f
x
f
(x 0
, y0
) λ (x
x 0
, y0
Có thể bạn quan tâm!
-
Định Lý Nếu Hàm Số Nhiều Biến Có Tất Cả Các Đạo Hàm Riêng Cấp K Miền D Thì Tồn Tại Vi Phân Đến Cấp K Của Hàm Số Trên Miền D. -
Định Lý 1 Giả Sử Hàm F(X,y) Thỏa 3 Điều Kiện -
Cách Tìm Cực Trị Hàm Hai Biến Dựa Vào Định Lý Điều Kiện Cần , Định Lý Điều Kiện Đủ, Tiêu Chuẩn Sylvester Vào Việc Xét Dấu Dạng Toàn Phương, -
Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 26 -
Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 27
Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.
) 0
Khi đó tồn tại sốthỏa hệ :
y (x 0 , y0 ) λ y (x 0 , y0 ) 0
0
(x
, y0 ) 0
Soágọi là nhân tử Lagrange, hàm
L(x, y) =
f (x, y) +
λ(x, y)
gọi là hàm Lagrange.
Điểm (xo, yo) gọi là điểm dừng của bài toán cực trị có điều kiện.
Hệ phương trình
f
x
f
y
λ 0
x
λ 0
y
gọi là hệ phương trình xác định diểm dừng và nhân tử
Lagrange.
(x, y) 0
2.3. Ñònh lyù ( Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện )
Giả sử các hàm
f (x, y) ,(x, y)
có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận điểm dừng
(xo, yo) với nhân tử Lagrange. Xét vi phân toàn phần cấp 2 của hàm Lagrange
2 = 2 L
2 2 L
2 L2
d
với ràng buộc
L(xo , yo )
(x , y )dx
x 2 0 0
2 xy (x 0 , y0 )dxdy y 2
(x 0 , y0 )dy
d(x 0
, y 0
) (x
x 0
, y 0
)dx (x
y 0
, y 0
)dy 0
o o
TH 1Nếu d 2 L(x , y ) 0
thì hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại (xo, yo) .
TH 2Nếu
d 2 L(x , y ) 0
thì hàm số đạt cực đại có điều kiện tại (xo, yo) .
o o
2.4. Cách tìm cực trị có điều kiện
Cực trị của hàm số
z f (x, y) với điều kiện
(x, y) = 0.
Cách 1(phương pháp thế)
Từ điều kiện(x,y) = 0 rút ra được y =(x) với x T (hoặc rút x theo y). Thế y =
y(x) vào
f (x, y)
ta được hàm một biến x là
f x, y(x). Đặt
f x, y(x)g(x) , x T. Tìm
cực trị hàm
g(x)
với xT và từ đó suy ra cực trị hàm
f (x, y)
với điều kiện(x, y)
= 0.
Cách 2(phương pháp Lagrange)
Bước 1Lập hàm Lagrange
L(x, y)
= f (x, y) +
λ(x, y)
Bước 2Giải hệ phương trình xác định điểm dừng và nhân tử Lagrange
L f
λ 0
x x x
Lf
λ 0
Điểm dừng
(x , y
) và nhân tử Lagrange.
y
Bước 3
y y o o
(x, y) 0
Tính d 2L(x, y) rồi thế nhân tử Lagrangevào d 2L(x, y) .
Từ ràng buộc d(x 0
, y 0
) (x
x 0
, y 0
)dx (x
y 0
, y 0
)dy 0 tính dy theo dx .
Thế
(xo , yo )
và biểu thức của dy theo dx vào
d 2 L(x, y)
ta được
d 2 L(x , y )
là dạng toàn
o o
phương theo một biến dx . Khi đó:
o o
TH 1Nếu d 2 L(x , y ) 0
thì hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại (xo, yo) .
TH 2Nếu
d 2 L(x , y ) 0
thì hàm số đạt cực đại có điều kiện tại (xo, yo) .
o o
Chú ý quan trọngTương tự, khi tìm cực trị hàm ba biến
w f (x, y, z)
với một điều
kiện
(x, y, z) 0
hoặc hai điều kiện
(x, y, z) 0 , chúng ta cũng có thể áp dụng
h(x, y, z) 0
phương pháp thế hoặc phương pháp nhân tử Lagrange như trên.
Ví dụ 5.41Phương pháp thế
Tìm cực trị hàm số
f (x, y) =
4x 2 2xy y 2x3với điều kiện
Giải
y x 1 0
Tập xác định hàm số là: D = 2. Từ điều kiện rút ra
y x 1 rồi thế vào
f (x, y)
ta được
f (x, y) = 4x 2 2x(x 1) (x 1)2 x3 = 3x 2 x3 1 g(x)
Đạo hàm:
g'(x) 3x 2 6x ,
g''(x) 6x 6
g'(x) 0 3x 2 6x 0
x 0 y 1
x 2 y 1
Vì g''(0) 6 0
nên hàm số
g(x) đạt cực tiểu tại
x 0 ,
gCT
1 .
