Hoạt Động Hóa Người Học Khi Dạy Học Các Tình Huống Điển Hình

s’ .

thời.điểm t0

t0+.∆t s

o s0

M0 ∆s M

Ở thời điểm t0+ t, chất điểm M có hoành độ s0 + s = f(t0 + t)

Vậy trong khoảng thời gian t, chất điểm M đã đi được một quãng đường là:

s = f(t0 + t) f(t0). Nếu chất điểm M có chuyển động đều vận tốc v (v là hằng

số) thì tỉ số

s v . Nếu chuyển động của M không đều thì tỉ số s

t t

được gọi là vận tốc

trung bình vm của chuyển động trong khoảng thời gian t từ thời điểm t0 đến thời điểm

t0 + t: vm

s

t

f t0t f t0

t

Nếu t càng nhỏ thì vận tốc trung bình miêu tả càng đúng tính chất nhanh, chậm của chuyển động trong khoảng thời gian ấy.

Từ đó, lẽ tất nhiên dẫn đến vấn đề tìm giới hạn của vận tốc trung bình

khi t 0. Nếu giới hạn đó tồn tại thì giới hạn đó được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0, ký hiệu là v(t0).

Do đó:

vt

 lim s lim

f t0t f t0

0 t0 t t 0 t

+ Đạo hàm tại một điểm: Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của điểm x0. Khi biến số nhận một số gia x tại điểm x0 thì hàm số có số gia tương ứng là:

y = f(x0 + x)  f(x0).

Nếu tồn tại giới hạn

lim y , ta nói hàm số có đạo hàm tại x0 và giới hạn đó là

x0 x

đạo hàm của hàm số tại x0, kí hiệu là f’(x0) hay

y' .

Vậy, ta có định nghĩa đạo hàm:

f ' x

 lim y lim

f x0xf x0

0 x0 x x0 x

* Nhận xét: + Khái niệm đạo hàm là một trong những khái niệm ra đời từ thực tiễn, xuất phát từ BT thực tế tìm vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động thẳng, tức là xuất phát từ thực tế “khách quan” nhằm hình thành cho HS tính “khách quan” của TDBC.

+ Từ phát hiện một dạng vận động trong “thực tế”, Toán học đã khái quát và “trừu tượng hóa”, từ đó đưa ra một định nghĩa thuần túy Toán học: Khái niệm đạo hàm. Từ định nghĩa này, khái niệm đạo hàm lại được áp dụng một cách có hiệu quả vào thực tiễn như: Tiếp tuyến với đường cong phẳng, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t. Điều này giúp HS cảm nhận quy luật: “Từ trực quan sinh động đến TD trừu tượng, từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn” với tư cách là quy luật của lôgic BC [85, tr. 294].

VD 3: Xem xét hiện tượng khách quan "Đường thẳng vuông góc với mp" một cách toàn diện. Từ hiện tượng một cây cột cờ chôn thẳng đứng so với mặt đất, Toán học đã khái quát và trừu tượng hoá thành khái niệm đường thẳng vuông góc với mp: "Đường thẳng a được coi là vuông góc với mp (P) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp (P)" và xem xét tất cả các dạng của "hiện tượng" này, đưa ra những dấu hiệu để nhận biết nó.

Toán học xây dựng các dấu hiệu này dựa vào các công cụ toán, thông qua các định lí về mối quan hệ song song và vuông góc.

Xem xét đối tượng "Đường thẳng vuông góc với mp" trong mối quan hệ với:

1) Đường thẳng vuông góc:

d a

 d b



a b 0

a, b 

a 

2) Đường thẳng song song:

a 



a // b

b 

3) Mp song song:

a 



// 

a 

4) Mp vuông góc:





a 



a a 

a 













Qua VD có thể giúp HS hình thành quan điểm "toàn diện" của TDBC.

Qua VD trên ta nhận thấy rằng: Việc học các kiến thức toán, đặc biệt là giải các BT đã góp phần rất đắc lực cho việc rèn luyện TDBC, tức là HS tiếp thu dần các quy luật của TDBC một cách “chưa thật tự giác”, nhưng đây chính là xây dựng cơ sở để hình thành TDBC cho HS. Điều này không chỉ giúp HS học toán và các môn học khác khi đang còn học ở trường PT, mà còn tạo điều kiện cho các em TD một cách BC để vận dụng trong cuộc sống lao động dù là chân tay hay trí óc sau này.

