Những vẫn đề cơ bản về chứng khoán phái sinh

3. Trong thời hạn của quyền chọn, cổ phiếu không được hưởng cổ tức

4. Không có cơ hội giao dịch chênh lệch giá phi rủi ro

5. Giao dịch chứng khoán liên tục

6. Các nhà đầu tư có thể vay hoặc cho vay tại cùng một mức lãi suất phi rủi ro

7. Lãi suất phi rủi ro ngắn hạn, r, giữ nguyên.

Một số giả định đã được các nhà nghiên cứu sử dụng linh hoạt. Ví dụ, biến thể của công thức Black-Scholes có thể được sử dụng khi r và là các hàm thời gian, và như chúng ta sẽ ở phần sau, công thức này có thể được điều chỉnh

để tính đến các khoản cổ tức.

Phân tích Black-Scholes/Merton

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 151 trang tài liệu này.

Phõn tớch Black-Scholes/Merton cũng giống như phân tích với điều kiện không có chênh lệch giá sử dụng trong phần trước để định giá quyền chọn khi những thay đổi giá cổ phiếu dưới dạng nhị thức. Danh mục đầu tư phi rủi ro bao gồm một vị thế quyền chọn và một vị thế cổ phiếu cơ sở được thiết lập. Trong trường hợp không có cơ hội chênh lệch giá, thu nhập từ danh mục này phải bằng với lãi suất phi rủi ro, r.

Lý do có thể thiết lập được một danh mục đầu tư là ở chỗ giá cổ phiếu và gái quyền chọn đều chịu ảnh hưởng bởi cùng một yếu tố không ổn định: biến

động giá cổ phiếu.Trong bất kỳ khoảng thời gian ngắn nào, giá quyền chọn mua hoàn toàn tỷ lệ thuận với giá cổ phiếu cơ sở; giá của quyền chọn bán thì hoàn toàn tỷ lệ nghịch với giá cổ phiếu cơ sở. Trong cả hai trường hợp, khi một danh mục đầu tư cổ phiếu và quyền chọn phù hợp được thiết lập, các khoản lãi lỗ từ vị thế giao dịch cổ phiếu luôn bù trừ cho các khoản tương ứng từ vị thế quyền chọn sao cho tổng giá trị của danh mục tại cuối kỳ luôn được cố định.

Giả sử rằng tại một thời điểm cụ thể mối quan hệ giữa một thay đổi giá cổ phiếu nhỏ S dẫn tới thay đổi nhỏ về giá của một quyền chọn mua kiểu Châu

Âu. c nh− sau : c = 0,4 S

Có nghĩa là độ dốc của đường thẳng biểu thị mối quan hệ giữa c và S là 0,4 như Hình 11.3. Danh mục đầu tư phi rủi ro bao gồm

- Vị thế mua 0,4 cổ phiếu

- Vị thế bán 1 quyền chọn mua

Có một sự khác biệt quan trọng giữa phân tích Black-Scholes/Merton và phân tích sử dụng mô hình nhị thức. Trong mô hình Black-Scholes/Merton vị thế được thiết lập chỉ không có rủi ro trong một khoảng thời gian rất ngắn.

Để đảm bảo tiếp tục không còn rủi ro phải thường xuyên điều chỉnh hoặc tái cân đối danh mục. Ví dụ, mối quan hệ giữa c và S có thể thay đổi từ c = 0,4

S vào ngày hôm nay thành c = 0,5 S sau hai tuần. Nếu như vậy thì phải sở hữu 0,5 cổ phiếu chứ không phải là 0,4 cổ phiếu nữa cho mỗi quyền chọn mua

được bán ra. Tuy nhiên sự thực là thu nhập từ danh mục đầu tư phi rủi ro trong bất kỳ khoảng thời gian ngắn nào phải bằng với mức lãi suất phi rủi ro. Đây là yếu tố chủ đạo trong các lập luận Black-Scholes/Merton và dẫn tới các công thức định giá của họ.

