Các Đặc Trưng Cơ Bản Của Tư Duy Biện Chứng

1.1.4. Các đặc trưng cơ bản của tư duy biện chứng

a. Tính khách quan

"Khi xem xét sự vật, phải xuất phát từ chính bản thân sự vật".

Như thế, chủ thể không được xem xét sự vật một cách "chủ quan, tùy tiện, gán ghép cho sự vật những thuộc tính mà nó không có".

Đây là những nguyên tắc xuất phát, nền tảng, đầu tiên dẫn đến việc nhận thức khách thể một cách đúng đắn, tránh được sự chủ quan trong quá trình phản ánh [141, tr. 59].

VD: Số vô tỉ - số thực ra đời xuất phát từ nhu cầu nội bộ môn Toán, xuất phát từ chính bản thân số mới: Là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Nhưng cái cơ bản là: Đo độ dài của một đoạn thẳng khi đã chọn đơn vị đo, không thể bằng lòng với số đo là số nguyên dương, là số hữu tỉ dương. Thực tế khách quan là tồn tại những đoạn thẳng có số đo không là số nguyên dương, không là số hữu tỉ dương. Chẳng hạn, đo độ dài đường chéo hình vuông cạnh có độ dài bằng 1.

Trong phạm vi lớp 9, sách đã chỉ ra cho HS thấy bản chất của số vô tỉ: Nếu biểu diễn ở dạng thập phân thì nó là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

b. Tính toàn diện

"Khi nhận xét sự vật, phải xem xét một cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó".

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 225 trang tài liệu này.

Như thế, chủ thể cần nghiên cứu đối tượng trong tất cả các mặt, các mối quan hệ (bên trong và bên ngoài), tất cả các mắt xích trung gian, trong tổng thể những mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự vật khác.

Tuân thủ nguyên tắc này, chủ thể tránh được những sai lầm của cách xem xét chủ quan, phiến diện, một chiều, thổi phồng một mặt nào đó tới mức làm sai lệch bản chất của sự vật [141, tr. 59].

Khi ta xem xét một sự vật, ta phải xem xét một cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó, cần nghiên cứu đối tượng trong tất cả các mặt quan hệ, giúp HS có cách nhìn BC hơn, góp phần bồi dưỡng năng lực TDBC cho HS.

Theo [112, tr. 130] “... mối liên hệ lẫn nhau và phụ thuộc lẫn nhau của các khái niệm và mối tương quan Toán học là đặc trưng của tư duy biện chứng”, chẳng hạn thể hiện đặc trưng này ở:

- Sự liên hệ tương hỗ và phụ thuộc lẫn nhau của các khái niệm

Khi DH một khái niệm Toán học thì quá trình hình thành các khái niệm chưa kết thúc khi phát biểu được định nghĩa. Bởi, hình thành được một khái niệm cho HS bao gồm việc phát biểu được định nghĩa, củng cố khái niệm và vận dụng các khái niệm đó vào giải toán. Sự hình thành khái niệm được tiếp cận bằng 3 con đường khác nhau: con đường quy nạp; con đường suy diễn; con đường kiến thiết.

Tuy nhiên, cho dù hình thành khái niệm bằng con đường nào đi nữa thì giữa các khái niệm đều có sự liên hệ tương hỗ và phụ thuộc lẫn nhau.

VD 1: Khi đã hình thành được khái niệm về vectơ: “Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối”. Từ đó, GV đi xây dựng định nghĩa vectơ - không: “Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ - không”. GV khẳng định đây là định nghĩa mà người ta quy ước.

GV đặt ra vấn đề: Ta đã có khái niệm hai số bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, vậy liệu có khái niệm hai vectơ bằng nhau hay không? và nếu có thì được định nghĩa như thế nào? Muốn trả lời được câu hỏi này thì GV phải hướng dẫn cho HS hình thành khái niệm hai vectơ cùng phương: “Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau”. Và đưa ra: “Nếu hai vectơ cùng phương thì hoặc chúng cùng hướng, hoặc chúng ngược hướng”.

Vậy “Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài”.

Từ đó ta có thể xây dựng định nghĩa về tổng của hai vectơ, hiệu của hai vectơ (vectơ đối), tích vô hướng của hai vectơ (hai vectơ vuông góc với nhau) ...

VD 2: Để hình thành khái niệm bình phương vô hướng của vectơ a , ta có thể tiến hành như sau:

Bước 1: GV đưa ra: a . b =? yêu cầu HS trả lời.

