18 Chương 1 Cơ sđ lý thuyát mụ tÊ tỏn xÔ hÔt nhõn-hÔt nhõn
trong đó HQP = QHP, HP Q = P HQ, phương trình (1.10) đưủc xem là phương trỡnh toỏn tỷ cú nghiằm
QΨ =
1
E − HQQ
HQP (P Ψ), (1.11)
+ i
Có thể bạn quan tâm!
-
Nghiên cứu hiệu ứng cầu vồng và cơ chế chuyển alpha trong tán xạ ở năng lượng thấp và trung bình - 2 -
Nghiên cứu hiệu ứng cầu vồng và cơ chế chuyển alpha trong tán xạ ở năng lượng thấp và trung bình - 3 -
Cơ Sđ Lý Thuyát Mụ Tê Tỏn Xô Hôt Nhõn-Hôt Nhõn -
Hằ Phương Trỡnh Liờn Kờnh Cho Tỏn Xô Phi Đàn Hỗi -
Cơ Sđ Lý Thuyát Mụ Tê Tỏn Xô Hôt Nhõn-Hôt Nhõn -
Chương 2 Nghiờn Cựu Hiằu Ựng Cưu Vỗng Hôt Nhõn Trong Tỏn Xô Hôt 12C−12C Và 16O−12C
Xem toàn bộ 152 trang tài liệu này.
vợi đÔi lưủng → 0 nhơm đÊm bÊo mău khụng bơng 0. Cũng tương tỹ như
vêy, nhõn vào bờn phÊi phương trỡnh (1.9) toỏn tỷ P , ta đưđc
(ET − HP P ) (P Ψ) = HP Q(QΨ). (1.12)
Thá hàm súng QΨ đ (1.11) vào biºu thực trờn, ta thu đưủc phương trỡnh Schăodinger cho hàm súng P Ψ,
"ET
− HP P
1
− HP Q E − H + i HQP
# (P Ψ) = 0. (1.13)
Đ phương trỡnh trờn, số hÔng HP P ch¿ đơn giÊn là toỏn tỷ Hamiltonian đó đưủc đành nghĩa đ (1.3) nhưng ch¿ giợi hÔn trong khụng gian cơa toỏn tỷ P ,
số hÔng tiáp theo HP Q1HQP cú nguỗn gốc tứ đúng gúp cơa cỏc kờnh
E−HQQ+i
đ vựng khụng gian toỏn tỷ Q. Phương trình (1.13) cú thº đưủc viát lÔi dượi dÔng toỏn tỷ H hiằu dửng như sau
[ET − H ] (P Ψ) = 0 (1.14)
vỵi
H = hi(xi) + Ki(Ri) + Vi
1
trong đó Vi = Vi + HP Q E − H
HQP ,
+ i
= Vi + ∆Vi(E) (1.15)
ch¿ sè i ch¿ chÔy trờn cỏc kờnh đ trong khụng gian P . Như vêy, tứ phương trỡnh Schrăodinger cho hàm súng tờng chựa tĐt cÊ cỏc kờnh đ (1.2), ta cú thº đưa vã phương trỡnh Schrăodinger cho hàm súng P Ψ ch¿ chùa các kênh xem
18
Chương 1 Cơ sđ lý thuyát mụ tÊ tỏn xÔ hÔt nhõn-hÔt nhõn
xột bơng cỏch thay toỏn tỷ Hamitoninan H vã toỏn tỷ Hamitoninan hiằu dửng H , hay thá tương tỏc Vi bơng tương tỏc hiằu dửng phực Vi. Tián hành
chiáu bờn trỏi phương trỡnh (1.14) lờn cỏc hàm súng nởi ψi∗(xi), ta cũng thu
đưủc hằ phương trỡnh liờn kờnh giợi hÔn trong khụng gian cơa toỏn tỷ P .
