Mệnh Đề. Giả Sử M Là Một Miền Hyperbolic Trong Không Gian Phức X.

(z) (

)(z) neˆ u z M U ,

(z) sup((

)(z),

(c1

2

c2 )) neˆ u z M (V U ),

(z)

(c1

Có thể bạn quan tâm!

• MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC - 1
• MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC - 2
• Định Lý (Noguchi [9]). Giả Sử A Là Divisor Có Giao Chuẩn Tắc Trong Đa Tạp Phức M Chiều M. X Là Không Gian Con Compact Tương Đối, Nhúng Hyperbolic Trong Không Gian
• Nhận Xét. Theo Hệ Quả 3 Và Hệ Quả 7 ([4]) Khẳng Định Rằng: Nếu X Là Không Gian Con Phức, Nhúng Hyperbolic Trong Không Gian Phức Y Và A Là
• MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC - 6
• MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC - 7

Xem toàn bộ 58 trang tài liệu này.

2

c2 ) neˆ u z M V .

1(

) p.

là một hàm đa điều hòa dưới liên tục, âm trên M và thỏa mãn

1/ 2

Dùng tích phân Poisson, với bất kỳ điểm trên

f )( )

1

2

2

ei

i

0

Re(

ei

)( f )(e )d .

(

Theo nguyên lý cực đại, ta có

ta có

min Re(

1/ 2

ei

ei

)

min Re(

ei

1

e

i

)

1 2 min Re(

1

e

i

)

2 2

2

1 2 min Re( ) 1 2 min Re( 1 )

1ei2

14 ei1

1 2 min Re(

z 2

1

z 1

) 1 2 min Re(

z 2

z 2

z 1 )

1 2 Re z

2 2

1 2 min ( Re z

z 2

5 2 Re z

1 )

1 2( )

3

1

1.

3

Từ đó, ta nhận được

f )( )

1

6

2

0

( f )(ei )d

(

với mọi

1/2

. (2)

( p)

Vì  là hàm peak tại p và q thỏa mãn

nên với mỗi

n tồn tại

1

n

một hằng số âm sao cho với bất kỳ điểm z trong M bất đẳng thức

(z) 2

n

kéo theo (z) n . Từ 1( ) {p}, ta có họ

U

n

{z

M : (z) 1 n} 6

n 1

là một cơ sở lân cận của p trong M . Gọi Un

nghĩa bởi

là lân cận của p trong M định

Un {z M : (z)

n}.

M

Gọi f :

là một đĩa giải tích trong M sao cho

f (0)

Un . Khi đó

( f (0))

n

và do vậy, theo (1), ta có mes(E )

nên với mỗi 1/2 , ta có

f )( ) 1

6

E n

( f )(ei )d

[0,2 ]E n

( f )(ei )d

(

. Từ (2) và là hàm âm

1

6

E n

( n)d

6

1 n. mes(E ) 1 n.

n

6

Vì vậy f (

1/ 2 )

Un . Bổ đề được chứng minh. ,

2.2.5. Mệnh đề. Giả sử M là một miền hyperbolic trong không gian phức X.

M

Giả sử với mỗi p , có các hàm peak địa phương và antipeak đa điều hòa

M

dưới tại p, cả hai cùng định nghĩa trên một lân cận của p trong X. Khi đó M là nhúng hyperbolic trong X.

Chứng minh. Lấy cả hai điểm

p, q

sao cho p q . Gọi H là hàm độ dài

0

U

U

trên X. Theo định lý 1.1.4, tồn tại một lân cận U của p trong X và một hằng số

dương

C sao cho q

và FU (z, )

C.H (z, ) . Với mỗi z và

Tz M . Theo bổ đề 2.2.4, có một lân cận của p trong X thỏa mãn:

U Ð U ,

Với mỗi đĩa giải tích f trong M

U

f (

1/ 2 )

U.

f (0)

Đặc biệt, với mỗi z

và

U M

TzM

) 1 F (z, ).

F (z,

ta có

Do đó

M 2U

) C H (z, )

,W

FM (z,2

với mỗi z

và Tz M .

U M

Lấy các lân cận U

U= .

U

M

W M

(t)

W

của p,q trong X, tương ứng, sao cho U Ð U và

Lấy

và là các điểm tùy ý. Gọi

là đường

(0)

(r) U

cong liên tục, giải tích thực từng khúc bất kỳ trên M thỏa mãn và

(1)

r s 1

. Khi đó tồn tại các số cực tiểu 0

(s) U

1

0

KM ( (t), j1 (t))dt

1

s

r

KM ( (t), j1 (t))dt

1

s

r

FM ( (t), (t))dt

. Ta có

sao cho và

C

2

r

s C

H ( (t))dt dist( U , U )

2

C

1

0.

Do đó

0

1

K k ( (t), j (t))dt

M

k

C .

1

sup

k

Theo 1.1.5, ta nhận được

dM ( , ) inf sup

k 1

K k ( (t), j

M k

1

0

(t))dt :

, C1 .

