Cách Tìm Cực Trị Hàm Hai Biến Dựa Vào Định Lý Điều Kiện Cần , Định Lý

Bài 9 Cho f(x,y) = x3 sin(xy) , x = ucosv , y = usinv. Tính f

u

Bài 10

, f .

v

a) Cho hàm ẩn

z z x, y xác định bởi

z ln x z xy  0 . Tính

z , z .

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.

2 x y

b) Cho hàm ẩn

z f x, y xác định bởi phương trình

x y z  sin xyz  0

với

f 0, 0 0 . Tính

f 0, 0và

x

f 0, 0.

y

c) Cho hàm ẩn

z z x, y xác định bởi phương trình

x y z exyz . Tính dz,

d 2 z .

Bài 11(Phương trình Van der Waals)

Phương trình sau đây gọi là phương trình Van der Waals về trạng thái của một khối khí thực





P 

n2 a 





(V nb) nRT

V 2 

Trong đó: P là áp suất khối khí, V là thể tích khối khí, T là nhiệt độ (oK ) , n là số mol khí, R là

hằng số khí phổ, a và b là các hằng số. Tính P

V

và

P .

T



Bài 12Cho u = f(x,y) , v = g(x,y) thỏa f(0,1) = 1 , g(0,1) = -1 và u3 xv  y  0 .

Tìm

u (0,1) ,

x

u (0,1) ,

y

v (0,1) ,

x

v (0,1) .

y

v3

 yu  x  0

§5. CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

Sau khi học xong bài này, bạn có thể:

Hiểu khái niệm cực trị tự do, cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến.

Hiểu tính chất địa phương của cực trị hàm nhiều biến.

Nắm vững điều kiện cần cực trị hàm nhiều biến.

Nắm vững điều kiện đủ cực trị hàm nhiều biến.

Hiểu và thực hiện tốt tất cả các bước tìm cực trị hàm hai biến, ba biến.

Hiểu và thực hiện tốt hai cách tìm cực trị có điều kiện: phương pháp thế và phương pháp Lagrange.

1- Cực trị không điều kiện (cựïc trị tự do)

1.1. Ñònh nghóa

(x xo )  ( y y )

Cho hàm số

z f (x, y)

có miền xác định là tập D và (x0,y0) là điểm trong của D.



(xo , yo )

Với

 0

bé, tập

B(xo, yo),(x, y) R :

gọi là

lân cận

(xo , yo )

hay gọi tắt là lân cận

(xo , yo ) .

i) Hàm

f (x, y)

gọi là đạt cực đại tại (xo, yo)

nếu tồn tại

B(xo, yo),sao cho

f (x, y) 

f (x0, y0) , (x, y) B(xo, yo),

Khi đó (xo , yo )

gọi là điểm cực đại và

f (xo, yo) gọi là giá trị cực đại của hàm

f (x, y) .

ii) Hàm

f (x, y)

gọi là đạt cực tiểu tại (xo, yo)

nếu tồn tại

B(xo, yo),sao cho

f (x, y) 

f (x0, y0) , (x, y) B(xo, yo),

Khi đó (xo, yo)

gọi là điểm cực tiểu và

f (xo, yo) gọi là giá trị cực tiểu của hàm

f (x, y) .

iii) Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị.

 Chú yù

i) Cực trị trong định nghĩa này còn gọi là cực trị địa phương (Local extremum: local maximum-cực đại địa phương, local minimum-cực tiểu địa phương); tức là chỉ xét

các bất đẳng thức cực trị được thỏa mãn trong lân cận (xo, yo) . Ngoài ra, còn có

khái niệm cực trị toàn cục (Global extremum: global maximum-cực đại toàn cục,

global minimum-cực tiểu toàn cục; hay còn gọi là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất); tức là các bất đẳng thức trên thỏa mãn trên toàn tập D.

ii) Nếu bỏ đi các dấu “ = “ trong các bất đẳng thức cực trị trên (với (x,y) (x0,y0) ) thì ta có cực trị theo nghĩa hẹp hay cực trị thực sự.

Ví dụ 5.33

x2 y2

a) Hàm số

f (x, y) x2 y2

đạt cực tiểu tại (0,0) vì

f (x, y) x2 y2  0 

f (0,0) .

b) Hàm số

f (x, y)  5 

đạt cực đại tại (0,0) vì

f (x, y)  5 

 5 

f (0,0) .

c) Hàm số

f (x, y) xy2

không đạt cực trị tại

(0,0) vì

f (0,0)  0 ,

f ( 1 , 1 ) 1

n n n3

 0 ,

f (1 , 1 )

n n

1

 0 .

