Nhận Xét. Theo Hệ Quả 3 Và Hệ Quả 7 ([4]) Khẳng Định Rằng: Nếu X Là Không

Chứng minh. Để chứng minh i) và ii) trước hết ta chứng minh với mỗi f

đều thác triển được thành

fvà

C[M ,Y

, F ]

là compact tương

C(M ,Y )

đối trong C(M ,Y ) .

Vì bài toán là địa phương nên ta có thể giả thiết rằng

F Hol( *m ,Y ) . Do đó ta chỉ cần chứng minh mỗi f

M và

có thác triển

C( m ,Y )

m ,Y , F ]

fvà C[

là compact tương đối trong C(

m ,Y ) .

m ,Y , F ]

Theo định lý Ascoli, ta chỉ cần chứng minh C[ là liên tục đồng

đều trong C( m ,Y ) .

n},{ n}

Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại 0 , các dãy {

trong

cùng hội tụ tới

và có dãy { fn}

mà fn (

và fn ( n )

q p .

n )

Điều này mâu thuẫn với bổ đề 2.1.5. Vậy ta có

C[ m ,Y ,F ] Ð C( m ,Y ) .

M , p

Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại thác triển của ánh xạ f.

Giả sử

và { n}

M A; n

0 và f ( n )

p . Khi đó p

xác định duy nhất, do đó với Rõ ràng

và p ở trên ta định nghĩa

f ( 0 ) p .

) f ( )

ftrên

M A ,

M A

vì nếu ta chọn dãy

với mọi n, thì

f (

với mọi

M A.

0 )

Vậy theo định lý thác triển Riemann, để chứng minh flà thác triển chỉnh hình của f ta chỉ cần chứng minh flà liên tục.

Nếu

f (

và U là lân cận mở của p thì gọi V là lân cận compact

tương đối của p sao cho V U . Theo bổ đề 2.1.5, tồn tại lân cận mở W của

trong M sao cho

f (W A)

. Khi đó

V U

f (W ) .

Nếu

f (

, theo bổ đề 2.1.5, tồn tại lân cận mở W của

trong M sao

0 )

cho

f (W A)

, tức là tồn tại lân cận mở W của

trong M sao cho

f (W ) . Từ đó ta có fliên tục.

Để kết thúc chứng minh i) ta lấy f

. Khi đó tồn tại dãy { fn} trong F

sao cho fn

khi n . Do

C[M ,Y

, F ]

là compact tương đối trong

C(M ,Y

) nên tồn tại dãy con { f }

sao cho f

{ fn}

g C(M ,Y

) . Rõ

f

ràng g

(vì chúng bằng nhau trên

M A ). Vậy i) được chứng minh.

Để chứng minh ii) ta chứng minh

C[M ,Y

, F ]=C[M ,Y

, F ].

Với g

ta chọn dãy { fn}

sao cho fn

g . Do tính compact tương

đối của

C[M ,Y

, F ]

trong

C(M ,Y

) và sự tồn tại thác triển trong i), suy ra

có dãy con { f }

sao cho f

{ fn}

g , vì vậy g

C[M ,Y

, F ] .

Do đó

C[M ,Y

, F ]

C[M ,Y

g

, F ] .

Ngược lại, với g

Suy ra

C[M ,Y

C[M ,Y , F ]

{ fn}

, F ] , tồn tại dãy

mà

fn .

Từ đó, g

. Vậy

trên

M A với { fn} .

gC[M ,Y , F ].

Hay ta có

, F ] C[M ,Y , F ]

C[M ,Y

Vậy ii) được chứng minh.

iii) Giả sử { fn}

và fn

f

fn

. Ta chứng minh khi n .

Theo i) thì các

fn

và fluôn tồn tại.

Theo ii), vì { fn}

compact trong C(M ,Y

) , nên mọi dãy con

C[M ,Y , F ]

{ fn } của { fn } đều có dãy con hội tụ tới f. Do đó

f

fn

khi n .

Vậy iii) được chứng minh. ,

2.1.7. Nhận xét. Theo hệ quả 3 và hệ quả 7 ([4]) khẳng định rằng: Nếu X là không gian con phức, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y và A là

Hol(M

divisor có giao chuẩn tắc trong đa tạp phức M thì mỗi f A, X )

đều thác triển được thành

fvà nếu X là compact tương đối trong

C(M ,Y )

Y thì f

Hol(M ,Y ) .

