MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC - 6

Hơn nữa,

{ k (zk ) fk (zk , zk )}

0 (z0 ) f0 (z0 , z0 ) .

Định lý được chứng minh. ,

2.2.10. Định lý. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức

* EP

X }j 1

Có thể bạn quan tâm!

• MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC - 1
• MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC - 2
• Định Lý (Noguchi [9]). Giả Sử A Là Divisor Có Giao Chuẩn Tắc Trong Đa Tạp Phức M Chiều M. X Là Không Gian Con Compact Tương Đối, Nhúng Hyperbolic Trong Không Gian
• Nhận Xét. Theo Hệ Quả 3 Và Hệ Quả 7 ([4]) Khẳng Định Rằng: Nếu X Là Không Gian Con Phức, Nhúng Hyperbolic Trong Không Gian Phức Y Và A Là
• Mệnh Đề. Giả Sử M Là Một Miền Hyperbolic Trong Không Gian Phức X.
• MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC - 7

Xem toàn bộ 58 trang tài liệu này.

hyperbolic Y sao cho X có tính chất đối với Y. Cho A là siêu mặt giải

tích tùy ý của đa tạp phức M. Giả sử

{ f j : M A

là dãy các ánh xạ

X

chỉnh hình hội tụ đều trên các tập con compact của M A tới ánh xạ chỉnh

Y

Y

hình

f : M A

. Khi đó có duy nhất các thác triển chỉnh hình

f j : M

và f : M

của

f j và f trên M , và

{ f j }j 1

hội tụ đều trên

các tập con compact của M tới f .

Chứng minh.

a) Trước hết ta chứng minh mỗi ánh xạ chỉnh hình

f : M A

đều

X

Y

thác triển được thành một ánh xạ chỉnh hình Ta xét hai trường hợp.

F : M .

Trường hợp 1. Kỳ dị của A có giao chuẩn tắc.

Theo giả thiết, ta có thể giả sử

n

l

( *)n

l

M và M A .

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n. Ta chứng minh nó theo ba bước.

*

(i) Nếu M A thì khẳng định là kết quả trực tiếp từ định nghĩa 2.2.8.

(ii) Giả sử có thể thác triển f với

M A

( *)n với n bất kỳ. Ta sẽ chứng

( *)n

l

minh f có thác triển với M A với l tùy ý.

*n l

X

Giả sử f : là ánh xạ chỉnh hình. Với mỗi u giả sử

fu (t)

f (t,u) . Theo giả thiết quy nạp, ta có thể thác triển

fu thành ánh xạ

chỉnh hình

fu :

với mỗi u. Định nghĩa ánh xạ chỉnh hình

n

Y

n

l

Y

F : như sau

F (t,u)

f (t) , (t,u) n l .

u

Theo định lý thác triển Riemann, ta chỉ cần chứng minh F là liên tục.

n

l

n

Thật vậy, giả sử dãy {(tk ,uk )}

hội tụ tới điểm

(0,u0 ) . Lấy một vài

dãy {tk}

Ta có

thỏa mãn lim d

Δ*n

n

(tk,tk) 0 .

Y

d (F(tk ,uk ), F(0,u0 )

d (F(t ,u ), F(t ,u ))

k

k

Y



k

k

d (F(t ,u ), F(t ,u ))

Y



k

k



k

0

d (F(t ,u ), F(0,u ))

Y



k

0

0

d ( f

Y



uk

(t ), f

k



uk

(t ))



k

d ( f (t ,u ), f (t ,u ))

k

k

k

0

Y





d ( f

Y



k

u0

(t ), f (0))





u0

d (t ,t )

k k

n



d (u ,u )

k 0

l

d (t ,0)

n



k

với mọi k 1.

Từ đó

lim d (F(tk ,uk ), F(0,u0 )) 0 ,

n Y

tức là,

{F(tk ,uk )}

F(0,u0 )

khi k .

Điều này kết thúc bước 2 của chứng minh.

(iii) Giả sử có thể thác triển f với

( *)n

l

M A với l tùy ý.

Ta phải chứng minh f thác triển với

M A

*n 1 .

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình

Ánh xạ chỉnh hình g :

f1 :

.

n 1 {(0,0,...,0)} Y

* X

, xác định bởi

Y

g(z)

f (z,..., z)

với z *,

thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình

g : .

n 1

Y

Định nghĩa ánh xạ F : xác định bởi

g (0)

F (0,0,...,0)

và F

n 1 {(0,0,...,0)}

f1 .