Eβ− Kβ− Uβ(Rβ)χβ(Rβ) = Xhψβ|(H − ET)|ψiχii (1.16a)
i
β
i
β
X
Eγ − Kγ − Uγ (Rγ ) χγ (Rγ ) = hψγ |(H − ET )|ψiχii (1.16b)
,
... i6=γ
vỵi Ei = ET− i, cỏc yáu tố ma trên tương tỏc Uβ (Rβ ) = hψβ |Vβ |ψβ i, Uγ (Rγ ) = hψγ |Vγ |ψγ i đưủc gồi là thá đướng chộo. Đ phƯn tiáp theo, ta s³ xem xột tứng trướng hủp khụng gian cơa toỏn tỷ P cư thº, trong đĩ khơng gian P giợi hÔn kờnh đàn hỗi, kờnh đàn hỗi và kờnh kớch thớch, kờnh đàn hỗi và kờnh phÊn ựng (phƯn này đưủc trỡnh bày đ phử lửc). Cũng lưu ý rơng, khụng gian cơa toỏn tỷ P luụn phÊi chựa kờnh kờnh tỏn xÔ đàn hỗi. Đõy là kờnh quan trồng, là cơ sđ đº xỏc đành cỏc kờnh khỏc.
1.2 Mău quang hồc hÔt nhõn cho tỏn xÔ đàn hỗi
X
Trong tỏn xÔ hÔt nhõn, trướng hủp đơn giÊn nhĐt là ta ch¿ xột đán quỏ trỡnh tỏn xÔ đàn hỗi (mởt kờnh). Đõy là mụ hỡnh đưủc sỷ dửng rởng rói trong phõn tớch tiát diằn tỏn xÔ. Khi đú phương trỡnh (1.6) và (1.7) đưủc viát lÔi
P Ψ = Ψβ , QΨ = Ψi, (1.17)
i6=β
và hằ phương trỡnh liờn kờnh đ (1.16) đưủc đưa vã phương trỡnh đơn kờnh
~2
β
2
Eβ − 2µ ∇
− Uβ(R)!
χβ (R) = 0, (1.18)
19
20 Chương 1 Cơ sđ lý thuyát mụ tÊ tỏn xÔ hÔt nhõn-hÔt nhõn
vỵi Eβ = ET − εβ là năng lưủng chuyºn đởng tương đối giỳa hat nhõn bưn tợi và hÔt nhõn bia. Lỳc này yáu tố ma trên tương tỏc Uβ (R) = hψβ |Vβ |ψβ i đưủc viát lÔi [42]
1
Uβ (R) = hψβ |Vβ |ψβ i + hψβ |HP Q E − H
HQP |ψβ i (1.19a)
+ i
1
P
= U0(R) + hψβ |HP Q|ΨihΨ|E − H
+ i |ΨihΨ|HQP |ψβi. (1.19b)
Thá hàm súng Ψ = i |ψiihψi| và cỏc toỏn tỷ HQP = QHP, HP Q = P HQ
vào phương trình trên ta đưđc
β
U (R) = U
(R) + X
i
β,j
1
β
i
i
i
E − HQQ+ i
hψ |H |ψ ihψ | |ψ
β
ihψ
|H |ψ i
= U0
i
β,j
0
(R) + X
β
U0i
1
!
E − HQQ + i
Uj0
j
j
j
β
, (1.20)
i β,j6=β ij
trong đú số hÔng đƯu tiờn U0 là tương tỏc giỳa hÔt nhõn bưn tợi và hÔt nhõn bia đ trÔng thỏi cơ bÊn và là số thỹc, trong khi đú số hÔng thự hai (đưủc gồi là thá phõn cỹc đởng-Dynamic Polarization Potential DPP) bao gỗm U0i, Uj0 là thá dàch chuyºn khi hÔt nhõn bưn tợi ho°c hÔt nhõn bia tứ trÔng thỏi cơ
bÊn đán trÔng thỏi kớch thớch ho°c thá dàch chuyºn đán kờnh phÊn ựng, số
hÔng này là số phực do chựa thành phƯn1
E−HQQ+i ij
, vợi lưu ý thành phƯn
thỹc cơa số hÔng thự hai bộ so vợi số hÔng U0. Do đú, đúng gúp chơ yáu cơa số hÔng thự hai là thành phƯn Êo, như vêy thá tương tỏc trong trướng hủp đơn kờnh Uβ (R) gỗm phƯn thỹc và phƯn Êo. Viằc mụ tÊ quỏ trỡnh tỏn xÔ đàn hỗi vợi thá tỏn xÔ cú dÔng phực vợi phƯn Êo đ°c trưng cho viằc hĐp thử kờnh đàn hỗi sang cỏc kờnh khụng đàn hỗi cũng tương tỹ như viằc mụ tÊ ỏnh sỏng tỏn xÔ lờn quÊ cƯu hĐp thử vợi chiát suĐt phực. Do đú, mụ hỡnh đơn kờnh này đưủc gồi là OM, thá tương tỏc đưủc gồi là OP. Thụng thướng, mụ hỡnh thá đơn giÊn nhĐt đº xỏc đành OP hÔt nhõn là sỷ dửng dÔng hiằn
20
Chương 1 Cơ sđ lý thuyát mụ tÊ tỏn xÔ hÔt nhõn-hÔt nhõn
tưủng luên WS cú dÔng như sau
Uβ (R) =
V0
1 + exp(R − RV
) /aV
W0
W
+ i1 + exp(R − R
) /aW
(1.21)
vỵi V0(W0), RV (RW ), aV (aW ) lƯn lưủt là cướng đở thá, bỏn kớnh và giỏ trà đở nhũe, cỏc tham số này đưủc thay đời đº khợp vợi số liằu tỏn xÔ đàn hỗi.