Tuy nhiên, rèn luyện và phát triển TDBC qua DH toán không phải là trình bày trực tiếp, tường minh các tính chất (quy luật), các HĐ của lôgic BC, đây là nhiệm vụ của bộ môn Triết học duy vật BC. Trong phạm vi DH toán cần đạt 2 yêu cầu:

- Qua DH toán hình thành TDBC nhằm góp phần xây dựng cơ sở cho HS hiểu các quy luật, các HĐ của duy vật BC và do đó nâng cao chất lượng DH toán.

- Đến một chừng mực nào đó, khi nắm được các quy luật này (một cách ẩn tàng) HS sẽ tự vận dụng khi học toán và cả khi giải quyết các tình huống trong thực tế cuộc sống.

VD 4: Tính “mâu thuẫn và thống nhất” của TDBC thể hiện:

- Khi xét sự hình thành và phát triển các tập hợp số trong Toán học PT.

Sự phát triển các tập hợp số không phải do lí trí chủ quan của các nhà Toán học mà do nhu cầu thực tế trong đời sống hay nhu cầu thực tế trong bản thân nội bộ Toán học.

+ Tập hợp số tự nhiên (Toán 6 ): N = 0; 1; 2; 3; ... Tập hợp N các số tự nhiên tồn tại mâu thuẫn:

* Trong thực tế cuộc sống: Chưa phản ánh được các hiện tượng thực tế của thế giới khách quan như: lãi và lỗ, đi tiến và đi lùi, nhiệt độ nóng và lạnh ...

* Trong nội bộ Toán học: Phép trừ không luôn luôn thực hiện được: 5 – 3 = 2; 3  5 = ?

+ Tập hợp Z các số nguyên (Đại số 7): Z = ...; 3; 2;  1; 0; 1; 2; 3; ...

Sự mở rộng từ N  Z hay tập hợp Z các số nguyên ra đời nhằm giải quyết những mâu thuẫn của tập hợp N các số tự nhiên.

Tuy nhiên, trong tập hợp Z các số nguyên xuất hiện những mâu thuẫn mới (mâu thuẫn này mất đi, thì mâu thuẫn khác lại hình thành):

* Trong thực tế cuộc sống: Chưa phản ánh được các hiện tượng thực tế của thế giới khách quan như: do lũ lụt phải chia lại ruộng, đất đai hay chia số con cá đánh bắt được, chia số con mồi săn bắt được, chia quà cho các em nhỏ ... tồn tại những phép chia không là số nguyên.

* Trong nội bộ Toán học:

Phép chia không luôn luôn thực hiện được: 8 : ( 4) =  2; ( 7) : 3 = ?

+ Tập hợp Q các số hữu tỷ (Đại số 7): Q =  m/n: m, n  Z, n > 0 

Sự mở rộng từ Z  Q hay tập hợp Q các số hữu tỷ ra đời nhằm giải quyết những mâu thuẫn của tập hợp Z các số nguyên.

Tuy nhiên, trong tập hợp Q các số hữu tỷ lại xuất hiện những mâu thuẫn mới:

* Trong thực tế cuộc sống: Không đáp ứng nhu cầu của phép đo đạc hay tính toán, tồn tại những đoạn thẳng có độ dài không là số hữu tỉ. Chẳng hạn, đo độ dài đường chéo hình vuông có cạnh bằng 1 hay đo chu vi C của đường tròn thì d và C không là số hữu tỉ.

* Trong nội bộ Toán học: Phép khai căn của số không âm không luôn luôn thực

hiện được: 4 / 9 = 2/3  Q nhưng

+ Tập hợp các số thực (Đại số 9).

 Q.

Sự mở rộng từ Q sang R hay tập hợp R các số thực ra đời nhằm giải quyết những mâu thuẫn của tập hợp Q các số hữu tỷ.

1

Tuy nhiên, tập hợp R các số thực xuất hiện mâu thuận mới:

* Phép khai căn không luôn luôn thực hiện được:

= 2;

 R nhưng = ?

Nhận xét: Qua VD có thể giúp HS hình thành một số quan điểm của lôgic BC:

* HS có thể cảm nhận quy luật "lịch sử" của TDBC: Khi xem xét sự vật phải nhận thức sự vật trong sự phát triển, trong sự tự vận động của nó.