Từ đó nêu: a . b = a . b . cos( a , b )

Trong công thức trên, nếu b = a thì ta có được điều gì? Đến đây HS sẽ rút ra được: a . a = a 2.

Bước 2: GV nêu định nghĩa bình phương vô hướng của vectơ a và kí hiệu là a 2.

Bước 3: GV đưa ra một vài VD đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa.

Nhận xét: Từ VD trên, ta thấy được tính chất BC trong việc hình thành các khái niệm bằng con đường suy diễn, đó chính là sự tuân theo quy luật từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ TD trừu tượng đến thực tiễn. Hơn nữa, tính BC thể hiện rõ nét ở sự suy diễn, tổng kết và đặt các sự vật vào trong mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau, cũng như luôn đặt trong trạng thái vận động.

- Sự liên hệ tương hỗ và phụ thuộc lẫn nhau của các quan hệ

Chúng ta cần nghiên cứu đối tượng trong tất cả các mặt, các quan hệ (bên trong và bên ngoài) của nó. Có như vậy chúng ta mới hiểu được sâu sắc đối tượng đó, mới đánh giá được một cách chính xác bản chất của vấn đề và tầm quan trọng của nó trong cuộc sống. Cụ thể trong Hình học 10 (nâng cao) có các VD sau:

VD 1: Khi dạy vectơ và các phép toán trên vectơ, GV có thể nói cho HS biết: Trong thực tế cuộc sống, có những đại lượng có hướng cần được biểu diễn, VD như: vận tốc, gia tốc, lực, ... từ những yêu cầu đó, khái niệm vectơ ra đời. Qua đó, GV đã làm cho HS thấy được mối quan hệ liên môn trong nhà trường PT. Nhất là giữa Vật lí và Toán học, để các em thấy được rằng Toán học có mối quan hệ chặt chẽ với các môn học khác trong nhà trường.

VD 2: Trong SGK HH10 (Nâng cao), sau khi định nghĩa “Tổng hai vectơ”, ta xét đến mối quan hệ sau:

* Các tính chất

- Tính chất giao hoán: a + b = b + a

- Tính chất kết hợp: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

- Tính chất của vectơ  không: a + 0 = a .

* Các quy tắc

Hình 1.1

O A

P C

Hình 1.2

- Quy tắc ba điểm (Hình 1.1):

Với ba điểm bất kì M, N, P, ta có: MN + NP = MP .

- Quy tắc hình bình hành (Hình 1.2):

Nếu OABC là hình bình hành thì ta có: OA + OC = OB .

* Tích của một vectơ với một số:

Nếu ta lấy vectơ a cộng với chính nó thì ta có thể nói kết quả là hai lần vectơ a ,

viết là 2 a , và gọi là tích của số 2 với vectơ a , hay là tích của a với 2. Đây là mối quan hệ ban đầu góp phần hình thành khái niệm tích của một vectơ với một số thực bất kì.

c. Tính lịch sử

"Khi xem xét sự vật, phải nhận thức sự vật trong sự phát triển, trong sự tự vận động của nó".

Như thế, chủ thể cần xem xét sự vật ấy đã xuất hiện như thế nào trong lịch sử, đã trải qua những giai đoạn phát triển chủ yếu nào và hiện tượng đó ra sao?

Tuân thủ nguyên tắc này, chủ yếu tránh được những sai lầm của cách xem xét sự vật một cách "siêu hình", cứng nhắc, bảo thủ, ... [141, tr. 59].

VD: Sự hình thành và phát triển hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc trong KG được thực hiện từng bước phù hợp với trình độ HS ở mỗi lớp trong từng bậc học: Tia số (Số học

E1 E2

- lớp 6), trục số hữu tỷ (ĐS - lớp 7), trục số thực và mp tọa độ (ĐS - lớp 9) và hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc trong KG (HH 12).

Để xác định vị trí của một điểm hoặc một vectơ trong KG, người ta thường dùng hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc trong KG.

Đó là một hệ gồm ba đường thẳng x'Ox, y'Oy,

z'Oz vuông góc với nhau từng đôi một, trên

Hình 1.3

đó chọn lần lượt các vectơ đơn vị:

e1 OE1 ,

e2 OE2 ,

e3 OE3 .

Ba đường thẳng ấy gọi là ba trục tọa độ.