Vì g''(2) 6 0 nên hàm số
g(x) đạt cực đại tại
x 2 ,
gCD 5 .
Suy ra hàm số
f (x, y)
đạt cực tiểu có điều kiện tại
(0,1) , fCT
1, và đạt cực đại có điều
kiện tại (2,1) , fCD 5 .
Ví dụ 5.42Phương pháp Lagrange
Tìm cực trị hàm số
f (x, y) =
2x 4 y
với điều kiện
Giải
x 2 y 2 5 0
Tập xác định hàm số là: D = 2.
Lập hàm Lagrange:
L(x, y)
= 2x 4 y +
λ(x 2 y 2 5)
Hệ phương trình xác định điểm dừng và nhân tử Lagrange
L'
x
2 2x 0
1
1
y
L' 4 2y 0 x 1
x 1
x 2 y 2 5 0
y 2
y 2
L
Các đạo hàm riêng cấp hai:
'' 2,
'' 2,
'' 0 L''
L
L
yx
xx
xx
yy
xy
d 2 L(x, y) = L' '
dx 2 2L' '
dxdy L' '
dy2 =
2dx 2 2dy2 2(dx 2 dy2) , đã là dạng toàn
xy
yy
phương chính tắc
Tại điểm dừng (1,2), 1 : d 2L(1,2) = 2(dx 2 dy2) 0
nên hàm số đạt cực tiểu.
Tại điểm dừng (1,2),1: d 2L(1,2) = 2(dx 2 dy2) 0 nên hàm số đạt cực đại.
Suy ra hàm số
f (x, y)
đạt cực tiểu có điều kiện tại (1,2) , fCT
10 , và đạt cực đại có điều
kiện tại (1,2) , fCD 10 .
Bài 1Tìm cực trị của các hàm số sau:
BÀI TẬP
1) z x2 xy y2 x y 1
11)
z 8 ln x ln y x
2 y 3
2) z = xyln(x2+y2)
3) z x y xey
4) z 2x4 y4 x2 2y2
5) z x2y2ex2y2
6) u x 2 y 2 z 2 4x 6y 2z
7) fx; yx3 y3 3xy
3
10) f(x,y) = 2x3 – 24xy + 16y3
11) f(x,y) = x3 + 3xy2 – 15x – 12y 12)13)f(x,y) = x3 – 6x2 +9x +y3 – 3y2
13) u x 2 y 2 z 2 4x 6 y 2z
14)f(x,y,z) = 2y2 + z2 +x2 – 2zy +4x – y 15)f(x,y,z) = 3x2+2y3+2z2 -6xy-4z
8) f(x,y) = 2x3 - 6x +
y3 + y2 -3y
3
16)f(x,y,z) = 4(x+y+z) - (x2+y2+z2+xy+xz+yz) 17)f(x,y,z) = 2x2 + y2 +z2 – 2xy +4z – x
9) f(x,y) = x3 – 6x2 +9x +y3 – 3y2
10)f(x,y) = 3x2 – x3 + 6y2 – y3
18) fx; y; zx3xy y 2 2xz 2z2 3y 1
Bài 2
a) Tìm cực trị không điều kiện hàm hai biến: f(x,y) = 2x3– 12xy + 2y3.
b) Tìm cực trị không điều kiện hàm hai biến: f(x,y) =
x3 + x2 – 3x + 2y3 - 6y
3
c) Tìm cực trị hàm hai biến :
z y(1 e 2 x ) 8x x 2
d) Tìm cực trị của hàm hai biến : z = x3+ 6x2+ y2– 12y + 4
Bài 3Tìm cực trị có điều kiện
1) z 1 1 với điều kiện
1 1 1
x y x2 y 2 a2
2) z x 2 y 2
với điều kiện
xy 1 2 3
3) z x 2 12xy 2y 2 nếu 4x 2 y 2 25
4) z x 2 y 2 xy x y 4 nếu x y 3 0
5) f(x,y) = x + y , với điều kiện x2+ y2= 1.
6) f(x,y) = x2 + y2 , với điều kiện
x y 1
4 3
7) u x y z với điều kiện
11 1 1
x y z
8) u 2x y 2z
với điều
kiện
x2 y 2 z2 36
9) f x, y, z xy2 z3 nếu
x 2 y 3z 1 (trong đó
x, y, z 0 ).