Các công thức định giá

Cỏc cụng thức định giỏ Black-Scholes áp dụng cho quyền chọn mua và quyền chọn bán kiểu Châu Âu các cổ phiếu không trả cổ tức là

c = SN (d1) - Xe-rT N(d2) (11.5)

p = Xe-rT N(-d2) - SN (-d1) (11.6)

trong đó

d 1 

ln( S

/ X ) 

( r  σ 2

/ 2 ) T

σ T

d 2 

ln( S

/ X )  ( r

 σ 2

/ 2 )T

Hàm N(x) là hàm xác suất tích luỹ đối với một biến thường được chuẩn hoá. Nói cách khác đây là xác suất một biến có phân bố thường chuẩn,

(0,1) sẽ thấp hơn x. Xác suất này được minh hoạ tại Hình 11.4. Các biến c và p là các mức giá quyền chọn mua và quyền chọn bán kiểu Châu Âu, S là giá cổ phiếu, X là giá thực hiện, r là lãi suất phi rủi ro, T là thời gian

d1 σ T

còn lại tới khi đáo hạn, và là biến động giá cổ phiếu. Bởi vì giá quyền chọn mua kiểu Mỹ, C, bằng với giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu, c,

đối với loại cổ phiếu không trả cổ tức, Phương trình 11.5 cũng giúp ta tính được giá của một quyền chọn mua kiểu Mỹ. Tuy nhiên chưa có công thức tính chính xác giá trị quyền chọn bán kiểu Mỹ đối với cổ phiếu không trả cổ tức.

Về mặt lý thuyết, công thức Black-Scholes đúng chỉ khi lãi suất ngắn hạn, r, giữ nguyên (không đổi). Trên thực tế, công thức này thường được dùng với lãi suất r, được xác định bằng với lãi suất phi rủi ro trên một khoản đầu tư kéo dài một khoảng thời gian T.

Đặc tính của các công thức Black-Scholes

Trong phạm vi đề tài này chúng tôi không đề cập chi tiết tỉ mỉ các công thức Black-Scholes mà chỉ muốn đưa ra một số đặc tính chung bằng cách xem xét điều gì sẽ xảy ra khi một số thông số có giá trị đặc biệt.

Khi giá cổ phiếu, S, tăng tới mức rất lớn, quyền chọn mua hầu như chắc chắn được thực hiện. Lúc này nó trở nên rất giống với hợp đồng kỳ hạn với mức giá kỳ hạn là X. Từ Phương trình 3.9 chúng ta rút ra giá quyền mua là S - Xe -rT

Trên thực tế giá quyền mua được tính bằng Phương trình 11.5 bởi vì khi S tăng tới giá trị cực lớn thì cả d1 và d2 còng rÊt lín, và N(d1) và N (d2) đều gần bằng 1.

Khi giá cổ phiếu rất lớn như vậy, giá quyền chọn bán kiểu Châu ©u p, tiến dần tới 0. Kết quả này thống nhất với Phương trình 11.6 vì N(-d1) và N(-d2)

đều xấp xỉ 0.

Khi giá cổ phiếu giảm xuống giá trị rất nhỏ, cả d1 và d2 trở nên rất lớn và có giá trị âm. N(d1) và N(d2) lúc này đều gần bằng 0 và Phương trình 11.5 cho ta một mức giá gần bằng 0 đối với quyền chọn mua này. Kết quả đúng như mong đợi. Cũng như vậy, N(-d1) và N(-d2) tiến gần tới 1 cho nên giá của quyền chọn bán tính bằng Phương trình 11.6 tiến tới giá trị Xe -rT - S. Kết quả này cũng như mong đợi.

Hàm phân bổ thường tích lũy

Vấn đề duy nhất gặp phải khi áp dụng các Phương trình 11.5 và 11.6 là việc tính toán hàm phân bố thường tích luỹ, N. (Xem phụ lục ở cuối đề tài). Hàm này cũng được tính sử dụng phép xấp xỉ đa thức. Ta có thể dễ dàng tính

được kết quả bằng máy tính cầm tay thông qua các phương trình

N(x) = 1 - (a1k + a2k2 + a3k3)N’ (x) khi x0 N(x) = 1 - N(-x) khi x< 0 trong đó

k = 1/1 + x

= 0,33267

a1 = 0,4361836

a2 = -0,1201676

a3 = 0,9372980

và

Giá trị N(x) luôn chính xác tới 0,0002

VÝ dô giá cổ phiếu 6 tháng kể từ khi quyền chọn đáo hạn là 42$, giá thực hiện của quyền chọn là 40$, lãi suất phi rủi ro là 10% năm, và mức biến động 20% năm. Có nghĩa là S = 42, X = 40, r = 0,1, = 0,2, T = 0,5

và Xe - rT = 40e -0,1 x 0,5 = 38,049

nã,

Vì vậy, nếu quyền chọn là quyền chọn mua kiểu Châu Âu thì giá trị của

c = 42N(0,7693) - 38,049N(0,6278)

