Giá Cổ Phiếu Và Quyền Chọn Trong Cây Nhị Thức Một Bước Khái Quát

Mô hình nhị thức một bước

Chúng ta hãy bắt đầu với việc xem xét một tình huống rất đơn giản: giá cổ phiếu hiện tại là 20$, và người ta biết rằng 3 tháng sau giá cổ phiếu sẽ là 22$ hoặc 18$. Chúng ta quan tâm tới việc định giá một hợp đồng quyền chọn mua kiểu Châu âu để mua cổ phiếu đó tại mức giá 21$ trong 3 tháng. Hợp đồng quyền lựa chọn này sẽ có một trong hai giá trị tại thời điểm 3 tháng tới. Nếu giá cổ phiếu là 22$ thì giá trị hợp đồng quyền chọn sẽ là 1$; nếu giá cổ phiếu là 18$ thì giá trị của quyền chọn đó sẽ bằng 0. Tình huống này được minh hoạ tại Hình 10.1.

Để định giá hợp đồng quyền chọn trong ví dụ này chỉ cần một lập luận tương đối đơn giản. Chỉ cần một giả định là không tồn tại cơ hội chênh lệch giá. Chúng ta thiết lập một danh mục đầu tư cổ phiếu và hợp đồng quyền chọn sao cho luôn chắc chắn về giá trị của danh mục tại thời điểm 3 tháng một. Lúc này chúng ta lập luận rằng bởi vì danh mục đầu tư không có rủi ro nên thu nhập từ danh mục đầu tư đó phải bằng với lãi suất phi rủi ro. Chúng ta có thể tính được chi phí thiết lập danh mục đầu tư và tiếp theo là giá hợp đồng quyền chọn. Bởi vì có hai loại chứng khoán (cổ phiếu và hợp đồng quyền chọn cổ phiếu) và chỉ có thể có hai kết quả nên luôn luôn có thể thiết lập được danh mục đầu tư phi rủi ro.

Hình 10.1 Biến động giá cổ phiếu trong ví dụ bằng số

Giá cổ phiếu = 22$ Giá quyền chọn = 1$

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 151 trang tài liệu này.

Giá cổ phiếu = 20$

Giá cổ phiếu = 18$ Giá quyền chọn = 0$

Hãy xem xét một danh mục đầu tư bao gồm một vị thế mua cổ phiếu và một vị thế bán một quyền chọn mua. Chúng ta sẽ tính giá trị của khiến cho danh mục đầu tư không còn rủi ro. Nếu giá cổ phiếu tăng từ 20$ lên 22$ thì giá trị của số cổ phiếu sẽ là 22 và giá trị của quyền chọn là 1 nên tổng giá trị danh mục đầu tư là 22 - 1. Nếu giá cổ phiếu giảm từ 20$ xuống 18$ thì giá trị

của số cổ phiếu là 18. Danh mục đầu tư được coi là không có rủi ro nếu giá trị

được chọn sao cho giá trị cuối cùng của danh mục đầu tư là bằng nhau đối với cả hai sự lựa chọn. Có nghĩa là

22- 1 = 18hay bằng 0,25 Vì vậy danh mục đầu tư không có rủi ro sẽ như sau:

Mua: 0,25 cổ phiếu Bán: 1 quyền chọn

Nếu giá cổ phiếu tăng lên 22$ thì giá trị của danh mục là 22 x 0,25 - 1 = 4,5

Nếu giá cổ phiếu giảm xuống 18$ thì giá trị của danh mục là

18 x 0,25 = 4,5

Cho dù cổ phiếu tăng hay giảm thì giá trị của danh mục đầu tư luôn là 4,5 tại thời điểm đáo hạn của quyền chọn.

Danh mục đầu tư phi rủi ro phải, trong trường hợp không có cơ hội chênh lệch giá, mang lại mức lãi suất phi rủi ro. Giả sử rằng trong trường hợp này lãi suất phi rủi ro là 12% năm. Giá danh mục đầu tư ngày hôm nay phải là giá trị hiện tại của 4,5 hoặc 4,5e -0,12 x 0,25 = 4,367

Ngày hôm nay giá cổ phiếu là 20$. Giả sử là giá quyền chọn được biểu thị bằng f thì giá trị danh mục đầu tư ngày hôm nay là

20 x 0,25 - f = 5 – f suy ra 5 - f = 4,367 và f = 0,633

Kết quả này cho biết rằng với giả định không có cơ hội chênh lệch giá, giá trị hiện tại của quyền chọn phải là 0,633. Nếu giá trị của quyền chọn lớn hơn 0,633, thì để thiết lập một danh mục ít hơn 4,367$ và mang lại mức lợi nhuận cao hơn mức lãi suất phi rủi ro. Nếu giá trị quyền chọn thấp hơn 0,633, thì bán danh mục đầu tư là cách vay tiền với mức lãi suất thấp hơn lãi suất phi rủi ro.

