Định Lý (Noguchi [9]). Giả Sử A Là Divisor Có Giao Chuẩn Tắc Trong Đa Tạp Phức M

(ii) fk (0)

khi k .

* X

Chứng minh. Theo tính chất của giả khoảng cách Kobayashi, ta có mỗi ánh xạ

chỉnh hình

fk :

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 58 trang tài liệu này.

đều có thác triển chỉnh hình qua điểm 0. Do đó

fk (0)

cũng xác định.

Như vậy ta suy ra điều phải chứng minh. ,

1.3.4. Định nghĩa. Giả sử M là một đa tạp phức và A là một divisor. Ta nói A

có giao chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức

M sao cho về địa phương

z1,..., zm

trong

M A với r s m .

Từ đó, về địa phương A được xác định bởi phương trình

z1...zr 0 .

Ta nói rằng A có giao chuẩn tắc đơn nếu sau khi biểu diễn A như

là tổng các thành phần bất khả quy, tất cả các chuẩn tắc.

Aj không có kỳ dị và A có giao

1.3.5. Định lý ( K 3 -định lý). Giả sử A là divisor có giao chuẩn tắc trong đa tạp phức M. Giả sử X là không gian con phức compact tương đối, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y. Khi đó mỗi ánh xạ chỉnh hình

f : M A

thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình

f : M .

Chứng minh. Theo giả thiết ta có thể giả sử

M và M

dim M

Ta chứng minh quy nạp theo m

A với r s m .

. Ta chia thành 3 bước

1. Nếu M A thì kết quả là định lý 1.3.2.

2. Giả sử ta có thể thác triển f với M A với n nào đó. Ta sẽ chứng

minh f có thác triển với M A với mọi s.

Ta viết

,t) ( 1,..., n ,t1,...,ts )

(

là các biến trong n s . Giả sử

f :

là ánh xạ chỉnh hình.

Với mỗi t ta đặt

ft ( )

f ( ,t) . Theo giả thiết quy nạp, ta có thể thác triển

ft thành ánh xạ chỉnh hình trên

với mỗi t. Theo hệ quả của định lý thác

triển Riemann, ta chỉ cần chứng minh ánh xạ

,t) f ( ,t)

(

là liên tục.

Giả sử ngược lại, f không liên tục tại một điểm nào đó, giả sử là ( , 0) .

Khi đó, tồn tại dãy các điểm

k ,tk)}

{(

, 0)

hội tụ về ( mà

f ( k ,tk )

y f ( ,0) .

Ta chỉ cần chỉ ra mâu thuẫn trong trường hợp s 1. Định nghĩa ánh xạ

fk : * X ; fk (z) f ( k , z) .

Vì tk

và fk (tk )

f ( k ,tk )

y , theo bổ đề 1.3.3, ta có

fk (0) f ( k ,0) y .

Nhưng

ft liên tục với mỗi t, nên

fk (0)

f ( k ,0)

f ( ,0)

y . Điều này

là vô lý. Vậy f liên tục.

3. Giả sử f có thác triển nếu

M A với mọi s. Ta chứng minh f

thác triển được nếu

M A

*n 1 .

Theo giả thiết quy nạp, f thác triển được trên n 1 {(0,...,0)}. Do đó ánh

* X

xạ g : , xác định bởi

g(z) f (z,..., z)

thác triển được lên toàn bộ . Ta định nghĩa

f (0,...,0) g(0) .

k k

,t )

( 1 ,..., n ,t )

*n 1

k k

Theo định lý thác triển Riemann ta chỉ cần chứng minh f liên tục trên Giả sử f không liên tục. Khi đó tồn tại dãy

(

n 1 .

thỏa mãn

k ,tk ) (0,0)

(

và f (

k ,tk )

y f (0,...,0) .

