy +12dxdz + 48dydz

BÀI TẬP

Bài 1Chứng minh hàm số hàm riêng tại (0,0) .

f (x, y)  3 x  4 y

xy

x 2 y 2





liên tục tại

(0,0) nhưng không có các đạo

Bài 2Chứng minh hàm số

f (x, y) 



 0

khi

khi

(x, y)  (0,0)

(x, y)  (0,0)

có các đạo hàm

riêng tại (0,0) nhưng không liên tục tại (0,0) và cũng không khả vi tại (0,0) .

Bài 3Chứng minh hàm số

f (x, y) x ln(1 x 2y 2) khả vi trên

R 2và tính vi phân hàm số.

Bài 4Tính các đạo hàm riêng và vi phân cấp 1 các hàm số sau:

1) f(x,y) = ln(4 - x2 - y2 )

cos y

8) f(x,y,z) = xeyz + y2exz

9) f(x,y,z) = xy2z3exyz.

2) f(x, y)  e x

3) f(x, y)  arctg y

x

10) f(x,y) = ln(y2 -x)

x ln y

11) f(x,y) = cos+

xy

4) f(x,y) = arcsin(x + 2y)

12) f(x,y) = ye2x+ y2 – xey – lny - lnx

5) f(x, y, z)

yz

f(x,y) = ex(cosx + xsiny)

x 

5 4 2 3

13) f(x,y) = x

– 2y

+ 5x y

6) u  2x 2 y 2 z 2 e xy  3siny z

14)

z lnx 

x2 y2 

7) u x y / z ; (x  0)



xy 2

15) z xxy

, x > 0

x 2  y 2



Bài 5Cho hàm số f(x, y) 



 0

khi (x, y)  (0,0)

khi (x, y)  (0,0)

Chứng minh f(x,y) liên tục trên R2. Tính các đạo hàm riêng f ', f '.

x y

sin(xy)



x

y

Bài 6Cho hàm số f(x, y) y

x

khi y  0

khi y  0

. Tính f '

(0,0) , f '

(0,0) .

3 x3 y3

Bài 7Cho fx, y. Tính

f0,0và

x

f0,0.

y

Bài 8a) Tính df(1;2;1) nếu fx; y; zz

x 2 y 2

b) Tính df(1;1) nếu fx; yx yexy.

Bài 9 Tính các vi phân toàn phần cấp 2 các hàm số sau :

1) z  2y ex cos y

3) z x3 xy 2  5xy3 + 6x 2 y 3

5) z lnx y

2) z cos2 y sin2 x

4) z xe y ye x e xy

6) z  2y 2 ex cos y

7) Cho fx; yexy. Tính d2f(x;y) và d2f(1;1). 8) Cho fx; yarctg x .

y

Tính d2 f0;1.

Bài 10

x x



a) Cho x r cos. Tính J = r 

y r sin y y



x  ρsinθcos



b) Cho  y  ρsinθsin

r 

x

ρ

y

ρ

z

ρ

x

θ

y

θ

z

θ

x



. Tính J = y





 z 

ρcosθ z



Bài 11 Hàm hai biến f(x,y) gọi là hàm điều hòa nếu

2 f

x 2

2 f 

0

y 2

trên miền xác định của

nó . Chứng minh rằng các hàm số sau đây là hàm điều hòa.

a) f(x,y) = arctg

y b) f(x,y) = ln(x2 + y2)

x

Bài 12 Hàm ba biến f(x,y,z) gọi là hàm điều hòa nếu

2 f

x 2

2 f

y 2

2 f

z 2

= 0 trên miền xác

định của nó. Chứng minh rằng các hàm số sau đây là hàm điều hòa.

a) f(x,y,z) = x2 + y2 - 2z2 b) f(x,y,z) = e3x+4y cos(5z)

Bài 13

a) Cho f(x,y) = x2 + 3xy2 + y3 + 4lnx – 2lny. Tính d2f(x,y) d2f(1,2)

b) Cho f(x,y) = (x2+ y)ex+y. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của f(x,y).