Phát triển tư duy biện chứng của học sinh trong dạy học Hình học ở trường trung học phổ thông - 4

nghiệm là sự thay đổi về chất. Bên cạnh đó, mối liên hệ phụ thuộc tương hỗ lẫn nhau giữa các đại lượng cũng được thể hiện rõ nét.

VD3: Trong mp tọa độ, xét phương trình: y = ax2 + bx + c. TXĐ: D = R.

Ta thấy, khi a thay đổi (tức lượng thay đổi) qua một bước nhảy (từ a = 0 sang a  0 ) thì tính chất của y = ax2 + bx + c = 0 cũng thay đổi, tức là từ đường thẳng sang Parabol (thay đổi về chất).

1.1.5. Các loại hình tư duy Toán học

Bên cạnh các tác giả nước ngoài, một số loại hình của TD Toán học đã được các tác giả Việt Nam nghiên cứu.

Nguyễn Cảnh Toàn đã đề cập 7 loại TD: TD lôgic hình thức, TDBC, TD quản lí, TD kỹ thuật, TD kinh tế, TD thuật toán, TD hình tượng [147, tr.146 -149].

Nguyễn Bá Kim cũng trình bày về: TD thuật toán, TD hàm [75, tr. 16 - tr. 48], … Nguyễn Văn Lộc trong [88], trình bày 5 cách xem xét về phương diện TD: xem xét

về phương diện lịch sử hình thành và phát triển TD ( TD trực quan – hành động, TD trực quan - hình ảnh, TD trừu tượng hay TD ngôn ngữ lôgic); xem xét về phương diện lôgic hình thức và lôgic biện chứng (TD hình thức, TDBC); xem xét về phương diện tính chất, kết quả của quá trình TD ( TD tích cực, TD độc lập, TD sáng tạo); xem xét về phương diện dấu hiệu cấu trúc khác nhau của hiện thực (TD hình tượng, TD thực hành, TD KH, TD lôgic, TD khái quát); xem xét về phương diện các dấu hiệu đặc thù của đối tượng TD (TD hàm, TD thuật giải, TD ngữ nghĩa, TD cú pháp ...). Trong sơ đồ cấu trúc của luận án chúng tôi sử dụng cách xem xét TD về phương diện lôgic hình thức và lôgic biện chứng [88, tr. 5 - tr. 6].

a. Tư duy lôgic

Có thể bạn quan tâm!

• Phát triển tư duy biện chứng của học sinh trong dạy học Hình học ở trường trung học phổ thông - 1
• Phát triển tư duy biện chứng của học sinh trong dạy học Hình học ở trường trung học phổ thông - 2
• Các Đặc Trưng Cơ Bản Của Tư Duy Biện Chứng
• Mối Quan Hệ Giữa Td Sáng Tạo, Td Độc Lập, Td Tích Cực
• Sự Cần Thiết Phải Rèn Luyện Và Phát Triển Tư Duy Biện Chứng Cho Học Sinh Trong Dạy Học Môn Toán
• Hoạt Động Hóa Người Học Khi Dạy Học Các Tình Huống Điển Hình

Xem toàn bộ 225 trang tài liệu này.

TD lôgic là dạng TD được đặc trưng bởi năng lực rút ra kết luận từ các tiền đề đã cho, năng lực phân hoạch ra các trường hợp riêng để khảo sát đầy đủ một sự kiện Toán học, năng lực phán đoán các kết quả của lí thuyết, khái quát hóa các kết luận nhận được.

Hoặc TD lôgic được hiểu là: “TD thay thế các hành động với các sự vật có thực bằng sự vận dụng các khái niệm theo quy tắc của Lôgic học”.

VD 1: Biện luận số nghiệm của hệ bằng PP đồ thị.

Khi HS có kiến thức về

“Phương trình đường tròn trong mặt phẳng”,

GV có thể cho HS giải BT sau: y

x 2y  12a

(1)



Tìm a > 0 để hệ:

x  12y 2a

(2)

-.1

có nghiệm duy nhất.

BT này trở nên rất đơn giản nếu HS

biết biểu diễn miền nghiệm của (1) là hình tròn

I2 O x

1

I .-1

a

tâm I1(0 ; -1), bán kính , miền nghiệm của (2) là

a

hình tròn tâm I2(-1 ; 0), bán kính .

Hình 1.5

a

a

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hai đường tròn tiếp xúc với nhau, nghĩa là: I1I2 = 2

 2 = 2

a =

1 (xem Hình 1.5).