Nếu quyền chọn là quyền chọn bán kiểu Châu Âu thì giá trị của nó

p = 38,049N(-0,6278) - 42N(-0,7693)

Sử dụng phép xấp xỉ đa thức nằm trong phụ lục của đề tài ta có

N(0,76930 = 0,7791, N(-0,7693) = 0,2209

N(0,6278) N(-0,6278) = 0,2651

suy ra c = 4,76 p = 0,81

Giá cổ phiếu phải tăng thêm 2,76$ để người mua quyền chọn mua đạt

được điểm hoà vốn. Tương tự, giá cổ phiếu phải giảm 2,81 để người mua quyền chọn bán đạt được điểm hoà vốn.

Định giá quyền chọn chỉ số chứng khoán và quyền chọn tiền tệ

Trong phần này chúng ta xem xét một nguyên tắc đơn giản cho phép mô hình dùng để định giá quyền chọn kiểu châu ©u đối với cổ phiếu không được hưởng cổ tức có thể được mở rộng để dùng cho quyền chọn kiểu châu âu đối với cổ phiếu trả cổ tức theo tỷ lệ nhất định.

Hãy xem xét sự khác nhau giữa cổ phiếu trả cổ tức liên tục theo tỷ lệ q hàng năm và một cổ phiếu tương tự không trả cổ tức. Cổ tức làm cho giá cổ phiếu giảm đi một lượng đúng bằng mức cổ tức phải trả. Vì vậy lợi suất cổ tức liên tục theo tỷ lệ q làm cho mức tăng giá cổ phiếu thấp hơn một lượng là q. Nếu với mức lợi suất cổ tức liên tục là q thì giá cổ phiếu tăng từ S ngày hôm nay tới mức S eqT tại thời điểm T. Ngoài ra khi không có cổ tức giá cổ phiếu sẽ tăng

tõ Se-qT ngày hôm nay tới S tại thời điểm T.

Lập luận này cho thấy rằng chúng ta cùng phân bổ xác suất cho giá cổ phiếu tại thời điểm T trong mỗi trường hợp sau:

- Cổ phiếu bắt đầu tại mức giá S và trả cổ tức theo tỷ lệ q.

- Cổ phiếu bắt đầu tại mức giá Se-qT và không trả cổ tức.

Điều này dẫn tới quy tắc giản đơn của chúng ta:

Khi định giá một quyền chọn kiểu châu âu có thời hạn T đối với một cổ phiếu trả mức cổ tức q, chúng ta giảm giá cổ phiếu hiện hành từ S xuống Se-qT rồi sau đó định giá quyền chọn như trong trường hợp cổ phiếu không trả cổ tức.

Các giới hạn dưới đối với giá quyền chọn

¸p dụng quy tắc này chúng ta hãy xem xét vấn đề xác định các giới hạn giá của quyền chọn châu Âu đối với cổ phiếu trả mức cổ tức q. Thay S bằng Se- qT vào Phương trình 8., chúng ta thấy rằng giới hạn dưới đối với giá quyền chọn mua kiểu châu Âu, c, nh− sau : c > Se-qT - Xe-rT

Chúng ta cũng có thể chứng minh điều này trực tiếp khi xem xét hai danh mục đầu tư:

Danh mục đầu tư A: một quyền chọn mua châu âu cộng với một lượng tiền mặt bằng với Xe-rT

Danh mục đầu tư B: e-qT cổ phiếu với các khoản cổ tức được tái đầu tư vào cổ phiếu mới

Trong danh mục A, tiền mặt nếu được đầu tư tại mức lãi suất phi rủi ro, sẽ tăng tới X tại thời điểm T, Nếu ST > X, quyền chọn mua được thực hiện tại thời điểm T và danh mục A có giá trị ST. Nếu ST < X, quyền chọn mua hết hạn khong có giá trị và danh mục có giá trị X. Vì vậy, tại thời điểm T danh mục A có giá trị max (ST, X)