Theo trên, ta cần phải chứng minh F là liên tục.

1

)}

n 1

Giả sử dãy {(tk ,tk ,...tk hội tụ tới (0,0,...,0) .

0

1 2 n

t

1

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử k

Khi đó

với mọi k 1.

d (F(tk ,tk ,...,tk ), F(0,0,...,0))

Y 1 2 n 1

d (F(tk ,tk ,...,tk

), F(tk,tk,...,tk))

d (F(tk ,tk ,...,tk ), F(0,0,...,0))

Y 1 2

n 1 1 1 1

Y 1 1 1

d ( f (tk ,tk ,...,tk ), f (tk ,tk ,...,tk ))

Y 1 1 2

n 1 1 1 1

1

d (g(t ), g(0))

Y 1



k



d ((tk ,tk ,...,tk ),(tk ,t k ,...,t k ))

*

1 2

n 1 1 1

1

d (g(t ), g(0))

Y 1



k



maxd (t k ,t k )

j= 2,n+1

j 1

d (t k ,0)

1

max (d (t k ,0)

j= 2,n+1

j

d (t k ,0))

1

d (t k ,0)

1

maxd (t k ,0)

j= 2,n+1

j

2d (t k ,0)

1

với mọi k 1.

Do mỗi dãy con của dãy chứa một dãy con hội tụ tới F (0,0,..., 0) . Vậy dãy

{F(tk ,tk ,...,tk

)} hội tụ đến

F (0,0,..., 0) .

1 2 n 1

Trường hợp 2. A là tập con giải tích đóng tùy ý của M.

)

Theo định lý khử kỳ dị Hironaka, tồn tại bộ (Z , B, với B là tập con giải

tích có giao chuẩn tắc của đa tạp phức Z và là một ánh xạ chỉnh hình riêng

lên M sao cho B 1( A).

Ta định nghĩa

g : Z B

bởi g

. Theo trường hợp 1, g có thác

X

f 

triển chỉnh hình

G : Z

. Khi đó f được thác triển phân hình lên toàn bộ M

Y

G 

1

bằng cách định nghĩa F trên M. Theo định lý Kodama [8] (xem [7,

Định lý 6.3.19, tr. 288]), F là chỉnh hình.

Hol(M

b) Giả sử { f j }

A, X )

sao cho

f

{ f j }

f Hol(M A, X )

trong Hol(M

A, X ) .

Ta sẽ chứng minh rằng { f j }

trong Hol(M ,Y ) .

Trước hết ta có thể giả sử rằng A không có kỳ dị, tức là, ta thác triển f lên

M S ( A)

sau đó lên

M S (S ( A))

và cứ tiếp tục như vậy, trong đó

S (Z ) là

tập các kỳ dị của Z.

m 1

{0}

Giả sử z0

là một điểm tùy ý trong A. Ta có thể giả sử rằng

m

M và

A và

z0 (0,0) .

Đặt a0

f (z0 ) . Với mỗi điểm y

và một số thực dương r, ta đặt

Y

BY ( y,r) {y Y : dY ( y, y )

r}.

M

Tương tự, với điểm z và một số thực dương r, ta đặt

0

BM (z,r) {z M : dM (z, z )

r}.

Trước hết ta chứng minh rằng với một số

tùy ý, tồn tại lân cận V0

của

BY (a0 , )

z0 trong M sao cho

f (V0 )

và f j (V0 )

BY (a0 , )

với mọi

j j0 .

Thật vậy, lấy một điểm z1

Khi đó

BM (z0 , / 3) A.

f (z1) BY (a0 , / 3) .

BY (a0 ,2 / 3)

Do đó có số nguyên

j0 sao cho

Từ đó ta có

f j (z1)

với mọi

j j0 .

Đặt

f j (BM (z1, / 3)) BY (a0 , ) .

BM (z0 , / 3) BM (z1, / 3).

V0

V0

Khi đó z0

và f (V0 ) BY (a0 , ) ,

f j (V0 )

với mọi

j j0 .

BY (a0 , )

0

Lấy

đủ nhỏ sao cho

BY (a0 ,

được chứa trong một lân cận tọa độ địa

)

phương của a0

trong Y.