2

VD 2: Cho đường tròn có chu vi bằng 26 ngoại tiếp tam giác cân ABC. Tính diện tích của tam giác cân biết cạnh đáy bằng 10.

C

.

A

B

Khi giải BT này, HS thường gặp phải sai lầm:

Ta có, chu vi của đường tròn là: C = 2 R = 26 R = 13.

Đặt cạnh đáy tam giác cân là AB.

Theo định lí hàm số sin, ta có: sin C = AB

=10=5

Hình 1.6

2R

cos C = 12 (Vì sin2 C + cos2C = 1)

13

2.13 13

Theo định lí hàm số cos, ta có: AB2 = 2AC2 - 2 AC2.cos C AC2 = 650.

Do đó, diện tích tam giác ABC là:

SABC

1 AC 2 sin C

2

= 125.

- Nguyên nhân sai lầm: Lời giải trên xét thiếu trường hợp góc C tù.

- Lời giải đúng:

Ta có, Chu vi của đường tròn là: C = 2 R = 26 R = 13 Đặt cạnh đáy tam giác cân là AB.

Theo định lí hàm số sin, ta có: sin C =

AB =

2R

10 = 5

C

2.13 13

.

A

B

1

* Trường hợp 1: Góc C nhọn cos C1 = 12

13

Theo định lí hàm số côsin, ta có:

AB2 = 2 A C22  2 AC22 .cos C2 AC21= 650.

Do đó, diện tích tam giác ABC là: S 1 AC 2 sin C = 125. C2

ABC 2 1 1

* Trường hợp 2: Góc C tù cos C2 = 12

13

Theo định lí hàm số côsin, ta có:

Hình 1.7

AB2 = 2 AC22  2 AC22.cos C2 AC22 = 26.

Vậy diện tích tam giác ABC là:

SABC

1 AC

2 2

2 sin C

2

= 5.

Nhận xét: Khi giải Toán, HS sử dụng TD lôgic để trình bày bài giải, nhưng phải nhìn BT một cách toàn diện (xét hết các trường hợp xảy ra)

VD 3: Sau khi học xong định lí dấu về tam thức bậc hai: “Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0). Tính biệt thức  = b2 - 4ac.

Nếu < 0 thì af(x) > 0 x,

Nếu = 0 thì af(x) > 0 x b ,

2a

Nếu > 0 thì af(x) > 0 x(; x1) (x2; + ), af(x) < 0 x(x1; x2)”. Có thể hỏi HS:

- Quan sát định lí, hãy cho biết, trong trường hợp nào thì f(x) luôn giữ nguyên một dấu? (Chỉ có trường hợp < 0).

- Muốn f(x) luôn nhận dấu dương với mọi x, cần có những điều kiện gì?

(Điều kiện cần tìm là:

a  0 ).

 0



Những câu hỏi dẫn dắt trên có dụng ý giúp HS đi đến một kiến thức rất quan trọng của Đại số 10, đó là tam thức không đổi dấu.

Tuy nhiên, cần tính đến một tình huống: HS gặp khó khăn ở câu hỏi thứ hai, khi đó có thể dẫn dắt thêm: Nếu f(x) luôn nhận dấu dương với mọi x thì dấu của f(x) có thay đổi hay không? Vậy thì phải như thế nào?

* Sự khác nhau của TDBC và TD lôgic

- TD lôgic tuân theo các quy luật của lôgic hình thức, còn TDBC tuân theo các quy luật của Lôgic BC.

- TD lôgic phản ánh chỉ một mặt nào đó của đối tượng, mặt ổn định về chất lượng, mặt đồng nhất của các đối tượng theo những quan hệ nhất định.

TDBC phản ánh những hiện tượng hiện thực một cách toàn diện, trong vận động và biến thiên.

- TD lôgic nghiên cứu những hình thức của TD tuy có xét đến mặt ND, nhưng trong phạm vi có hạn của chúng. TDBC nghiên cứu quá trình phát triển của các khái niệm, phán đoán, suy luận, ... không tách rời toàn bộ ND của chúng.

- Nhiệm vụ của TD lôgic là nghiên cứu những hình thức và quy tắc kết hợp đúng đắn những khái niệm và phán đoán để suy lí một cách lôgic, để chứng minh có hiệu quả một vấn đề. Nhiệm vụ của TDBC là bằng những hình thức khác nhau để diễn tả một cách sâu sắc nhất và đúng đắn nhất ND của sự vật và quá trình hiện thực đang phát triển và biến hoá.