Đº xỏc đành tiát diằn tỏn xÔ đàn hỗi, ta phÊi xỏc đành hàm súng đ (1.18). Tuy nhiờn hàm súng này phử thuởc vào bián vector R trong khụng gian 3 chiãu. Trong trướng hủp thá hÔt nhõn cú dÔng đối xựng cƯu, ta cú thº đưa bài toỏn 3 chiãu vã mởt chiãu bơng phương phỏp khai triºn súng riờng phƯn theo cỏc giỏ trà mụ men gúc quÿ đÔo L. Cũng cƯn lưu ý rơng, như đó đã cêp đ trờn, cƯu vỗng hÔt nhõn ch¿ xÊy ra đối vợi nhỳng hằ tỏn xÔ hÔt nhõn bưn tợi và hÔt nhõn bia liờn kát ch°t như α, 12C, 16O, 40Ca..., đ°c điºm cơa cỏc hằ liờn kát ch°t này cú spin=0, do đú trong phƯn trỡnh bày này, ta ch¿ giợi hÔn cỏc trướng hủp hÔt nhõn bưn tợi và hÔt nhõn bia cú spin=0, khi đú biºu thực khai triºn cho hàm súng tỏn xÔ trong biºu thực (1.18) cú dÔng [41–43]
4π
χβ (R) =
kR
iLχL
X
1 X
L
(R) YLM
X
M
(Rˆ)YL∗M
(kˆ)
= (2L + 1) iLχL
kR
L
(R)PL
(cos θ) (1.22)
vỵi k là vecto số súng thọa món biºu thực k2= (2µβ/~2)Eβ, YLMlà hàm cƯu điãu hũa, θ là góc hđp bđi vecto sè sóng k và R, PLlà hàm Legendre loÔi 1. Thá phương trỡnh (1.22) vào phương trỡnh Schrăodinger (1.18), sau đó
nhân 2 vá phương trỡnh vợi hàm cƯu YL∗0M0 (Rˆ)và lĐy tớch phõn trờn toàn
miãn khụng gian Rˆ
vỵi lưu ý
ZYLM(Rˆ)YL∗0M0 (Rˆ)dΩR= δLL0δM M 0, (1.23)
21
22 Chương 1 Cơ sđ lý thuyát mụ tÊ tỏn xÔ hÔt nhõn-hÔt nhõn
ta thu đưủc phương trỡnh ựng vợi mội trướng hủp súng riờng phƯn L
"
d2 2
dR2 + k −
L(L + 1)
R2 −
2µβ
#
~2 Uβ (R)
χL(R) = 0. (1.24)
Như vêy đº xỏc đành hàm súng tỏn xÔ χβ (R), ta phÊi xỏc đành cỏc hàm súng riờng phƯn χL(R) theo phương trình (1.24). VĐn đã đ°t ra, tờng khai triºn đ phương trỡnh (1.22) là tờng vụ hÔn, ta khụng xỏc đành tĐt cÊ hàm súng riờng phƯn mà ch¿ xỏc đành đán khi nào tờng này hởi tử. Tuy nhiờn, sỹ hởi tử này phử thuởc vào thá tương tỏc vợi Uβ (R) gỗm thá hÔt nhõn và thá Coulomb. Trong đú, thá hÔt nhõn là thá tƯm ngưn hởi tử nhanh trong khi thá Coulomb là thá tƯm xa khụng hởi tử. Do đú phƯn thá Coulomb cƯn đưủc xỷ lý riờng sao cho bài toỏn tỏn xÔ đưủc xỏc đành. Trược hát, ta xột cho trướng hủp tỏn xÔ ch¿ cú thá Coulomb vợi thá tương tỏc cú dÔng
ZpZte2
Uβ (R) = VC (R) =
, (1.25)
R
#
vỵi Zp, Zt lƯn lưủt là điằn tớch cơa hÔt nhõn bưn tợi và hÔt nhõn bia, khi đú phương trỡnh tỏn xÔ (1.24) đưủc viát lÔi
"
d2 2
dR2 + k −
L(L + 1)
R2 −
2ηk R
χC (R) = 0, (1.26)
L
trong đó η là tham sè Coulomb(hay Sommerfeld)