Áp dụng bổ đề 1.3.3 cho dãy hàm số

f ( z k ,t )

fk (z)

và dãy điểm

zk k

ta có

Do đó

fk (zk )

fk (0)

f ( k ,tk )

y khi k .

f (0,tk )

khi k . (*)

Mặt khác, lại áp dụng bổ đề 1.3.3 cho dãy

ta có

fk (z)

f ( ztk ,..., ztk ,t )

và dãy điểm z

Do đó

fk (zk )

f (0,tk )

f (0,...,0) y

fk (0)

f (tk ,...,tk )

f (0,...,0)

khi k .

Điều này mâu thuẫn với (*). Vậy f liên tục. ,

Chú ý. Định lý được chứng minh đầu tiên bởi Kwack khi X là

compact và A là tùy ý (không có điều kiện gì về kỳ dị). Sau khi đưa ra khái niệm nhúng hyperbolic, Kobayashi đã chứng minh trong trường hợp X là

nhúng hyperbolic trong Y và A không có kỳ dị. Kết quả trên của Kiernan chứng minh trong trường hợp A có giao chuẩn tắc. Ví dụ sau là của Kiernan chứng tỏ rằng nếu X không là compact thì các điều kiện về kỳ dị là cần thiết.

1.3.6. Ví dụ

Xét

( {1, 1}) P1( ) P1( ) .

Vì và 

{1,

đều là nhúng hyperbolic trong

P1( ) , nên X là nhúng

hyperbolic trong

P1( ) P1( ) . Đặt

{(z, ) z 0

M và A hoặc z } .

Ta có A không phải là có giao chuẩn tắc. Xét ánh xạ

f : M A

bởi

f (z, ) (z, / z) .

Khi đó f không thác triển được lên toàn bộ M vì

f (0,0)

không xác định.

Chương 2

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ

Trong chương này trước tiên chúng tôi trình bày chứng minh định lý thác triển hội tụ của Noguchi bằng ngôn ngữ họ chuẩn tắc đều. Tiếp theo là một số kết quả gần đây của Đỗ Đức Thái về việc chứng minh định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với các siêu mặt không nhất thiết có giao chuẩn tắc.

2.1. Định lý thác triển hội tụ Noguchi

2.1.1. Định lý (Noguchi [9]). Giả sử A là divisor có giao chuẩn tắc trong đa tạp phức m chiều M. X là không gian con compact tương đối, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y. Giả sử

fn : M A

là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hội tụ đều trên các tập con compact của tới ánh xạ chỉnh hình

M A

f : M A .

Giả sử Khi đó

fn , flà các thác triển chỉnh hình của

fn , f tương ứng, từ M vào Y.

fn

fHol(M ,Y )

trong

Hol(M ,Y ) .

Để chứng minh trước hết ta cần một số khái niệm và kết quả sau

2.1.2. Định nghĩa. Giả sử X, Y là các không gian phức. Họ F Hol( X ,Y )

được gọi là họ chuẩn tắc đều nếu F

 Hol(M , X )

là compact tương đối trong

C(M ,Y

) với mỗi đa tạp phức M, trong đó Y

là compact hóa một

Y { }

điểm của Y.

Nếu

X 0 , Y0

là các không gian con của các không gian tô pô X, Y tương ứng

và F

C( X0 ,Y0 ) . Ta ký hiệu

C[ X ,Y , F ]

là tập các ánh xạ g mà

C( X ,Y )

là thác triển của các phần tử của F .

, X )

2.1.3. Định lý. Nếu X, Y là các không gian phức thì họ F Hol( X ,Y ) là

chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu

F Hol(

là compact tương đối trong

C( ,Y ) .

Chứng minh.

)

( Hiển nhiên, do là đa tạp phức.

)

( Nếu F không là chuẩn tắc đều thì có đa tạp phức M sao cho

F  Hol(M , X )

không là compact tương đối trong

C(M ,Y

) . Theo định lý

Ascoli, do Y là không gian compact nên F

 Hol(M , X )

không là liên tục

đồng đều. Vì tính liên tục đồng đều là tính chất địa phương, ta có thể giả thiết

{ p m ; p 1}

M với m nào đó,

và F

 Hol(M , X )

không liên tục đồng đều từ 0

tới q .