Trục x'Ox gọi là trục hoành, trục y'Oy

gọi là trục tung và trục z'Oz gọi là trục cao. Điểm O gọi là gốc toạ độ.

Nhận xét: Sự hình thành và phát triển hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc trong KG: Trên nửa đường thẳng, trên đường thẳng, trên mp và trên KG. Phát triển theo số chiều của KG (theo số lượng của đường thẳng), có thể mở rộng đến n chiều. Ngoài ra có thể phát triển theo hướng không cần phải vuông góc như hệ tọa độ afin.

Phát triển theo các môn học: Số học, Đại số và HH, ích lợi của việc phát triển này: Thể hiện mối quan hệ giữa Số học, Đại số và HH: Đại số hoá HH, tạo ra công cụ khá đắc lực để giải các BT Hình học như: PP tọa độ, PP vectơ, ...

d. Tính hai mặt (phân đôi cái thống nhất: Mâu thuẫn và thống nhất)

"Bất cứ sự vật nào cũng là một thể thống nhất của các mặt đối lập và luôn luôn có sự mâu thuẫn giữa các mặt đối lập. Sự mâu thuẫn ấy chính là nguồn gốc và động lực bên trong của sự phát triển đối với các sự vật và hiện tượng".

Mặt đối lập là sự khái quát những mặt, những thuộc tính, những khuynh hướng,

... trái ngược nhau trong một chỉnh thể làm nên sự vật và hiện tượng. Thống nhất và đối lập là hai mặt liên hệ với nhau, ràng buộc nhau và quy định lẫn nhau, mặt này lấy mặt kia làm tiền đề tồn tại cho mình. Mâu thuẫn giữa các mặt đối lập nghĩa là các mặt đối lập phủ định nhau.

Như vậy, khi xem xét sự vật, chủ thể cần nhận thức rằng bao giờ cũng vậy, bất cứ sự vật hoặc hiện tượng nào cũng là một thể thống nhất bao gồm những mặt, những thuộc tính, những khuynh hướng trái ngược nhau, mâu thuẫn với nhau, làm cho sự vật phát triển.

Tuân thủ nguyên tắc này, tức chủ thể nắm được hạt nhân của phép BC [141, tr. 60].

VD: Tập hợp Z các số nguyên là một thể thống nhất của các mặt đối lập: Số nguyên

âm và số nguyên dương, phép cộng và phép trừ, phép nhân và phép chia.

* Tích của hai số nguyên: 4.7 = 28; 3.(2) = 6; (5).9 = 45; (7).(2) = 14.

Phép nhân các số nguyên luôn luôn thực hiện được trong Z.

* Thương của hai số nguyên: 8/2 = 4; 7/3 = ?

Phép chia các số nguyên không luôn luôn thực hiện được trong Z.

Sự mâu thuẫn này chính là nguồn gốc và động lực bên trong của sự phát triển để tập hợp Q các số hữu tỉ ra đời.

Như vậy để nhận thức đúng bản chất sự vật, tìm ra phương hướng và giải pháp đúng để giải quyết vấn đề cần phải đi sâu nghiên cứu phát hiện ra những mâu thuẫn của sự vật. Muốn phát hiện ra mâu thuẫn, phải tìm ra trong thể thống nhất những mặt, những khuynh hướng trái ngược nhau, tức là tìm ra những mặt đối lập và tìm ra những mối liên hệ, tác động qua lại lẫn nhau giữa các mặt đối lập đó.

VD: Khi dạy định lí côsin ở HH10, GV chỉ đưa ra định lí và hướng dẫn HS chứng minh. Cách dạy này đã làm cho HS tiếp nhận kiến thức một cách thụ động và thiếu sáng tạo, phần nào đã làm cho HS bị hạn chế trong sự phát triển TD nói chung và TDBC nói riêng.

Người GV nên khéo léo, bằng khả năng SP của mình gợi lên một tình huống có vấn đề, gợi động cơ cho HS (bằng việc nhắc các kiến thức có liên quan), sau đó cho HS tự tìm tòi phát hiện ra định lí Pitago là một trường hợp đặc biệt của định lí côsin khi tam giác mà ta đang xét là tam giác vuông.

Cụ thể: - GV đưa ra yêu cầu HS chứng minh định lí Pitago, bằng kiến thức vectơ đã học.

- Sau đó GV có thể hỏi HS rằng: Giả thiết tam giác ABC vuông tại A đã được sử dụng ở đâu trong phép chứng minh?