Điều này kéo theo

dM (U

và vì vậy M là nhúng

M ,W M )

C1

0

hyperbolic trong X. Mệnh đề được chứng minh. ,

2.2.6. Định lý. Giả sử M là một miền hyperbolic trong không gian phức X

M

thỏa mãn với mỗi điểm p , có các hàm peak địa phương và antipeak đa

điều hòa dưới tại p, cả hai cùng xác định trên một lân cận của p trong X. Giả

M

sử Z là một đa tạp phức và H là một siêu mặt phức của Z và f : Z H

H

là một ánh xạ chỉnh hình. Giả sử rằng với mỗi z tồn tại một dãy

Z H

X

{zn} hội tụ đến z sao cho dãy { f (zn )} hội tụ đến xz .

M.

Khi đó f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình f : Z

Chứng minh.

{0}.

(i) Trước hết ta xét trường hợp Z và H

X ,

Theo mệnh đề 2.2.5, M là nhúng hyperbolic trong X. Theo nhận xét 2.1.7,

ta có f thác triển được thành ánh xạ liên tục f : trong đó

X { }

*

x0 X .

X là compact hóa một điểm của X. Mặt khác, theo giả thiết, có dãy {zn}

n

với lim z

n

0 sao cho

n

lim f (z )

M

n

Từ đó f ánh xạ vào trong X và do đó f là chỉnh hình.

Giả sử rằng

f (0)

. Gọi U là một lân cận của

f (0)

trong X và là một

M

M

hàm đa điều hòa dưới peak địa phương tại f (0) , tức là, là đa điều hòa dưới

( f (0)) 0

(x) 0 x (U M ) { f

trên U

, liên tục trên U

và thỏa mãn

Vì f liên tục, ta có thể tìm được

(0)}.

đủ nhỏ sao cho f (

Đặt

0

) U.

f

*

h trên . Khi đó h là hàm điều hòa dưới trên và liên tục trên .

0

*

Theo định lý khử kỳ dị của các hàm điều hòa dưới, h là điều hòa dưới trên

. Ta có

h(z)

nếu

z và

h(0) 0 , do đó h đạt cực đại tại gốc. Điều

này là vô lý.

(ii) Giả sử H không chứa điểm kỳ dị. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

m

m 1

Z và H m 1 {0}.

Với mỗi

m 1 , xét ánh xạ chỉnh hình f

cho bởi f

: * M

( ) f ( , )

( ,0) H

với mỗi * . Vì z

, tồn tại

{( n ,

n )}

m 1 *,

n, n)} ( ,0)

n , n )}

xz

X

{( sao cho { f ( . Theo nguyên lý giảm

m 1

* M

khoảng cách đối với ánh xạ chỉnh hình f : của giả khoảng cách

Kobayashi, ta có

, n ), f ( n , n ))

d m 1

(( , ),( , ))

* n n n

dM ( f (

m 1 (

, n )

0 khi n

.

=d

Vì M là nhúng hyperbolic trong X, ta nhận được

, n )}

xz

X

:

M.

{ f ( .

m 1

M

, )

m 1

.

Theo (i), f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình f Định nghĩa

ánh xạ f :

bởi f (

với mỗi ( Ta

, ) f ( )

n , n )}

m 1

chỉ cần chứng tỏ f là liên tục.

,0) H

n}

*

Lấy (

và {(

sao cho

{( n , n )} ( ,0) .

n , n ), f ( ,0))

Chọn {

dM ( f (

sao cho { n} 0. Ta có

dM ( f ( n , n ), f ( n , n )) dM ( f ( n , n ), f ( , n )) dM ( f ( , n ), f ( ,0))

dM ( f ( n ), f ( n ))

n

n

dM ( f ( n , n ), f ( , n )) dM (f (n ),f (0)

d ( n , n )

d m 1 ( n , ) d ( n , 0)

0 khi n

Do đó f là thác triển chỉnh hình của f.

(iii) Giả sử H là siêu mặt phức bất kỳ của Z.

Theo (ii) f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình

M.

f1 : Z S(H )

Dễ dàng thấy rằng với mỗi z0

S(H ) , tồn tại {zn}

Z S(H )

hội tụ đến z0

X

z

0

sao cho { f1(zn )} hội tụ đến x

. Từ đó, theo (ii), f thác triển được thành

ánh xạ chỉnh hình

f2: Z S(S(H ))

M.

M

Lặp lại quá trình này ta nhận được f thác triển được thành ánh xạ chỉnh

hình

f : Z

. Định lý được chứng minh. ,

, X )

*

} Hol( *, X )

2.2.7. Định nghĩa. Một không gian phức X được gọi là lồi đĩa yếu nếu mỗi dãy

Hol( , X )

{fn}

hội tụ trong Hol(

chỉ khi dãy { fn

hội tụ trong Hol( *, X ) .

Các định lý của Montel và Kiernan (xem [12]) khẳng định rằng Hyperbolic đầy taut lồi đĩa yếu.

Các khẳng định ngược lại nói chung không đúng (xem [12]).