1.2. Ñònh lyù ( Điều kiện cần của cực trị )

Nếu hàm

z f (x, y)

đạt cực trị tại (xo, yo)

thì:

hoặc f(x,y) không có đạo hàm riêng tại (xo, yo)

hoặc

f (x , y )  0 ,

x 0 0

f (x , y )  0

y 0 0

Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng 0 hoặc không tồn tại gọi là điểm tới hạn .

Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng 0 gọi là điểm dừng.

Hệ phương trình

f



x 0

f

gọi là hệ phương trình xác định điểm dừng.

 0

x

Hệ quả Nếu hàm số z 

f (x, y)

có các đạo hàm riêng tại

(xo, yo) và đạt cực trị

tại (xo

, yo )

thì

f (x

x 0

, y0

)  0 ,

f (x

y 0

, y0

)  0 . Nói cách khác, đối với hàm số có đạo hàm

riêng thì hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng.

1.3. Định lý ( điều kiện đủ của cực trị )

Giả sử hàm z f (x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận điểm dừng

2 2 f

2 f2

(xo , yo ) . Xét d

f (xo , yo ) =

(x 0 , y0 )dx

x 2

 2 xy (x 0 , y0 )dxdy y 2 (x 0 , y0 )dy

như là

một dạng toàn phương theo hai biến dx, dy .

 TH1Nếu

 TH2Nếu

d 2f (x , y ) xác định dương thì hàm số đạt cực tiểu tại (x , y ) .

o o o o

d 2f (x , y ) xác định âm thì hàm số đạt cực đại tại (x , y ) .

o o o o

 TH3Nếu d 2f (x , y ) không xác định dấu thì hàm số không đạt cực trị tại (x , y ) .

 Chú ý quan trọng Khái niệm cực trị, điều kiện cần và điều kiện đủ cực trị hàm ba biến tương tự hàm hai biến.

1.4. Cách tìm cực trị hàm hai biến Dựa vào định lý điều kiện cần , định lý điều kiện đủ, tiêu chuẩn Sylvester vào việc xét dấu dạng toàn phương, ta có các bước để tìm cực

trị để tìm cực trị hàm hai biến

z f (x, y)

khả vi đến cấp hai như sau:

Bước 1Tìm tập xác định của hàm số và giải hệ phương trình xác định điểm dừng

f ' 0

x Điểm dừng (x , y ) .

f ' 0

2 f

o o

2 f

Bước 2Tính A =

Bước 3

x 2

(x0 , y0 ) , B =

xy

(x0 , y0 ) , C =

y 2

(x0 , y0 )

 A

 Trường hợp 1 : Nếu 

B  0

thì hàm số đạt cực tiểu tại (x , y ) .

 B C o o

A  0

 A

 Trường hợp 2 : Nếu 

B  0

thì hàm số đạt cực đại tại (x , y ) .

 B C o o

A  0

A B

 Trường hợp 3 : Nếu  0 B C

thì hàm số không đạt cực trị tại (xo, yo) .

 Trường hợp 4 :

Ví dụ 5.34

A B  0

B C

thì (xo, yo) là điểm nghi ngờ  Áp dụng định nghĩa.

Tìm cực trị hàm hai biến :

f (x, y)

= 3x 2 y y 3  12x  15 y  5

Giải

Bước 1Tập xác định hàm số là: D = 2

Hệ phương trình xác định điểm dừng: f'

 6xy  12  0

x

f'

 3x 2  3y 2  15  0

Giải hệ ta được nghiệm: x 1 , x 2 , x1 , x2 .



y  2 y  1 y 2 y 1

Bước 2Đạo hàm riêng cấp hai: A =

Bước 3

''  6 y

, B =

''  6x , C =

''  6 y

 A

Tại điểm dừng (1;2): 

B  12

6  108  0

Hàm số đạt cực tiểu tại (1;2), f

23 .

 B C



6 12 CT

A  12  0

Tại điểm dừng (2;1): A B 6 12 108  0 Hàm số không đạt cực trị tại (2;1).

B C

 A

Tại điểm dừng (-1;-2): 

12 6

B  -12

- 6

 108  0 Hàm số đạt cực đại tại (-1;-2), f

 33 .

 B C - 6 -12 CD

A 12  0

Tại điểm dừng (-2;-1):

A B  - 6

-12 108  0 Hàm số không đạt cực trị tại (-2;-1).