ZpZte2µ
η = ~2k=
ZpZte2
~v , (1.27)
vỵi v là vên tốc chuyºn đởng tương đối cơa hằ khi R → ∞. Ta cú súng tỏn xÔ gỗm 2 thành phƯn, thành phƯn súng đán và thành phƯn súng tỏn xÔ [41–43]
χC (R) = χC (R) + χC
(R). (1.28)
L Lin Lscatt
Đối vợi quỏ trỡnh tỏn xÔ, vỡ detector đưủc đ°t đ xa tõm tỏn xÔ, do đú ta cƯn
22
Chương 1 Cơ sđ lý thuyát mụ tÊ tỏn xÔ hÔt nhõn-hÔt nhõn
L
tỡm dÔng tiằm cên cơa hàm súng. Ta cú dÔng tiằm cên cơa thành phƯn súng đán đưủc xỏc đành như sau [41–43]
Lin
χC (R) →
iL+1
h
e
2
−i(kr−η ln 2kr)
− (−1)
ei(kr−η ln 2kr)i
, (1.29)
L
L
và dÔng tiằm cên cơa súng tỏn xÔ tờng χC (R) [41–43].
L
χC (R) →
iL+1
h
e
2
−i(kr−η ln 2kr)
− (−1)
e2iσL e
i(kr−η ln 2kr)i
, (1.30)
vỵi σL là đở lằch pha cơa súng riờng phƯn L, đở lằch pha này đ°c trưng cho sỹ thay đời cơa súng đán gõy ra bđi thá Coulomb và đưủc xỏc đành
σL = arg Γ(L + 1 + iη). (1.31)
Kát hủp cỏc phương trỡnh (1.28),(1.29),(1.30), ta thu đưủc dÔng tiằm cên cơa thành phƯn súng tỏn xÔ
χ (R) →
C
Lscatt
iL+1
2
ei(kr−η ln 2kr)
1 − e
2iσL
, (1.32)
thá thành phƯn súng tỏn xÔ (1.32) vào (1.22) và ta thu đưđc
χ
C
scatt
1i(kr−η ln 2kr)
(R)→ e
r
1 (2L + 1) e2iσL 1 P
X−
2ik L
L
(cos θ)
→ e f
1i(kr−η ln 2kr)
rC
(θ) (1.33)
vỵi fC (θ) đưủc gồi là biờn đở tỏn xÔ Coulomb. Tiát diằn tỏn xÔ vi phõn theo gúc đưủc xỏc đành thụng qua biờn đở này
dσR dΩ
= |fC
(θ) = 1 (2L + 1) e2iσL 1 P
2
|X−
2ik L
L
(cos θ) 2. (1.34)
Như đó đã cêp đ trờn, do thá Coulomb là thá tƯm xa, biờn đở tỏn xÔ
23
24 Chương 1 Cơ sđ lý thuyát mụ tÊ tỏn xÔ hÔt nhõn-hÔt nhõn
đưủc xỏc đành theo phương phỏp súng riờng phƯn khụng hởi tử. Điºm thuên lủi là hàm súng tỏn xÔ Coulomb cú thº giÊi bơng phương phỏp giÊi tớch mà khụng cƯn thụng qua phương phỏp khai triºn súng riờng phƯn (theo cỏc giỏ trà L) như biºu thùc (1.22). Ta cú phương trỡnh tỏn xÔ ựng vợi lỹc Coulomb đ phương trỡnh (1.18) đưủc viát lÔi
R
C
∇2 + k2 − 2ηkχ
(R) = 0. (1.35)
Đõy là phương trỡnh vi phõn Laplace. Phương trỡnh này cú nghiằm giÊi tớch vợi biờn đở tỏn xÔ đưủc xỏc đành chớnh xỏc như sau [41–43]
η
fC (θ) = 2k sin2(θ/2) exp −iη ln sin(θ/2) + 2iσ0
. (1.36)
Do đú ta khụng cƯn dựng biờn đở tỏn xÔ theo súng riờng phƯn đ (1.33). M°c dự vêy, viằc xỏc đành theo phương phỏp súng riờng phƯn đ trờn là cƯn thiát, làm tiãn đã cho trướng hủp thá tương tỏc gỗm cÊ thá hÔt nhõn.