2.2.8. Định nghĩa. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y

* EP

và * {0} . Khi đó X có tính chất đối với Y nếu mỗi ánh xạ

* X

chỉnh hình f :

hình của f.

đều có ánh xạ chỉnh hình f :

Y là thác triển chỉnh

X }j 1

2.2.9. Định lý. Cho X là không gian phức giả lồi có tính chất * EP . Giả sử A là siêu mặt giải tích tùy ý của một đa tạp phức M. Cho

X

{ f j : M A

là dãy các ánh xạ chỉnh hình hội tụ đều trên các tập con

X

X

compact của

M A tới ánh xạ chỉnh hình

f : M A

. Khi đó có duy nhất

các thác triển chỉnh hình

f j : M

và f : M

của

f j và f trên M ,

và { f j }j 1

hội tụ đều trên các tập con compact của M tới f .

Chứng minh.

*}

i) Trước hết ta chứng minh X là lồi đĩa yếu.

Hol( , X )

Thật vậy, giả sử { fk }

tập con compact tới ánh xạ f

là dãy sao cho { fk

Hol( *, X ) .

hội tụ đều trên

j

Giả sử { fk } là dãy con tùy ý của dãy { fk } . Đặt



K fk j (

j 1

s ) , trong đó 0

s 1.

Theo giả thiết và theo nguyên lý mô đun cực đại, suy ra (K )PSH X

là compact



và fk j (

j 1

s ) (K)PSH X

. Vì X có tính chất * EP , nên X không chứa

đường thẳng phức (xem [13]). Do đó, theo định lý Brody [3], Urata [15], và

Zaidenberg [17], tồn tại lân cận hyperbolic W của (K )PSH X

trong X.

k

Điều này kéo theo họ { f

j

)}

k

Mặt khác, do { f (

j

đồng liên tục.

*}

là compact tương đối với mỗi s , theo định lý

1}

k

Ascoli họ { f : j là compact tương đối trong Hol(

j

s , X ) . Do đó tồn tại

k k

một dãy con { f } của { f }

jl j

F trong Hol( , X ) .

*

f

Theo đẳng thức F

hội tụ đều trên các tập con compact đến ánh xạ

thì hạn chế F là duy nhất, do đó không phụ

k

thuộc vào cách chọn các dãy con { f }

j

của dãy { fk } . Suy ra dãy { fk }

hội tụ

đều trên các tập compact đến ánh xạ F trong Hol( , X ) .

X

ii) Ta phải chứng minh mỗi ánh xạ chỉnh hình triển chỉnh hình được trên M.

f : M A

đều thác

Đầu tiên ta có thể giả sử rằng A không có kỳ dị, tức là, ta thác triển f lên

M S ( A)

sau đó lên

M S (S ( A))

và cứ tiếp tục như vậy, trong đó

S (Z ) là

tập các kỳ dị của Z.

Bằng cách địa phương hóa ánh xạ f , ta có thể giả sử rằng

Với mỗi z

M và A

m

m 1

m 1 , xét ánh xạ chỉnh hình

: * X

(z) f (z , z)

fz

m 1 {0}.

xác định bởi fz

với mỗi z *.

:

X

Theo giả thiết trên, tồn tại thác triển chỉnh hình

fz của

fz với mỗi z

m 1 .

Định nghĩa ánh xạ

xác định bởi

f (z

f :

m 1

X

, z) fz (z)

, z)

m 1

với mọi (z .

Ta chỉ cần chứng minh f là liên tục tại

m 1

Thật vậy, giả sử {(zk , zk )}

(z .

,0)

m 1

sao cho {(zk , zk )} (z0 ,0) .

k

fz

k

1

và

0 z

f .

0

Đặt với mỗi k

0

Khi đó dãy { k

*} hội tụ đều tới ánh xạ {

0 *} trong Hol( *, X ) . Do X là

lồi đĩa yếu, nên dãy {

Bởi vậy,

k } hội tụ đều đến ánh xạ

trong Hol( , X ) .

{ k (zk ) f (zk , zk )}

0 (0) f (z0 ,0) ,

và do đó f liên tục tại

Hol(M

iii) Giả sử { fk }

(z0 ,0) .

A, X )

sao cho fk

f0

trong Hol(M

A, X ) .

Ta sẽ chứng minh { fk }

trong Hol(M , X ) .

f0

Như trên, ta có thể giả sử rằng A không có kỳ dị và bằng cách địa phương hóa các ánh xạ, ta có thể giả sử rằng

m

m 1

m 1

m 1

M và A m 1 {0}.

Giả sử

{(zk , zk )}

là dãy tùy ý hội tụ tới

(z0 , z0 )

. Ta phải

chứng minh dãy

fk (zk , zk )

hội tụ tới

f0 (z0 , z0 ) .

Thật vậy, với mỗi

k xét ánh xạ chỉnh hình

0

k :

X

k (z) fk (zk , z)

với mọi z .

xác định bởi

Khi đó { k *} 0 * trong Hol( *, X ) . Do X là lồi đĩa yếu, ta có

{ k } 0 trong Hol( , X ) .