Ví dụ 5.35

B C -12 - 6

Tìm cực trị hàm hai biến :

Tập xác định hàm số là: D = 2.

z  2x x 2 y ye x

Giải

Hệ PT xác định điểm dừng: z'

 2  2x ye x  0

x  0

x 

z'

 1e x  0

y  2

Đạo hàm riêng cấp 2: A =

'' 2 ye x , B =

'' e x , C = ''

 0

Tại (0;2): A = -4, B= -1, C = 0 nên AC-B2= -1 < 0 Hàm số không đạt cực trị tại (0;2). Vậy hàm số không có cực trị.

Ví dụ 5.36

Tìm cực trị hàm hai biến :

z  ln x

 8 ln y x

y 2

Giải

Tập xác định hàm số là: D = (x, y) R 2 : x  0, y  0

z ' 1 x 2  0

.Hệ PT xác định điểm dừng: xx



x  1



y  2

(do y>0)



z y

 2 y  0 

Đạo hàm riêng cấp 2: A =

'' 1  2x , B =

xx x 2

''  0 , C =

''  8  2

yy x 2

Tại (1;2): A = -3 < 0, B= 0, C = -4 , AC-B2= 12 > 0

Hàm số đạt cực đại tại (1;2), ZCÑ= 8 ln 2 13

Ví dụ 5.37

Tìm cực trị hàm hai biến : z = x2-2x+

y 3 - 4y2 + 15y

Tập xác định hàm số là: D = 2

Hệ phương trình xác định điểm dừng: z'

Giải

 2x  2  0

x  1 ; x  1 .

x 

 2

z'

y 2  8 y 15  0

y  3

y  5

Đạo hàm riêng cấp 2: A =

'' , B = z''

0 , C =

''  2 y  8

Tại (1;3): AC-B2= -4 < 0 Hàm số không đạt cực trị tại (1;3)

Tại (1;5): AC-B2= 4 > 0, A = 2 > 0 Hàm số đạt cực tiểu tại (1;5),

zCT3

Ví dụ 5.38Tìm cực trị của hàm

z f x, y x4 y4 .

Giải

Tập xác định hàm số là: D = 2. Hàm z có các đạo hàm riêng theo biến x, y tại (x, y) 2bất kì.

z 'x  4x ;

z'x 0

z 'y  4 y .

3x2 0

x  0

 0 2 

z '

 .

3y  0 y  0

y 

Hàm z có điểm dừng (0,0).

A  12x2 , B=0, C  12 y2 , AC B2  144x2 y2 .

Tại (0,0),  0 . Áp dụng định nghĩa để xét

f x, y x4 y4  0 f 0, 0

Vậy hàm f đạt cực tiểu tại (0,0).

Ví dụ 5.39Tìm cực trị của hàm số

Tập xác định hàm số là: D = 2.

z f x, y  6xy2  2 y3 x4 1

Giải

z 'x



 6 y2  4x3  0

x  0





x  6



 .

z 'y 12xy  6 y  0

y  0

y  12

Vậy hàm số z có 2 điểm dừng

P 0, 0và Q 6,12.

z ''xx 12x ;

z ''xy  12 y ;

z ''yy  12x 12 y .

Tại

P 0, 0,

A B C  0 ,  0 . Xét

z f x, y f x, y f 0, 0 6xy2 2x3x4.

Tồn tại dãy x, y 1 , 0 0, 0thỏa mãn f x, y

1

 0 ;

n n n 

n n n4



và dãy x' , y ' 0, 1 0, 0thỏa mãn

f x ' , y ' 2  0 .

n n n 

n n n3



Do đó,

P 0, 0không là điểm cực trị của z .

Tại

Q 6,12,

A 432 <0,

B  144 ,

C 72 ,

AC B2  10368  0

nên z đạt cực đại tại

Q 6,12.