* Mối liên hệ giữa TDBC và TD lôgic

Giữa TDBC và TD lôgic có mối quan hệ với nhau là cùng phản ánh hiện thực khách quan. Bởi vì mỗi một ngành KH đều có nhiệm vụ riêng nghiên cứu những mặt khác nhau của thế giới vật chất. Như vậy, sự khác nhau giữa các KH chỉ là sự khác nhau về đối tượng.

Ta đã biết bốn quy luật cơ bản của TD lôgic. Bốn quy luật này yêu cầu: Trong quá trình TD phải nghiêm ngặt giữa tính đồng nhất của tiền đề, từ đó rút ra kết luận.

Nếu trong quá trình lập luận mà đánh tráo, thay đổi khái niệm của tiền đề cơ sở thì không thể nào đi đến kết luận chính xác được. Các quy luật này có tính chất bắt buộc trong một dạng kết cấu TD chính xác trong điều kiện phản ánh cái ổn định tương đối mà tất cả mọi người, mọi ngành KH đều phải tuân theo.

Nhưng trong quá trình phát triển lâu dài, một ngành KH, chẳng hạn ngành Toán, lại thể hiện những quy luật chung của TDBC, tiếp tục khám phá đối tượng khách quan tạo ra những khái niệm, phán đoán mới trong trạng thái ổn định mới. Chính vì vậy, phản ánh hiện thực sâu sắc hơn, toàn diện hơn và phạm vi ứng dụng rộng rãi hơn, hiệu quả hơn.

Do vậy, để đi đến cái mới trong Toán học, phải kết hợp được TD lôgic và TDBC. Trong việc phát hiện vấn đề và định hướng cho cách giải quyết vấn đề thì TDBC đóng vai trò chủ đạo. Khi hướng giải quyết vấn đề đã có thì TD lôgic giữ vai trò chính.

Để nhận thức mặt ND của hiện thực cần có TDBC, để nhận thức mặt hình thức của hiện thực cần có TD lôgic. ND là cơ sở, là mặt chính của sự vật quyết định đặc điểm về chất lượng của sự vật. Hình thức là phương thức tồn tại, là cơ cấu của ND làm cho nó có thể tồn tại.

Các kiến thức Toán học được hình thành chủ yếu thông qua con đường trừu tượng hoá và được phát triển theo các quy luật của TDBC, nhưng việc sắp xếp trình bày chúng lại mang tính hình thức triệt để dựa trên các quy luật của TD lôgic. Do đó, TD Toán học cũng phải là sự thống nhất BC giữa TDBC và TD lôgic.

b. Tư duy tích cực

Là loại TD dựa vào tính tích cực nhận thức của HS trong quá trình học tập. Tích cực nhận thức là trạng thái HĐ của HS đặc trưng bởi khát vọng học tập, huy động trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức [53].

Theo Shukina G. L., tính tích cực có thể phân thành 3 loại: tích cực tái hiện, bắt chước; tích cực tìm tòi và tích cực sáng tạo.

c. Tư duy độc lập

Là loại TD dựa vào tính độc lập nhận thức của HS trong quá trình học tập. Theo Aristôva và Êxipov: "Tính độc lập là năng lực của cá nhân HS tham gia HĐ mà không có sự can thiệp từ bên ngoài".

Theo nghĩa rộng, bản chất của tính độc lập nhận thức là sự chuẩn bị về mặt tâm lí cho sự tự học ...

Theo nghĩa hẹp, tính độc lập nhận thức là năng lực, nhu cầu học tập và tính tổ chức học tập, cho phép HS tự học [53].

TD độc lập có thể hiểu là tự mình suy nghĩ “là loại TD dựa vào tính độc lập nhận thức của HS trong quá trình học tập”[88, tr. 8].

VD: Khi DH về “Định lí côsin trong tam giác”:

Trong tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

a2 = b2 + c2 2bc cosA b2 = a2 + c2 2ac cosB

c2 = a2 + b2  2ab cosC [126, tr. 53].

Đầu tiên ta chứng minh: a2 = b2 + c2  2bc cosA Nếu được GV gợi ý rằng:

Xem a2 là BC 2 thì HS có thể phân tích: BC 2 = ( Từ đó, HS tự mình chứng minh định lí.