Khái quát hoá

Chóng ta cã thÓ khái quát hoá lập luận ở trên bằng cách xem xét một cổ phiếu có giá được biểu thị bằng S và một quyền chọn đối với cổ phiếu đó có mức giá hiện tại là f. Chúng ta giả sử rằng quyền chọn kéo dài một khoảng thời gian T và rằng trong suốt khoảng thời gian tồn tại của quyền chọn giá cổ phiếu có thể tăng từ mức giá S tới một mức mới, Su hoặc giảm từ S xuống một mức giá mới, Sd (u > 1; d < 1). Giá cổ phiếu tăng theo tỷ lệ khi mức tăng giá là u - 1; Giá cổ phiếu tăng theo tỷ lệ khi mức giảm giá là 1 - d. Nếu giá cổ phiếu tăng tới Su, chúng ta giả định rằng payoff từ hợp đồng quyền chọn là fu; nếu giá cổ phiếu giảm xuống Sd, chúng ta giả định rằng khoản payoff từ hợp đồng quyền chọn là fd; Tình huống này được minh hoạ trong Hình 10.2

Như ở phần trước, chúng ta cứ tưởng tượng là một danh mục đầu tư bao gồm một vị thế mua cổ phiếu và vị thế bán một hợp đồng quyền chọn bán. Chúng ta tính được giá trị của khiến danh mục đầu tư không còn rủi ro. Nếu giá cổ phiếu biến động theo chiều hướng tăng thì giá trị của danh mục đầu tư tại thời điểm quyền chọn đáo hạn là Su- fu

Nếu giá cổ phiếu biến động theo chiều hướng giảm thì giá trị là Sd- fd

Hai phương trình này bằng nhau khi Su- fu = Sd- fd

Hình 10.2 Giá cổ phiếu và quyền chọn trong cây nhị thức một bước khái quát

hay = fu

- fd /Su

anh m

- Sd

Trong trường hợp này d ục đầu tư không có rủi ro và phải mang lại

khoản lợi nhuận bằng mức lãi suất phi rủi ro. Phương trình 10.1 cho thấy rằng

là tỷ lệ thay đổi giá hợp đồng quyền chọn so với thay đổi giá cổ phiếu khi chúng ta xem xét biến động giữa các nút.

-rT

Nếu chúng ta biểu thị lãi suất phi rủi ro bằng r, thì giá trị hiện tại của danh mục đầu tư là [Su- fu]e

Chi phí để thiết lập danh mục là S- f

ta cã S- f = [Su- fu]e-rT thay từ công thức 10.1 vào biểu thức này ta

cã:

f = e-rT[p fu + (1 - p) fd] (10.2)

trong đó :

p = erT - d/u - d (10.3)

Phương trình 10.2 và 10.3 cho phép định giá một quyền chọn thông qua mô hình nhị thức một bước

Xét ví dụ ở trên (hình 10.1), u = 1,1, d = 0,9. r = 0,12, fu = 1, và fd = 0. từ phương trình 10.3,

p = e 0,12x0,25 - 0,9/1,1 - 0,9 = 0,6523

và từ phương trình 10.2

f = e-12x0,25[0,6523 x1 + 0,3477 x 0] = 0,633

Kết quả thu được bằng với kết quả có được trong ví dụ ở phần trên.

Định giá không có yếu tố rủi ro

Mặc dù chúng ta không cần đưa ra giả định về xác suất tăng giảm giá để có được phương trình 10.2 nhưng cũng là hiển nhiên khi giải thích biến p trong phương trình 10.2 như là xác suất tăng giá cổ phiếu. Biến số 1 - p là xác suất giảm giá, và biểu thức p fu + (1 - p) fd là khoản thanh toán từ quyền chọn đó. Với sự giải thích này của p, Phương trình 10.2 cho thấy rằng giá trị của quyền chọn ngày hôm nay là giá trị kỳ vọng tương lai được chiết khấu tại mức lãi suất phi rủi ro.

Bây giờ chúng ta xem xét thu nhập kỳ vọng từ cổ phiếu khi xác suất tăng giá được giả định là p. Giá cổ phiếu kỳ vọng tại thời điểm T, E(ST), được tính như sau : E (ST) = p Su + (1 - p) Sd

hoỈc E(ST) = pS (u - d) + Sd

thay p theo phương trình 10.3 ta có

E (ST) = SerT (10.4)

cho thấy rằng giá cổ phiếu tăng trung bình theo lãi suất phi rủi ro. Vì thế giả định là xác suất của biến động giá tăng bằng p thì cũng tương đương với giả

định là thu nhập từ cổ phiếu bằng với lãi suất phi rủi ro.