Chọn các dãy { fn}

và {

n} Hol(M , X )

sao cho

F ;{pn} M {0}

0; fn n (0) q

Ta định nghĩa hàm n Hol( , X ) ,

và fn q .

n( pn) ½

(z)

zpn

Khi đó

n (0)

fn n (0)

fn 

, X )

và fn n (

pn )

fn 

n ( pn ) ½ q .

Suy ra F

 Hol(

không liên tục đồng đều, do đó không là compact tương

đối trong

C( ,Y

) . Điều này trái giả thiết. ,

2.1.4. Định lý ([5]). Giả sử X là không gian con phức compact tương đối trong không gian phức Y. Khi đó các điều kiện sau là tương đương

i) X là nhúng hyperbolic trong Y;

, X )

ii) Hol( là compact tương đối trong C( ,Y ) ;

, X )

Hol( *m ,Y )

iii) Hol(

là họ con chuẩn tắc đều của

Hol( ,Y ) .

2.1.5. Bổ đề. Giả sử

F là họ chuẩn tắc đều. Nếu {

n} * ,

{ fn}

sao cho

và fn (

thì với mỗi lân cận U

n )

p Y

của p, tồn tại lân cận W của

trong

*m ) U

fn (W

sao cho

Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo m.

+ m chính là định lý 2.1. [5].

+ Ta giả sử khẳng định trên đúng với k nhưng không đúng với k

Hol( *k 1,Y )

là họ chuẩn tắc đều. Chọn các dãy

n},{ n}

* ;

k+1

k 1

;{ fn} F

{

1 . Lấy

sao cho

n )

fn (

và fn (

n ) ½ p .

Giả sử U, V là các lân cận compact tương đối của p sao cho V U và giả sử rằng

Đặt

fn (

n ) V

(sn,tn),

(sn ,tn )

và

, fn (

n ) Y U

(s ,t

) *k

. (*)

Δ*. Gọi

0 0 0

F1 {

Hol( * , * );t

k k 1

*, t (s) (s,t)} ,

{

k 1

Hol( *, * );s

* , s (t)

(s,t)} .

Khi đó

F  F1

Hol( *k ,Y )

và F

 F2

Hol( *,Y )

đều là các họ chuẩn tắc đều.

Khi đó ta có:

tn } F  F1, sn

{fn 

và fn 

tn (sn )

fn (sn ,tn )

fn ( n ) p .

Theo giả thiết quy nạp, tồn tại lân cận

N1 của s0

sao cho

tn1

*k ) V

t (sn ) V

fn  và fn  .

tn (sn )}

Từ đó, tồn tại dãy con của {fn  mà cũng ký hiệu là {fn 

tn (sn ) q V

sao cho

Ta có

fn .

fn 

tn (sn )

fn (sn ,tn )

fn 

sn (tn ) 1, với tn

t0 .

Do đó, tồn tại lân cận

N2 của t0

trong sao cho

Vậy với n đủ lớn, tn

Tức là

fn  .

sn (N2

*) U

N2 *, ta có

sn (tn ) U

fn  .

fn (sn ,tn ) fn ( n ) U .

Điều này mâu thuẫn với (*). Vậy định lý được chứng minh. ,

Sử dụng các kết quả trên ta có thể mở rộng triển hội tụ Noguchi như sau

K 3 -định lý và định lý thác

2.1.6. Định lý. Giả sử M là đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn tắc

Hol(M

trong M. Giả sử F

A,Y )

là họ chuẩn tắc đều và F là bao đóng

của F trong C(M A,Y ) . Khi đó

i) Mỗi f

đều thác triển được thành f

C(M ,Y ) .

f

ii) C[M ,Y , F ] là compact trong C(M ,Y ) .

iii) Nếu { fn}

và fn

thì

fn .