10) f x, y, z x 2 y 5z
Bài 4
với điều kiện
x2 y2 z2 30 .
a)Tìm cực trị hàm hai biến:
f (x, y)
8 ln x
ln y
x 2 y
3
3
b) Tìm cực trị hàm ba biến:
f (x, y, z) x y z 2
x y z
c)Tìm cực trị hàm f(x,y) = x2+ y2, với điều kiện x2– 2x + y2– 4y = 0
§5. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Sau khi học xong bài này, bạn có thể:
Hiểu khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến.
Biết điều kiện đủ tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến.
Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến và ứng dụng.
1. Định lý Weierstrass
Nếu hàm f(x,y) liên tục trên tập đóng và bị chặn E thì nó đạt giá trị lớn nhất (GTLN ) , giá
trị nhỏ nhất (GTNN ) trên tập E . Tức là (x1, y1) E , (x2, y2) E sao cho
GTNN
f (x1 , y1 )
f (x, y)
f (x2 , y2 ) GTLN , (x, y) E
Lưu yù Định lý này cũng đúng đối với hàm n biến (n 3) .
2- Cách TìmCho hàm f (x, y) liên tục trên tập đóng và bị chặn E .
Bước 1Tìm các điểm dừng của hàm f(x,y) bên trong tập E , và các điểm trong E mà tại
đó hàm số f (x, y) không có đạo hàm. Tính giá trị hàm số tại các điểm này.
Bước 2Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên biên của E (tìm các điểm dừng trên biên, tính giá trị hàm số tại các điểm này, tính giá trị hàm số tại các đầu mút, so sánh các giá trị có được).
Bước 3So sánh tất cả các giá trị của hàm số có được ở buớc 1 và bước 2 : Giá trị nào lớn nhất là GTLN , giá trị nào nhỏ nhất là GTNN của hàm số trên E.
3-Ñònh lyù (từ cực trị địa phương đến cực trị toàn cục)
Giả sử hàm số trong miền
f (x, y)
xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục
D (x, y) R 2 : a x b,c y d
Nếu trong miền D hàm chỉ có một điểm dừng duy nhất
(xo , yo )
và điều kiện đủ để hàm
đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) thỏa mãn tại mọi điểm thuộc miền D thì giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) cũng là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên miền D.
Định lý này vẫn đúng đối với hàm số n biến (n3).
Hệ quaû
i) Nếu một hàm bậc hai (quaratic functions) đạt cực đại tại một điểm thì hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm đó.
ii) Nếu một hàm bậc hai (quaratic functions) đạt cực tiểu tại một điểm thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm đó.
* Chú yù: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số n biến (n3) tương tự hàm hai biến.
Ví dụ 5.37
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
f (x, y) =
4x 2 2xy y 2 x3 trên miền E
giới hạn bởi các đường :
x 1,
y 0 và
y x 1 0 .
Giải
Miền E là tam giác ABC với
A(1,0) ,
B(1,1) , C(1,2) .
Hệ phương trình xác định điểm dừng: f'
8x 2 y 3x 2 0
x
y
f'
Giải hệ ta được nghiệm: x 0 , x2
2x 2 y 0
y 0 y 2
Loại điểm dừng (2,2) vì không thuộc miền E , nhận điểm dừng (0,0)
được f (0,0) 0 .
vì thuộc miền E và tính
Xét trên biên AB: y 0
1 x 1
f (x, y) 4x 2 x3 =(x) ,
x [1,1]
x 0 [1,1]
Đạo hàm:'(x) 8x 3x 2;'(x) 8x 3x 2 0 8
(0) 0 ,(1) 3 ,(1) 5 .
x 3[1,1]
Xét trên biên BC: x 1
0 y 2
f (x, y) = 5 2 y y 2 =
h( y) ,
y [0,2]
Đạo hàm: h'( y) 2 y 2 ; h'( y) 0 y 1[0,2]
h(0) 5 , h(1) 4 , h(2) 5
y x 1
Xét trên biên AB: 1 x 1
f (x, y) = 4x 2 2x(x 1) (x 1)2 x3 = 3x 2 x3 1 g(x) , x [1,1]
Đạo hàm:
g'(x) 3x 2 6x ,
g''(x) 6x 6
x 2 [1,1]
g'(x) 0 3x 2 6x 0 x 0 [1,1]
g(1) 3 ,
g(0) 1,
g(1) 5
Suy ra: GTNN min0,3,4,5 0
tại (0,0)
GTLN max0,3,4,5 5 tại (1,0)
và (1,2) .
Ví dụ 5.38Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
f x, y x2 y2 12x 16 y trên miền D (x, y) R2 : x2 y2 25 .