Trong một thế giới không có rủi ro thì tất cả mọi người đều không phải quan tâm tới rủi ro. Trong thế giới như vậy các nhà đầu tư không cần phải phòng ngừa rủi ro, và thu nhập kỳ vọng của tất cả các loại chứng khoán là mức lãi suất phi rủi ro. Phương trình 10.4 cho thấy chúng ta đang giả định một thế giới không có rủi ro khi chúng ta đặt biến động giá tăng là p. Phương trình 10.2 cho thấy giá trị của hợp đồng quyền chọn là payoff kỳ vọng của nó trong một thế giới không có rủi ro được chiết khấu theo mức lãi suất phi rủi ro.

Kết quả này là một ví dụ về nguyên tắc chung quan trọng trong định giá quyền chọn được biết tới như là định giá trong trường hợp phi rủi ro. Nguyên

tắc này chứng tỏ rằng chúng ta có thể hoàn toàn không bị ảnh hưởng khi giả

định rằng không có rủi ro khi định giá các quyền chọn. Các mức giá thu được không chỉ đúng trong trường hợp phi rủi ro và còn đúng trong các trường hợp khác nữa.

Để minh hoạ nguyên tắc định giá phi rủi ro, hãy xem xét lại ví dụ tại Hình 10.1. Giá cổ phiếu hiện thời là 20$ và sẽ tăng tới 22$ hoặc giảm xuống 18$ sau 3 tháng. Quyền chọn được xem xét là quyền chọn mua Châu ©u với mức giá thực hiện 21$ và đáo hạn sau 3 tháng. Lãi suất phi rủi ro là 12% năm.

Chóng ta coi p là xác suất tăng giá cổ phiếu trong trường hợp phi rủi ro. Chúng ta có thể tính p bằng phương trình 10.3. Một cách khác chúng ta có thể lập luận rằng thu nhập kỳ vọng từ cổ phiếu trong trường hợp phi rủi ro phải là mức lãi suất phi rủi ro 12%. Điều này có nghĩa là p phải thoả mãn

22p + 18 (1 - p) = 20 e 0,12x0,25

hoỈc 4p = 20e 0,12x0,25 - 18

Nghĩa là, p = 0,6523

Sau 3 tháng, quyền chọn mua có xác suất 0,6523 giá trị 1 và xác suất 0,3477 giá trị 0. Vì vậy giá trị kỳ vọng của nó là 0,6523x1 + 0,3477x0 = 0,6523

Chiết khấu theo lãi suất phi rủi ro, giá trị quyền chọn ngày hôm nay là 0,6523e-0,12x0,25 hay 0,633$ bằng với kết quả thu được ở phần trên điều đó cho thấy rằng lập luận không có chênh lệch giá và định giá phi rủi ro cho cùng một kết quả.

Mô hình nhị thức hai bước

Chúng ta có thể mở rộng phân tích ra một cây nhị thức hai bước như hình

10.3. ở đây giá cổ phiếu bắt đầu ở mức giá 20$ và cứ mỗi bước trong hai bước có thể tăng 10% hoặc giảm 10%.

Hình 10.3 Giá cổ phiếu trong cây hai bước

24,2

20 19,8

16,2

Hình 10.4 Giá cổ phiếu và giá quyền chọn trong mô hình cây hai bước. Số trên tại mỗi nút là giá cổ phiếu, còn số dưới là giá quyền chọn

3,2

0,0

2,0257

19,8

1,2823

0,0

16,2

24,2

Chúng ta giả định rằng mỗi bước là khoảng thời gian 3 tháng và lãi suất phi rủi ro là 12 % năm. Như ví dụ trước, chúng ta xem xét một quyền chọn với mức giá thực hiện là 21$.

Mục đích của việc phân tích này là nhằm tính giá quyền chọn tại nút đầu tiên của cây định giá. Ta có thể thực hiện bằng cách lặp đi lặp lại các nguyên tắc tính ở phần trước. Hình 10.4 cho thấy cũng cây định giá như Hình 10.3 nhưng tại mỗi nút thể hiện cả giá cổ phiếu và giá quyền chọn. (Giá cổ phiếu là số trên và giá quyền chọn là số dưới). Ta có thể tính được dễ dàng giá quyền chọn tại những nút cuối cùng của cây định giá. Các mức giá này chính là các khoản payoffs từ quyền chọn đó. Tại nút D giá cổ phiếu là 24,2 và giá quyền chọn là 24,2 - 21 = 3,2; tại các nút E và F quyền chọn có giá thấp hơn giá thực hiện và giá trị của nó bằng 0.

Tại nút C giá quyền chọn bằng 0 vì nút C dẫn tới cả hai nút E và F và tại cả hai nút này giá quyền chọn đều bằng 0. Chúng ta tính giá quyền chọn tại nút B bằng cách tập trung chú ý vào phần cây định giá như trong Hình 10.5.