Bởi vì cổ tức được tái đầu tư nên danh mục B chỉ còn một cổ phiếu tại

thời điểm T. Vì vậy nó có giá trị ST tại thời điểm này. Tiếp theo danh mục đầu tư A luôn có giá trị bằng hoặc hơn danh mục B tại thơi điểm T. Trong trường hợp không có cơ hội chênh lệch giá, điều này luôn đúng. Vì vậy,

c + Xe-rT > Se-qT hoỈc c > Se-qT - Xe-rT

Để có được một giới hạn dưới cho một hợp đồng quyền chọn bán kiểu châu âu, ta có thể tương tư thay thế S bằng Se-qT vào phương trình 8.2 để có

p > Xe-rT - Se-qT

Kết quả này cũng có thể được chứng minh trực tiếp bằng cách xem xét

Danh mục đầu tư C: một quyền chọn bán kiểu châu âu cộng với e-qT cổ phiếu với các khoản cổ tức trên số cổ phiếu đó đang được tái đầu tư vào các cổ phiếu mới

Danh mục đầu tư D: lượng tiền mặt bằng với Xe-rT

Ngang giá put-call

Thay S bằng Se-qT vào Phương trình 8.3 ta có ngang giá put-call đối với một quyền chọn cổ phiếu trả cổ tức liên tục tại mức q:

c + Xe-rT = p + Se-qT (12.3)

Kết quả này cũng có thể được chứng minh trực tiếp qua xem xét hai danh mục đầu tư sau:

Danh mục A: một quyền chọn mua châu âu cộng với lượng tiền mặt bằng với Xe-rT

Danh mục B: một quyền chọn bán châu âu cộng e-rT cổ phiếu với các khoản cổ tức trên số cổ phiếu đó được tái đầu tư vào cổ phiếu mới.

Cả hai danh mục đều có giá trị max(ST, X) tại thời điểm T. Vì vậy chúng phải có giá trị như vậy tại thời điểm hiện tại theo kết quả ngang giá put-call tại Phương trình 12.3

Công thức định giá

Thay S bằng Se-qT vào công thức Black-Scholes. Các phương trình 11.5 và 11.6, có ta có mức giá, c, của một quyền chọn mua Châu âu và giá, p, của rmột quyền chọn bán châu âu đối với loại cổ phiếu trả mức cổ tức liên tục q như sau:

c = Se-qT N(d ) - Xe-rTN(d ) (12.4)

1 2

p = Xe-rTN(-d ) - Se-qTN(-d ) (12.5)

2 1

Vì d1 và d2 được tính như sau

và Merton là người đầu tiên tìm ra kết quả này, từ cổ tức trong định giá quyền chọn được coi như là sự giảm giá cổ phiếu vào ngày không được hưởng cổ tức phát sinh từ bất kỳ khoản cổ tức nào được công bố. Nếu mức cổ tức là xác định

nhưng không liên tục trong suốt thời hạn của quyền chọn thì vẫn áp dụng được phương trình 12.4 và 12.5 với q bằng mức cổ tức trung bình năm.

Mô hình cây nhị thức

Bây giờ chúng ta xem xét tới ảnh hưởng của mức cổ tức q dựa trên các kết quả đối với mô hình nhị thức tại phần trước.

Hãy xem xét tình huống tại hình 12.1 tại đó giá cổ phiếu bắt đầu tại mức giá S và có hai trường hợp biến động tăng tới mức Su và giảm xuống Sử dụng. Như tại chương 10, chúng ta gọi p là xác xuất của một biến động tăng giá trong thế giới không có rủi ro. Tổng thu nhập do cổ phiếu mang lại trong một thế giới không có rủi ro phải bằng mức lãi suất phi rủi ro, r. Các khoản cổ tức tạo ra một khoản thu nhập bằng q. Thu nhập dưới dạng lãi vốn phải bằng r - q. Điều này có nghĩa là p phải thoả mãn

pSu + (1 - p)Su = Se(r - q)T (12.6)

2 1

p = Xe-rT N(-d ) - Se-qT N(-d ) (12.7)

Do giá trị của chứng khoán phái sinh này tại thời điểm 0 là khoản payoff kỳ vọng trong trường hợp không có rủi ro chiết khấu tại mức lãi suất phi rủi ro:

f=e-rT[pfu+(1-p)fd] (12.8)