Từ đó theo định lý 2.1.4 và định lý 2.1.6 ở trên ta suy ra kết quả của định lý thác triển hội tụ Noguchi 2.1.1.

2.2. Một số định lý thác triển hội tụ qua các siêu mặt

2.2.1. Định nghĩa. Một không gian phức X được gọi là siêu lồi nếu X là Stein

: X

( ,0)

và tồn tại một hàm đa điều hòa dưới liên tục sao cho

{x X ; (x) c}

Xc là compact với mỗi c

0 . Một cách trực giác, điều này

có nghĩa là tiến đến 0 tại “biên” của X.

2.2.2. Định lý. Giả sử Z là một đa tạp phức và H là một siêu mặt phức của Z. Giả sử M là một miền hyperbolic compact tương đối trong không gian phức

X. Giả sử có một lân cận U của

trong X sao cho U

là siêu lồi. Khi

M }j 1

đó bất kỳ ánh xạ chỉnh hình f chỉnh hình từ Z vào trong M. Hơn nữa, nếu { f j : Z H

: Z H

đều thác triển được thành ánh xạ

là dãy các ánh xạ chỉnh hình mà hội tụ

đều trên các tập con compact của Z H tới ánh xạ chỉnh hình

f : Z H

, thì { f j }j 1

cũng hội tụ đều trên các tập con compact của Z tới

f , ở đó trên Z.

f j : Z

và f : Z

là các thác triển chỉnh hình của

f j và f

Chứng minh.

(i) Trước hết ta xét trường hợp khi Z và H

{0}.

Theo định lý 1.3.2, ta chỉ cần chứng minh có một dãy {zn}

0 sao cho dãy { f (zn )} hội tụ đến một điểm của M.

hội tụ đến

Giả sử khẳng định trên là sai. Khi đó ta có thể giả thiết với mỗi dãy

{zn}

với zn

0 , dãy { f (zn )} hội tụ đến một điểm trong

. Do đó, ta

có thể tìm được

đủ nhỏ sao cho f ( * )

U . Gọi là hàm đa điều hòa

f

dưới vét cạn của U. Đặt h

trên

. Khi đó h là hàm điều hòa dưới

trên

, và với mỗi dãy {zn}

với zn

0,h(zn ) 0. Điều này kéo theo

h thác triển liên tục được đến hàm h trên . Theo định lý về khử kỳ dị của

các hàm điều hòa, ta có h là điều hòa dưới trên . Ta có

h(z)

nếu

z và

h(0) 0, vì vậy h đạt cực đại tại gốc. Điều này vô lý.

(ii) Bây giờ ta chứng minh rằng mỗi ánh xạ chỉnh hình

f : Z H

đều thác triển chỉnh hình được trên Z.

Ta có thể giả thiết H không có kỳ dị, tức là, ta thác triển f lên Z S (H )

sau đó lên

Z S (S (H ))

và cứ tiếp tục như vậy, trong đó

S (Y )

là tập các kỳ dị

của không gian phức Y.

Bằng cách địa phương hóa ánh xạ f, ta có thể giả thiết rằng

m 1

Z và H

m 1 {0}. Với mỗi z

m 1 , xét ánh xạ chỉnh hình

: * M

(z) f (z , z)

fz được cho bởi fz

với mỗi z *.

m 1

, z) fz (z)

Theo (i), tồn tại thác triển chỉnh hình fz

của

fz với mỗi

, z)

m 1

z m 1 . Định nghĩa ánh xạ f :

bởi

f (z

với mọi

(z . Ta chỉ cần chứng minh rằng f là liên tục tại

(z0 ,0)

m 1

Thật vậy, giả sử {(zk , zk )}

sao cho

{(zk , zk )} (z0 ,0) .

Lấy dãy {zk}

sao cho lim d

(zk, zk) 0 . Ta có

dM ( f (zk , zk ), f (z0 ,0))

dM( f (zk, zk), f (zk, zk)) dM( f (zk, zk), f (z0, zk)) dM( f (z0, zk), f (z0,0))

d ( f (z ), f (z

M z k z k

 ))

dM( f (zk, zk), f (z0, zk))

d ( f (z

M z k z



), f (0))

d (zk, zk) d m-1 (zk, z0) d (zk,0)

với mọi k 1.

Từ đó

tức là,

lim dM( f (zk , zk ), f (z0,0)) 0 ,

{f (zk , zk )}

f (z0 ,0)

khi k .