A

c

b

B

AC AB )2.

a C

Hình 1.8

Tuy nhiên, đây chỉ là một hướng chứng minh của SGK cũ, hiện nay theo chương trình hiện hành thì GV đặt vấn đề: Nếu ABC là tam giác vuông tại A thì theo định lí Pitago ta có: BC2 = AC2 + AB2 hoặc viết dưới dạng vectơ BC 2= AC 2+ AB 2 (*). Có thể chứng minh ngắn gọn đẳng thức (*) như sau:

BC 2 = ( AC AB )2 = AC 2 + AB 2  2 AC . AB = AC 2 + AB 2.

Từ đó có thể đặt câu hỏi cho HS thấy rằng trong chứng minh đó, giả thiết góc A

vuông được sử dụng như thế nào? (vì góc A vuông nên AC . AB = 0). Bây giờ, khi ABC là tam giác tùy ý thì HS có thể HĐ để tự mình tìm ra công thức côsin.

Ta có: BC 2 = ( AC AB )2 = AC 2 + AB 2  2 AC . AB

= AC2 + AB2 2 AC.AB.cos ( AC , AB )

hay a2 = b2 + c2  2bc cosA.

Hai PP dạy nêu trên khác nhau ở chỗ: PP thứ nhất buộc HS phải tiếp nhận một công thức mà họ không biết từ đâu ra và buộc họ phải tìm cách chứng minh. PP thứ hai làm cho HS tự mình tìm ra công thức đó.

d. Tư duy sáng tạo

Là TD tạo ra được cái mới. Tuy nhiên, HS trong quá trình sáng tạo, tạo ra cái mới không phải chủ yếu đối với xã hội mà là đối với chủ quan mình, nhưng cái mới ấy đồng thời cũng có ý nghĩa xã hội, bởi vì khi đó cá nhân được hình thành và biểu lộ [142].

Theo Solo R. L. thì: “Sáng tạo là HĐ nhận thức mà nó đem lại một cách nhìn nhận hay giải quyết mới mẻ đối với một vấn đề hay tình huống”.

Còn Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “Sáng tạo là sự vận động của TD từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới, vận động đi liền với BC”.

Nhà tâm lí học người Đức Mehlhorn cho rằng: “TD sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của GD”. Theo ông, TD sáng tạo bởi mức độ cao của chất lượng hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác, ...

Trong khi đó, J. Danton lại cho rằng: “TD sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý nghĩ mới, tìm thấy những mối quan hệ; là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá; là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm một chuỗi phiêu lưu; chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tượng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm”.

Như vậy “TD sáng tạo là một dạng TD độc lập, tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả cao trong giải quyết vấn đề”[142].

VD: Nhìn thấy mọi cách giải quyết có thể có, tiến hành giải theo từng cách và

lựa chọn cách giải quyết tối ưu. Phát hiện ra được nhiều cách giải là sáng tạo: biết nhận

K

G

J

I

xét các cách giải và chọn cách giải tối ưu. A

Cho tam giác ABC.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Chứng minh rằng: B C

GA + GB + GC = 0 (1) [126, tr. 13].

Hình 1.9 D

Giải:

Cách 1: Vẽ hình bình hành BGCD. Ta có: GB + GC = GD (*)

Mặt khác, do G là trọng tâm của tam giác ABC nên: GD = 2 GI = AG = GA . Thay vào (*) ta được: GB + GC = GA

Hay GA + GB + GC = 0 (đpcm).

Cách 2: Chứng minh: GA + GB + GC = 0

GI + IA + GJ + JB + GK + KC = 0

( GI + GJ + GK ) + ( IA + JB + KC ) = 0

Ta có: vì G cũng là trọng tâm của tam giác IJK nên GI + GJ + GK = 0 (chứng minh tương tự như cách 1).

Mặt khác: IA = IB + BA =

1 CB + BA

2

JB = JC + CB =

1 AC + CB

2

KC = KA + AC =

1 BA + AC .

2

Suy ra: IA + JB + KC =

3 ( AC + CB + BA ) =

2

3 ( AB + BA ) = 0 .

2

Do đó: GA + GB + GC = 0 + 0 = 0 (đpcm).

Cách 3: Xét tam giác GDC ta có: GD = AG = GA DC = BG = GB

CG = GC

Suy ra: GA + GB + GC = ( GD + DC + CG ) = 0 (đpcm).