2,0257

24,2

3,2

19,8

0,0

Hình 10.5 Đánh giá quyền chọn tại nút B

Xét ví dụ ở phần đầu (u = 1, d = 0,9, r = 0,12 và T = 0,25 vì vậy p = 0,6523) và Phương trình 10.2 cho ta giá trị quyền chọn tại nút B là

e -0,12x0,25[0,6523 x 3,2 + 0,3477 x 0] = 2,0257

Chúng ta vẫn còn phải tính giá quyền chọn tại nút đầu tiên A bằng cách tậ trung vào bước đầu tiên của cây định giá. Ta biết rằng giá trị của quyền chọn tại nút B là 2,0257 và tại nút C là 0. Do đó phương trình 10.2 cho ta giá trị tại nút A là

e -0,12x0,25[0,6523 x 2,0257 + 0,3477 x 0] = 1,2823

Giá trị của quyền chọn là 1,2823$

Lưu ý rằng ví dụ này được xây dựng sao cho u và d (mức tăng giảm) bằng nhau tại mỗi nút của cây định giá và thời gian giữa mỗi nút là bằng nhau. Kết quả là ta tính được p, xác xuất trong trường hợp không có rủi ro như tính tại phương trình 10.3 ở mỗi nút là như nhau.

Khái quát hoá

Chúng ta có thể khái quát hoá trường hợp hai bước theo thời gian bằng cách xem xét tình huống tại Hình 10.6. Giá cổ phiếu ban đầu là S. Trong mỗi bước thời gian, giá có thể tăng u lần mức giá ban đầu hoặc giảm d lần mức giá ban đầu. Ký hiệu giá trị quyềna chọn được thể hiện trên cây định giá. (Ví dụ, sau hai biến động tăng thì giá trị của quyền chọn là fuu.) Chúng ta giả định rằng lãi suất phi rủi ro là r và độ dài của mỗi bước thời gian là T năm.

áp dụng lại Phương trình 10.2 ta có



fu = e -r T[p fuu + (1 - p) fud]

Hình 10.6 Giá cổ phiếu và giá quyền chọn trong mô hình cây định giá hai bước khái quát

Su2 fud

S Sud

fud

Sd2

fđ



fd = e -r T[p fud + (1 - p) fdd] (10.6)

u d

f = e -rT[p f + (1 - p) f ] (10.7)

Thay từ Phương trình 10.5 và 10.6 vào 10.7 chúng ta có

uu ud dd

f = e -2rT[p2 f + 2p(1 - p) f + (1 - p)2 f ] (10.8)

Kết quả này nhất quán với nguyên tắc định giá phi rủi ro được đề cập ở phần trước. Các biến p2 , 2p(1 - p)2 là xác suất đạt được các nút trên, giữa, dưới cuối cùng. Giá quyền chọn bằng với payoff kỳ vọng của nó trong trường hợp phi rủi ro chiết khấu theo lãi suất phi rủi ro.

Nếu chúng ta khái quát việc sử dụng các cây nhị thức bằng cách bổ sung thêm các bước thì chúng ta thấy rằng nguyên tắc định giá phi rủi ro vẫn còn tiếp tục đúng. Giá quyền chọn luôn bằng với payoff kỳ vọng trong trường hợp phi rủi ro, chiết khấu theo lãi suất phi rủi ro.

Trên đây mới chỉ là ví dụ đơn giản nhất khi giả định thời hạn của quyền chọn bao gồm một hoặc hai bước nhị thức. Tuy nhiên trên thực tế, thời hạn của quyền chọn thường được chia thành 30 thậm chí nhiều bước hơn. Nếu có điều kiện chúng tôi xin quay trở lại bàn thêm về mô hình này.

Mô hình định giá Black-Scholes

Vào đầu thập niên 70 Fisher Black, Myron Scholes, và Robert Merton đã tạo ra một bước đột phá quan trọng trong việc định giá quyền chọn cổ phiếu. Nghiên của họ đã có ảnh hưởng to lớn tới phương pháp định giá và phòng ngừa rủi ro quyền chọn trên thị trường chứng khoán. Trong phần này chúng ta xem xét kết quả nghiên cứu của Black-Scholes và những giả định của nghiên cứu đó.

Một số giả định làm cơ sở cho mô hình định giá Black-Scholes

Các giả định do Black and Scholes đưa ra khi họ xây dựng công thức

định giá quyền chọn như sau:

1. Hành vi giá cổ phiếu phù hợp với mô hình lognormal được trình bày ở phần đầu với và không đổi.

2. Không có thuế cũng như là các chi phí giao dịch. Tất cả các loại chứng khoán hoàn toàn có thể chia được