Hol(Z

Điều này kết thúc bước 2 của chứng minh.

(iii) Giả sử { f j }

H, M )

thỏa mãn

f Hol(Z

{ f j }

Ta sẽ chứng tỏ rằng { f j }

H, M ) trong Hol(Z H, M ) .

f trong Hol(Z , M ).

Trước hết ta có thể giả thiết H không có kỳ dị vì khẳng định của ta đúng

trên

Z S (H )

sau đó trên

Z S (S (H ))

và cứ tiếp tục như vậy.

Giả sử

là điểm tùy ý của H. Ta có thể giả thiết

Z và

m 1

{0}

H và

dương r, ta đặt

0 (0,0) . Đặt

a0 f ( 0 ) . Với điểm y

và số thực

Tương tự, với điểm

BM y, r

M : dM y, y

và r

, r

Z : dZ

0 , ta đặt

Trước hết ta chứng tỏ rằng với một số

bất kỳ, tồn tại lân cận V0

của

trong Z sao cho

f V0

và f j V0

với mọi

BM a0 ,

BZ ( 0 , 3) H

j j0 . Thật vậy, lấy điểm

)

B (a , 2 )

M 0

Ta có f ( ) B (a , ) . Có số nguyên

j sao cho f (

với

mọi j j0 .

M 0 3 0 j

Vì vậy ta có

Đặt

f j (BZ (

1, 3)) BM (a0 , ) .

Khi đó

V0 BZ (

0 , 3) BZ (

1, 3) .

)

0 V0 ,

f (V0 )

và f j (V0 )

với mọi

j j0 .

BM (a0 , )

Lấy

đủ nhỏ sao cho

BM (a0 ,

được chứa trong một lân cận tọa độ

địa phương của

a0 trong M. Chọn

đủ bé sao cho

. Vì {f j

( )m }

hội tụ đều đến

f ( )m , từ nguyên lý mô đun cực đại suy ra sự hội tụ đều của

{f j

với giới hạn

. Định lý được chứng minh. ,

m }j 1

2.2.3. Định nghĩa. Giả sử M là một miền trong không gian phức X, tức là, M

là một tập con khác rỗng, mở và liên thông của X.

(i) Một hàm được gọi là đa điều hòa dưới peak địa phương tại một điểm

p trong nếu tồn tại một lân cận U của p sao cho là đa điều hòa dưới

trên U

, tức là liên tục trên U

và thỏa mãn

( p) 0

(z) 0,

z (U M ) { p}.

(ii) Một hàm được gọi là đa điều hòa dưới antipeak địa phương tại một

điểm p trong nếu có một lân cận U của p sao cho là đa điều hòa dưới

trên U

, tức là liên tục trên U

và thỏa mãn

( p)

(z)

, z (U M ) { p}.

2.2.4. Bổ đề. Giả sử p là một điểm thuộc . Giả sử có các hàm đa điều hòa

dưới peak và antipeak địa phương và tại p xác định trên một lân cận Vp

của p. Khi đó với mỗi lân cận U của p, tồn tại một lân cận của p sao cho

mỗi ánh xạ chỉnh hình

f :

f (

1/ 2 )

f (0)

thỏa mãn

c )

Chứng minh. Vì là hàm đa điều hòa dưới peak địa phương tại p, tồn tại hai

V Vp )

lân cận U và V của p (U

cho

và hai hằng số dương c và (c

sao

inf{ (z) : z M

sup{ (z) : z M

U} c ,

V } c.

Khi đó hàm  xác định trên M bởi

(z)

(z) neˆ u z M U ,

sup( (z),

c )) neˆ u z

M (V U ),

(z)

c ) neˆ u z M V .

là hàm đa điều hòa dưới peak toàn thể tại p.

Lấy f là một đĩa giải tích trong M, tức là f :

là một ánh xạ chỉnh

( f )(0).

hình. Giả sử rằng là một số âm tùy ý sao cho Ký hiệu

mes(E ) là độ đo của tập hợp

{ [0,2 ]: ( f )(ei )

2 }.

f

( f )(0)

( f )(ei )d

Vì hàm là điều hòa dưới, bất đẳng thức giá trị trung bình kéo theo

mes([0, 2 ] E ) (2

mes(E )).
Do đó mes(E ) . Lấy 0 đủ nhỏ sao cho		(1)
inf{( )(z) : z M	U} c1	0,
sup{( )(z) : z M	V } c2	c1.
Hàm định nghĩa trên M bởi