Giải
Giải hệ phương trình xác định điểm dừng
f'x 2x 12 0 x 6 ,
f '
y
2 y 16 0
y 8
điểm dừng
M 6, 8không thuộc miền D nên ta không cần tính giá trị của hàm số f tại M.
Xét trên biên miền D :
x2 y2 25 0
Lập hàn Lagrange: L x, y x2y212x 16 y x2y2 25.
L 'x 2 1x 12 0
y
Giải hệ phương trình và nhân tử Lagrange: L ' 2 1y 16
, ta được các điểm dừng
x, y x2 y2 25 0
M 3, 4ứng với3 ; N 3, 4ứng với 1 . Ta có
f M f 3, 4 125 ; f N f 3, 475 .
Vậy giá trị lớn nhất của f bằng 125 đạt tại 3, 4; giá trị nhỏ nhất của f bằng -75 đạt tại
3, 4.
Ví dụ 5.39 Công ty ước tính được nếu đầu tư x (đơn vị là $1,000) cho lực lượng lao động và y (đơn vị là $1,000) cho trang thiết bị sản xuất thì số sản phẩm sản xuất được là
1 2
Q(x, y) 100x 3 y 3
đơn vị sản phẩm
Biết số tiền đầu tư của công ty không vượt quá $360,000. Hỏi công ty phải đầu tư bao nhiêu tiền cho lực lượng lao động, và bao nhiêu tiền cho trang thiết bị sản xuất để sản lượng lớn nhất ( Q(x, y) lớn nhất)?
Giải
2
Q ' 100 y 3 0
x3
x
Hệ phương trình xác định đểm dừng
1 vô nghiệm.
' 200 x 3
Qy
0
3 y
Xét trên biên: x 0
, Q(x, y) 0
0 y 360
Xét trên biên: y 0 , Q(x, y) 0
0 x 360
Xét trên biên: y 360 x
1 2
0 x 360
Q(x, y) 100x 3 (360 x) 3 =
2
f '(x) 100 360 x 3 - 200
f (x) ,
1
x 3
x [0,360];
f (0) 0,
f (360) 0
3 x
3 360 x
2 1
f '(x) 0 100 360 x 3 - 200
x 3 = 0
3 x
3 360 x
Đặt t 360x
x
rồi thay vào phương trình giải được t 2 , từ đó tính được
x 120 và
y 240 .
1 2
f (120) 100(120) 3(240) 3= 1200034 19049 (sản phẩm)
Vậy công ty phải đầu tư
$120,000
cho lực lượng lao động và
$240,000 cho trang thiết bị sản
xuất để sản lượng lớn nhất xấp xỉ 19049 (sản phẩm)
BÀI TẬP
Bài 1Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trong một miền kín.
a) z x2 y2 trong hình tròn x2 y2 4
b) z x2 y4 x ytrong miền giới
hạn bởi x 0, y 0, x y 6
1 y 2
c) fx; yx3 y3 3xy trong miền D:0 x 2
d) f x; yx 2 y 2 xy x y
trong miền
D :x 0, y 0
e) fx; yx2 xy y2
trong miền D : x y 1
x y 3
f) f(x,y) = 1 - x2 - y2 trong hình tròn (x – 1)2 + (y – 1)2 1
g) f (x, y) x 2 12xy 2 y 2
trên miền
E : 4x 2 y 2 25
h) f(x,y,z) = x2 + y2 +3z2 trong miền D: x2 + y2 +z2 100
0 y 3
Bài 2Cho hàm số f(x,y) = 6x2– x3+ 3y2– y3: a)Tìm cực trị hàm f(x,y). b)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f(x,y) trên miền D xác định bởi D: 1 x 1
Bài 3 Cho hàm hai biến : f(x,y) = x3+ 3x2+ y2– 6y +1
a) Tìm cực trị của hàm f(x,y).
b) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f (x, y) trên miền D: x2+ y2–6y +80
Bài 4 Cho hàm hai biến
f (x, y) x 2 xy 2 3x 10
a) Tìm cực trị hàm số f(x,y).
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số
f (x, y) trên miền
D : x 0, y 0
x 2 y 2 4
Bài 5 Cho hàm hai biến f(x,y) = 2x3- 6x +
y3 + y2 - 3y
3
a) Tìm cực trị không điều kiện hàm f(x,y).
b) Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm f(x,y) trên miền D giới hạn bởi các đường : x = 0, y = 0, y - x = 3.
Bài 6Cho hàm hai biến f(x,y) = 4x2- x2y + 3y2+ 12y
a) Tìm cực trị không điều kiện hàm f(x,y).
b) Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm f(x,y) trên nửa hình