Khi đó, HS sẽ phát hiện ra rằng, trong phép chứng minh:

a 2 = BC2 = BC 2 = ( AC AB )2 B

= AC 2 + AB 2  2 AC . AB (*) c

= AC 2 + AB 2 = b2 + c2.

Thì giả thiết tam giác ABC vuông tại A được sử dụng ở bước (*): AC . AB = 0.

Hình 1.4 C

Từ đó, HS sẽ rút ra rằng nếu góc A không phải là góc vuông thì AC . AB  0 và

AB . AC

AC . AB =

 cos( AC , AB ).

Đến đây, GV cần hướng dẫn để HS tự nêu bật định lí, giống như các em đã tìm ra định lí vậy.

Do đó, ta có thể thấy tính chất hai mặt của vấn đề trong việc dạy học định lí này. Nếu xét tam giác vuông (là cái riêng) và tam giác (là cái chung), là mâu thuẫn với nhau mà không chú ý đến tính thống nhất của TDBC rằng tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, thì ta sẽ không nghĩ ra rằng tam giác không có tính chất đó. Ngược lại, phải nghĩ rằng tam giác ắt phải có tính chất tổng quát hơn, mà nó nhận định lí Pitago làm một trường hợp đặc biệt. Điều này, giúp HS phát hiện ra vấn đề và học tập một cách chủ động, sáng tạo và tích cực, tự giác hơn để phát hiện ra cái mới. Đồng thời nó cũng góp phần làm phát triển TDBC cho HS khi học Toán.

e. Tính thay đổi

Một trong 3 quy luật cơ bản của phép BC là: Quy luật chuyển hóa từ những sự thay đổi về lượng đẫn đến sự thay đổi về chất (thống nhất, đấu tranh của các mặt đối lập; phủ định của phủ định). Quy luật này rất phổ biến trong Toán học, ta có thể nhìn thấy một cách rõ nét nhất ở các BT khảo sát hàm số, các phương trình chứa tham số hoặc các BT quỹ tích trong HH …

VD 1: Cho hàm số

f x1 x3 x 2  3x .

Hãy xét sự biến thiên của hàm số trên.

Giải: Ta có TXĐ: D = R

và f ' xx 2  2x  3 x  1x  3

Khi đó

Ta có

f 'x 0 x 1

x  3



x  3

f 'x 0 x 1 và



f 'x 0 1 x  3

Vậy hàm số đồng biến trong (;1] [3;+ ) và nghịch biến trong khoảng [1;3].

Nhận xét: Từ VD trên, ta thấy sự thay đổi của đối số x đến một giới hạn thì sẽ dẫn đến sự thay đổi tính chất của hàm số. Đó là những biểu hiện đơn giản của sự thay đổi về lượng dẫn đến sự thay đổi về chất. Nhưng đồng thời ta cũng thấy được mối liên hệ phụ thuộc giữa các đối tượng Toán học: Đối số và hàm số.

VD 2: Cho phương trình:

mx 2 2m  1x m  0

(1)

Biện luận theo m số nghiệm của phương trình trên.

Giải: TXĐ: D = R.

* Trường hợp 1: Nếu

m  0

thì phương trình (1) trở thành: x = 0.

Vậy nếu m = 0 thì (1) có duy nhất một nghiệm là x = 0.

* Trường hợp 2: Nếu m  0 , thì (1) là phương trình bậc hai, ta có:

2m  12 4m 2 4m  1

- Nếu

 0

4m  1  0 m 1 thì (1) vô nghiệm;

- Nếu

 0 

4m  1  0 m 1 thì (1) có nghiệm kép là x = 1;

- Nếu

 0

4m  1  0 m 1 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Nhận xét: Từ VD 2, ta thấy sự thay đổi về lượng của tham số mqua một mốc

đặc biệt là 1

dẫn tới sự thay đổi về chất, trong trường hợp này là dẫn tới sự thay đổi

về số nghiệm, cụ thể như sau:

Khi m thay đổi giá trị, nhưng nếu các giá trị đó vẫn nhỏ hơn

1 thì phương

trình

mx2  (2m 1)x m  0

vẫn vô nghiệm, nhưng nếu m = 1

thì phương trình có

nghiệm kép x = 1, còn nếu x nhận những giá trị (dù khác nhau) của m >1

thì

phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Như vậy, nếu nhìn nhận vấn đề một các BC thì sự thay đổi của tham số m là những biểu hiện sự thay đổi về lượng, còn sự thay đổi số