0

Chọn

đủ nhỏ sao cho

. Vì { f hội tụ đều tới f ,

m

V

0

)

m }

j 1

m }j 1

j ( ( )m

theo nguyên lý mô đun cực đại kéo theo sự hội tụ đều của { f j

tới giới

f

m

hạn .

Định lý được chứng minh. ,

M

2.2.11. Định lý. Cho X là không gian phức lồi đĩa yếu. Giả sử M là đa tạp phức với số chiều m, và A là tập con không đâu trù mật trong kh ông gian con

X

phức B

với số chiều

m 1. Khi đó mỗi ánh xạ chỉnh hình

X

f : M A

đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình

F : M .

Chứng minh. Đầu tiên ta có thể giả sử rằng B không có kỳ dị.

Lấy một điểm tùy ý a A. Bằng cách địa phương hóa ánh xạ f , ta có thể giả sử rằng

m

m 1

M , A A {0},

trong đó là tập con không đâu trù mật của m 1 , và

a

(t0 ,0)

A {0}.

Với mỗi điểm z

(t j,u j)}

(

m 1

A )

Giả sử dãy {a j

m , ký hiệu

(t,u)

z

với t và u .

m 1

hội tụ tới điểm a.

Xét các ánh xạ chỉnh hình

X ,u f j (u) f (t j ,u)

f j :

với mỗi j 1 ,

và

ft : *

0

X ,u f (u) f (t ,u) .

t

0

0

Dễ dàng thấy rằng

{ f j

trong Hol( *, X ) .

*}

ft

0

Vì X là lồi đĩa yếu, nên dãy { f j }

hội tụ đều tới ánh xạ chỉnh hình

*

ft

0

g Hol( , X ) , trong đó g .

Đặt

g(0)

p . Khi đó { f j (u j )}

g(0) , tức là, { f (aj )} p .

Do vậy, dãy { f (aj )}

hội tụ đến p với bất kỳ dãy

( m 1 A )

{a j }

hội tụ đến a. (*)

Chọn một lân cận compact tương đối Vp

của p trong X sao cho Vp

được

chứa trong một lân cận tọa độ chỉnh hình của p trong Y. Theo (*) tồn tại một

U0

lân cận mở T0

của a

trong

(t0 ,0)

f ((T0 A )

U0 )

thỏa mãn

m 1

Vp .

Với mỗi điểm

u U0 {0}, xét ánh xạ chỉnh hình

fu :

m 1

X ,t fu (t) f (t,u) .

Vì fu (T0 A )

Vp kéo theo

fu (T0 A )

fu (T0 )

Vp .

Do đó

f (T0

(U0 {0}))

Vp . Theo định lý thác triển Riemann, ánh xạ f

thác triển chỉnh hình được trên T0 U0 .

Định lý được chứng minh. ,

2.2.12. Hệ quả. ([7, Định lý 6.2.3, tr. 281])

X

Giả sử X là không gian phức hyperbolic đầy. Giả sử M là đa tạp phức với số chiều là m, và A là tập con không đâu trù mật trong không gian con phức

M

B với số chiều

m 1. Khi đó mỗi ánh xạ chỉnh hình

f : M A

X

đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình F : M .

2.2.13. Hệ quả. ([10, Định lý 1.6.28, tr. 35])

M

Giả sử X là không gian phức hyperbolic đầy, M là đa tạp phức và A

là tập con giải tích bất kỳ với đối chiều 2 . Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình từ

M A vào trong X đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình trên toàn bộ

M. Hơn nữa, nếu

{ f j }j 1

f trong

Hol(M

A, X ) , thì

{ f j }j 1

f trong

Hol(M , X ) , trong đó

f j và f là các thác triển chỉnh hình từ M vào trong X

của f j và f tương ứng.

KẾT LUẬN

Luận văn nghiên cứu về một số định lý thác triển hội tụ trong lý thuyết hàm hình học và đã đạt được một số kết quả sau:

1. Trình bày các định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình của M. Kwack, S. Kobayashi và K3-định lý.

2. Trình bày chứng minh định lý thác triển hội tụ Noguchi bằng ngôn ngữ họ chuẩn tắc đều.

3. Trình bày một số định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với các siêu mặt giải tích (không nhất thiết có giao chuẩn tắc) của các đa tạp phức. Đó là các định lý 2.2.2, 2.2.6, 2.2.9, 2.2.10 và 2.2.11.

Xem tất cả 58 trang.