* HS có thể cảm nhận quy luật "phủ định của phủ định" của phép BC duy vật. Các tập hợp số mới ra đời thay thế tập hợp số cũ là "kết quả" của những "mâu thuẫn" nằm ngay trong bản thân tập hợp số cũ được "giải quyết”. Vì vậy, các tập hợp số mới ra đời là có tính "khách quan", là một yếu tố tất yếu của sự phát triển.

Các tập hợp số mới ra đời trên cơ sở "kế thừa" các tập hợp số cũ, thể hiện tính

"kế thừa" của phủ định BC.

* HS có thể cảm nhận: "Mâu thuẫn là nguồn gốc và động lực bên trong của sự phát triển. Mâu thuẫn này mất đi thì mâu thuẫn khác lại hình thành" là một quan điểm của lôgic BC.

- Xét: hai đối tượng Tam giác và tam giác vuông

Với: “Định lí Pitago” thì tam giác và tam giác vuông là mâu thuẫn (định lí không khi tam giác là tam giác bất kì).

Với: “Định lí côsin” thì tam giác và tam giác vuông là thống nhất (định lí luôn đúng với mọi tam giác bất kì).

VD 5: Tính “toàn diện” của TDBC còn thể hiện khá rõ, khi khuyến khích HS tìm nhiều lời giải khác nhau cho một BT, do nhìn BT theo các khía cạnh khác nhau trong mối liên hệ với nhau.

Cụ thể, cho BT: Trong mp tọa độ Oxy, tam giác ABC có các đỉnh A(4 ; 1); B(2 ; 4); C(2 ; 2). Chứng minh rằng: trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thẳng hàng [126, tr. 52].

Để chứng minh G, H, I thẳng hàng, nếu GV hướng dẫn và khuyến khích các em nhìn nhận BT chứa nhiều khía cạnh khác nhau, thì BT này sẽ có nhiều cách giải khác nhau:

+ Cách 1. Dùng vectơ: Để chứng minh G, H, I thẳng hàng, ta sẽ chứng minh: GH kGI .

+ Cách 2. Dùng PP tọa độ,

tính tọa độ các điểm G, H, I sau đó kiểm tra các

vectơ GH và GI cùng phương.

+ Cách 3. Chứng minh hai

góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau:

IGM = HGB

(-4 ; 1)A

-4

y 4

I G 1 H O

B(2 ; 4)

2 x

bằng cách chứng minh: IGM HGB

+ Cách 4. Sử dụng định lí Talet…

1.2. Hoạt động tư duy trong dạy học môn Toán

1.2.1. Khái niệm hoạt động

-2 C(2 ; -2)

Hình 1.17

HĐ với tư cách là một khái niệm Triết học đã có từ lâu. Nhưng nó mới trở thành một khái niệm tâm lí học từ đầu thế kỷ XX [42, tr. 39].

Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về HĐ, chúng tôi nêu hai cách thường dùng: Cách 1: HĐ là sự tiêu hao năng lượng thần kinh và cơ bắp của con người tác động vào hiện thực khách quan, nhằm thỏa mãn những nhu cầu của mình.

Cách 2: HĐ là phương thức tồn tại của con người trong thế giới. HĐ là mối quan hệ tác động qua lại giữa con người và thế giới (khách thể) để tạo ra sản phẩm cả về phía thế giới, cả về phía con người (chủ thể) [144, tr. 44].

- HĐ có các đặc điểm sau [144, tr. 44]: HĐ bao giờ cũng là HĐ có đối tượng; HĐ bao giờ cũng có chủ thể; HĐ bao giờ cũng có tính mục đích; HĐ vận hành theo nguyên tắc gián tiếp.

- Các loại HĐ [144, tr. 46]:

Cách phân loại thứ nhất: Xét về phương diện cá thể, có 4 loại HĐ (vui chơi, học tập, lao động, xã hội).

Cách phân loại thứ hai: Xét về phương diện sản phẩm, có 2 loại HĐ lớn (thực tiễn, lí luận). Cách phân loại khác: Có 4 loại (biến đổi, nhận thức, định hướng giá trị, giao lưu).

Cấu trúc của HĐ:

Chủ thể

Khách thể