1.5. Cách tìm cực trị hàm ba biến

Dựa vào định lý điều kiện cần, định lý điều kiện đủ, tiêu chuẩn Sylvester vào việc xét dấu dạng toàn phương, ta có các bước để tìm cực trị để tìm cực trị hàm ba biến

w f (x, y, z)

có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục như sau:

Bước 1Tìm tập xác định của hàm số và giải hệ phương trình xác định điểm dừng

f '  0

x

f '  0

 Điểm dừng

(xo , yo , zo ) .

f '  0

z

Bước 2 Tính các đạo hàm riêng cấp hai

f ,

'' ''

xx yy

'' '' ''

f ,



zz xy yx

'' ''

f ,



xz zx

'' ''



yz zy

roài thay

điểm dừng (xo, yo, zo) vào d f (x, y, z) để được

d 2 f (x

, yo

, zo

) = f ' ' (x

, yo

, zo

)dx 2  f ' ' (x

, yo

, zo

)dy2  f ' ' (x

, yo

, zo

)dz2

+ 2f ' '

(x o

, yo

, zo

)dxdy  2f ' ' (x

, yo

, zo

) dxdz  2f ' '

(x o

, yo

, zo

)dydz

o o o

Khi đó d 2f (x , y , z ) là dạng toàn phương theo ba biến dx, dy, dz .

Bước 3

 TH1Nếu

o o o

 TH2Nếu

d 2 f (x , y , z )

o o o

d 2 f (x , y , z )

xác định dương thì hàm số đạt cực tiểu tại (xo, yo, zo) . xác định âm thì hàm số đạt cực đại tại (xo, yo, zo) .

 TH3Nếu

o o o

(xo , yo , zo ) .

d 2f (x , y , z ) không xác định dấu thì hàm số không đạt cực trị tại

Nếu sử dụng tiêu chuẩn Sylvester để xét dấu

d 2 f (x , y , z )

thì ta tính

 f ' ' (x

, yo

, zo ) ,

2 

f ' ' (x

, yo

, zo )

f ' ' (x

, yo

, zo ) ,

, zo )

f ' ' (x

 f ' ' (x

f ' ' (x

, yo

, zo )

f ' ' (x

, yo

, zo )

f ' ' (x

, yo

, zo )

 Trường hợp 1 : Nếu 1 0, 2 0, 3 0

 Trường hợp 2 : Nếu 1 0, 2 0, 3 0

thì hàm số đạt cực tiểu tại (xo, yo, zo) . thì hàm số đạt cực đại tại (xo, yo, zo) .

 Trường hợp 3 : Nếu 3  0, 2  0 hoặc 13 0 thì hàm số không đạt cực trị tại (xo, yo, zo) .

 Trường hợp 4 : Nếu

3  0

thì (xo , yo , zo )

là điểm nghi ngờ  Áp dụng định nghĩa.

Ví dụ 5.40Tìm cực trị của hàm số

f x, y, z x3 y2 z2 12xy  2z +3.

Giải

Tập xác định hàm số là: D = 3. Hàm số có các đạo hàm riêng theo các biến x , y , z tại mọi

(x, y, z) 3.

f '  3x2 12 y  0 x  0 x  24

x 

f 'y  2 y 12x  0 y  0 y 144 .

f '

 2z  2  0

z 1

 Vậy f có hai điểm dừng Vi phân cấp hai của f :



M 0, 0, 1và

2



N 24, 144, 1.

d 2 f



x

dx 

y dy z

dz f



2 f

x2

dx2

2 f

y2

dy2

2 f

z2

dz2

2 f



2 xy

dxdy  2

2 f

xz

dxdz  2

2 f

yz

dydz

 6xdx2  2dy2  2dz2  24dxdy .

Tại

M 0, 0, 1, d 2 f M  2dy2  2dz2  24dxdy .

Chọn dx dy  0, dz  0 , ta có d 2 f M  0 . Chọn dy dx, dz  0 , ta có d 2 f M  0 .

Suy ra d 2 f M 

không xác định dấu. Vậy hàm số không đạt cực trị tại

M 0, 0, 1.

Tại

N 24, 144, 1, do

d2fN 144x2 2dy2 2dz2 24dxdy 12dx dy 2dy2dz 2 0

nên hàm số đạt cực tiểu tại

N 24, 144, 1.

LưuýCó thể sử dụng tiêu chuẩn Sylvester để xét sẽ dễ hiểu hơn.

2- Cực trị có điều kiện

2.1. Ñònh nghóa Cực trị của hàm số điều kiện.

z f (x, y) với điều kiện

(x, y) = 0 gọi là cực trị có

2.2. Định lý ( Điều kiện cần của cực trị có điều kiện )

Giả sưû

(xo , yo )

là điểm cực trị hàm

f (x, y)

với điều kiện(x, y) = 0;

f (x, y) ,(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận (xo, yo) ;



2 2

x (x 0, y0)

y (x 0 , y0 )

 0 .



Xem toàn bộ nội dung bài viết ᛨ