Khi cú thờm thá hÔt nhõn U (R), lỳc này phương trỡnh tỏn xÔ cho súng riờng phƯn cú dÔng
"
d2 2
dR2 + k −
L(L + 1)
R2 −
2ηk
R −
2µβ
#
~2 U (R)
χL(R) = 0, (1.37)
L
đõy là phương trỡnh vi phõn bêc hai, phương trỡnh này cú thº giÊi bơng phương phỏp số Numerov [44]. Tứ đú, ta cú thº xỏc đành đưủc hàm súng χL(R) vợi dÔng tiằm cên như sau
χL(R) →
iL+1
h
e
2
−i(kR−η ln 2kR)
− (−1)
e2iσL e
2iδL e
i(kR−η ln 2kR)i
. (1.38)
Trong đó, δL là đở lằch pha đ°c trưng bđi cho sỹ thay đời cơa súng tợi gõy ra bđi thá hat nhõn. Đở lằnh pha này cú dÔng phực do thá hÔt nhõn cũng phực, đÔi lưủng e2iδL = SL đưủc gồi là yáu tố ma trên tỏn xÔ. Cũng tương tỹ như đ tỏn xÔ Coulomb, hàm súng χL(R) bao gỗm súng tợi và súng tỏn xÔ
24
Chương 1 Cơ sđ lý thuyát mụ tÊ tỏn xÔ hÔt nhõn-hÔt nhõn
Lin
χL(R) = χC
(R) + χLscatt(R), vợi súng tợi đỳng bơng súng tợi Coulomb như
biºu thùc (1.29). Kát hủp phương trỡnh (1.38), (1.29), (1.28), ta thu đưủc dÔng tiằm cên cơa thành phƯn tỏn xÔ cơa χL(R)
χLscatt(R) →
iL+1
2
ei(kR−η ln 2kR)
1 − e
2iσL SL
iL+1
=
2
ei(kR−η ln 2kR)
1 − e
2iσL
+ e2iσL (1 − SL)
, (1.39)
trong đú số hÔng thự nhĐt đ trong ngo°c vuụng cơa biºu thực (1.39) đúng gúp vào biờn đở tỏn xÔ Coulomb, số hÔng thự 2 đúng gúp vào biờn đở hÔt nhõn. Thá phương trỡnh (1.39) vào phương trình (1.22) ta thu đưđc
χscatt(R) →
ei(kR−η ln 2kR)
R fC(θ) + f 0(θ) ≡
ei(kR−η ln 2kR)
f (θ), (1.40)
R
vợi biờn đở Coulomb fC (θ) đưđc xác đành như đ phương trình (1.33). Tuy nhiờn như đó đã cêp đ trờn, ta khụng dựng biờn đở Coulomb dượi dÔng khai triºn súng riờng phƯn vỡ tờng này khụng hởi tử, mà thay thá fC (θ) bơng biºu
thực giÊi tớch chớnh xỏc (1.36). Thành phƯn f 0(θ) là biờn đở tỏn xÔ hÔt nhõn
đưđc xác đành
X
f 0(θ) = 1 (2L + 1)e2iσL(S
2ik L
L
− 1) PL
(cos θ), (1.41)
như vêy tiát diờn tỏn xÔ vi phõn theo gúc đưủc xỏc đành theo biờn đở tờng gỗm biờn đở tỏn xÔ Coulomb và biờn đở tỏn xÔ hÔt nhõn
dσ
dΩ = |fC
(θ) + f 0(θ)|2= |f (θ)|2. (1.42)
Tứ biºu thực trờn, ta thĐy mối liờn hằ giỳa tiát diằn tỏn xÔ vợi thá hÔt nhõn thụng qua yáu ma trên tỏn xÔ SL (hay đở lằch pha δL) đ (1.41).
25