VÝ dô: Giả sử rằng giá cổ phiếu ban đầu là 30$ và giá cổ phiếu có thể tăng tới 35$ hoặc giảm xuống 24$ trong thời gian 6 tháng. Mức lãi suất phi rủi ro sáu tháng là 5% và cổ phiếu sẽ mang lại một khoản cổ tức là 3% trong thời gian 6 tháng. Trong trường hợp này u = 12, d = 0,8, và

e ( 0 , 05

p 

 0 , 03 ) x 0 , 5

 0 ,8

 0 , 5251

1 , 2  8

Ta hãy xem xét một quyền chọn bán cổ phiếu với giá thực hiện là 28$. Nếu giá cổ phiếu tăng thì payoff bằng 0, nếu giá cổ phiếu giảm thì payoff bằng

4. Vì vậy gía trị của quyền chọn là :

e-0,05x0,5[0,5251 x 0 + 0,4749 x 4] = 1,85

Định giá quyền chọn chỉ số cổ phiếu

Trong phần định giá hợp đồng tương lai chỉ số ở phần trước, ta đã giả

định là chỉ số có thể được coi như là một chứng khoán trả cổ tức. Trong định giá quyền chọn chỉ số, chúng ta cũng đưa ra giả định tương tự. Điều này có

nghĩa là các phương trình 12.1 và 12.2 cho ta biết giới hạn dưới của quyền chọn chỉ số kiểu châu âu; Phương trình 12.3 là kết của ngang giá put-call đối với quyền chọn chỉ số Châu ©u; và phương trình 12.4 và 12.5 có thể được dùng để

định giá quyền chọn chỉ số châu Âu. Trong tất cả các trường hợp S bằng giá trị của chỉ số, bằng mức độ biến động của chỉ số, và q bằng lợi suất trung bình năm của chỉ số trong thời gian tồn tại của quyền chọn. Việc tính toán q phải chỉ tính đến cá khoản cổ tức có ngày không hưởng cổ tức nằm trong thời gian tồn tại của quyền chọn.

Tại Mỹ, ngày không hưởng cổ tức thường vào tuần đầu tiên của tháng 2, tháng 5, tháng 8 và tháng 9. Tại bất kỳ thời điểm nào giá trị q chính xác đều phụ thuộc vào thời hạn của quyền chọn. Điều này đúng đối với ngay cả các chỉ số nước ngoài. Ví dụ, tại Nhật Bản tất cả các công ty đề dùng cùng ngày không hưởng cổ tức.

VÝ dô 35. Ta xét một quyền chọn mua Châu Âu đối với chỉ số S&P 500 còn hai tháng nữa tới thời điểm đáo hạn. Giá trị hiện thời của chỉ số là 310, giá thực hiện là 300, lãi suất phi rủi ro là 8% năm và mức biến động của chỉ số là 20% năm. Tỷ lệ cổ tức là 0,2% và 0,3% lần lượt trả vào tháng thứ nhất và tháng thứ hai. Trong trường hợp này S = 310, X = 300, r = 0,08, = 0,2, và T = 2/12. Tổng mức cổ tức được hưởng trong thời hạn quyền chọn là 0,2 + 0,3 = 0,5%.

Đây là 3% năm. Vì vậy, q = 0,03 và

N(d1) = 0,7069, N(d2) = 0,6782

vì vậy giá quyền chọn mua, c được tính theo phương trình 12.4 như sau:

c = 310 x 0,7069e-0,03x2/12 - 300 x 0,6782e-0,08x2/12 =17,28

Một hợp đồng có giá trị là 1.728$

Nếu biết được giá trị tuyệt đối của khoản cổ tức sẽ được trả cho cổ phiếu cơ sở cấu thành chỉ số (chứ không phải là mức cổ tức) thì công thức Black- Scholes cơ bản có thể được sử dụng với giá cổ phiếu ban đầu trừ đi giá trị hiện tại của các khoản cổ tức. Phương pháp này khó thực hiện đối với loại chỉ số cấu thành từ nhiều loại cổ phiếu bởi vì cần phải biết được các khoản cổ tức đối với mỗi cổ phiếu cấu thành nên chỉ số đó.