Trang chủ

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC - 2


1.2. Không gian phức nhúng hyperbolic


1.2.1. Định nghĩa. Giả sử X là tập con compact của một không gian metric,

và Y là một không gian metric đầy.

C( X ,Y )

là tập các ánh xạ liên tục từ X


0,

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 58 trang tài liệu này.

0

X , d(x, x0 )

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC - 2

vào Y với chuẩn sup. Họ F

C( X ,Y )

được gọi là đồng liên tục tại một điểm


X

x0

F

thì

nếu với mỗi

tồn tại

sao cho với mọi x ,

d( f (x), f (x0 ))

với mọi f .

Họ F được gọi là đồng liên tục trên X nếu F là đồng liên tục tại mọi

X

điểm x .


1.2.2. Định lý. (Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục)

Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không

gian metric đầy. Giả sử F là tập con của tập các ánh xạ liên tục C( X ,Y ) .


Khi đó F là compact tương đối trong sau được thỏa mãn

X

{ f (x) f F }

i) F là họ đồng liên tục trên X.

C( X ,Y )

nếu và chỉ nếu hai điều kiện

ii) Với mỗi x

, tập hợp Fx

là compact tương đối trong Y.


X , x y

1.2.3. Định nghĩa. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. X

được gọi là nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi các lân cận mở U của x và V của y trong Y sao cho

dX (X U, X V ) 0 .

x, y

luôn tồn tại


1.2.4. Định lý. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Khi đó các điều kiện sau là tương đương

HI1. X là nhúng hyperbolic trong Y.

y

X

0

HI2. X là hyperbolic và nếu {xn},{yn}

là các dãy trong X thỏa mãn

x X

xn , yn

, dX (xn , yn )

thì x y .


HI3. Giả sử {xn},{yn} là các dãy trong X thỏa mãn

x X

y X

0

xn , yn .

Khi đó, nếu dX (xn , yn )

khi n thì x y .

HI4. Cho hàm độ dài H trên Y, tồn tại hàm liên tục, dương trên Y sao cho


Hol( , X )

với mọi f ta có


f * ( H ) H ,


trong đó H là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị .


Hol( , X )

HI5. Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi f

H .

f *H

ta có


Chứng minh.

HI1 HI2. Với mọi


x, y X , x y , từ HI1 ta suy ra

0.

dX (x, y)

X ,

Do đó X là hyperbolic.

Với

x, y

nếu x y thì theo HI1 ta suy ra mâu thuẫn với giả thiết


X

dX (xn , yn ) 0 , n . Vậy HI2 được chứng minh.

HI2 HI3. Giả sử HI2 được thỏa mãn. Nếu

x, y

, do tính liên tục của giả


khoảng cách Kobayashi dX

X

B(x, s).

x y .

ta có

dX (x, y) 0 . Mà X là hyperbolic nên suy ra


X , y

X .

Nếu x

Vì y

nên tồn tại

dX -cầu B(x, s) mà y

y

Do yn

nên yn

với n đủ lớn. Mặt khác,

dX (xn , x)

suy ra

B(x, s)

0

xn B(x, s / 2). Điều này mâu thuẫn với giả thiết dX (xn , yn ) 0 . Vậy trường

hợp này không xảy ra. Do đó HI3 được chứng minh.

0

Hol( , X )

HI3 HI4. Giả sử K là tập con compact của Y. Trước hết ta chứng minh tồn

tại hằng số

C sao cho với mỗi f

ta có


H

f * (CH )

tại mỗi điểm của f

1(K).


fn (K)

1

Giả sử ngược lại, suy ra tồn tại dãy {fn} Hol( , X ) , tồn tại zn


sao cho

dfn (zn )

. Vì là thuần nhất đối với nhóm Aut( ), nên ta có thể


giả thiết zn

0 , tức là


khi n

.

dfn (0)

Do K compact, ta có thể giả sử


y K.

fn (0)

Lấy U là lân cận mở của y trong Y, có thể đồng nhất U với một không gian

r

con đóng của m . Khi đó, với mỗi k

, có

zk và nk

sao cho


1

k

zk và

fnk

(zk )

(*)


U.

Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại

r sao cho

fn (

với mọi


1

r ) U

n0 (r).

n Theo định lý Ascoli, do

fn (0)

y , tồn tại dãy con của { fn

hội


r

}

tụ đều trên mỗi tập con compact của r . Điều này mâu thuẫn với

dfn (0)

Đặt

. Vậy (*) được chứng minh.


fn (0), xk

k

fn (zk ).

k

yk


Ta có thể lấy

zk sao cho xk

nằm trong một tập con compact chứa U. Từ đó,

x, x y.

bằng cách lấy dãy con nếu cần ta có thể giả thiết xk

d (0, zk )

0 khi k

.

dX (xk , yk )

K2 ...

Điều này mâu thuẫn với HI3.

Khi đó

Ui ,

Bây giờ giả sử K1

là dãy các tập con compact của Y thỏa mãn


Ki Y

i 1

và Ki


0

trong đó Ui


mở và Ui

Theo chứng minh trên, với mỗi

Ki , tồn tại hằng

số Ci

thỏa mãn


Ui 1.

H .

i

f * (C H )


Ci

Do đó, có hàm liên tục, dương trên Y thỏa mãn

trên

Ki .

Vậy,

f * ( H )

H với mọi hàm độ dài H trên Y.


H

HI4 HI5. Hiển nhiên khi ta lấy hàm độ dài chính là .


HI5 HI1. Giả sử

x, y

và x y . Lấy

X

BH (x, s),V BH ( y, s)

U


là các hình cầu bán kính s ứng với khoảng cách sinh bởi hàm độ dài H.

0

Do H là hàm độ dài và x y , nên ta có thể lấy s đủ nhỏ sao cho


BH ( y,2s)

BH (x,2s)

. Lấy x

và y

ta có

U X

V Y

dX (x , y ) dH (x , y ) s 0.

Thật vậy, từ HI5 suy ra dH

có tính chất giảm khoảng cách với mọi

f Hol( , X ) , theo tính chất lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi ta có


dH .

dX Từ đó suy ra X là nhúng hyperbolic trong Y.

Vậy định lý được chứng minh hoàn toàn. ,


1.2.5. Nhận xét


i) Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng hyperbolic trong chính nó.

ii) Nếu các không gian con phức

X1 là nhúng hyperbolic trong Y1 và

X 2 là

nhúng hyperbolic trong Y2

thì X1

là nhúng hyperbolic trong Y1

Y2 .

X2

iii) Nếu có hàm khoảng cách trên X thỏa mãn

( p,q)

p,q X

dX ( p,q)

thì X là nhúng hyperbolic trong Y.


1.3. Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình


1.3.1. Định lý. Giả sử X là không gian con phức compact tương đối trong không gian phức Y. Khi đó, nếu X là nhúng hyperbolic trong Y thì mọi ánh xạ

* X

chỉnh hình f : đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình


Y

F : .

* X

Để chứng minh định lý, trước hết ta xét các điều kiện sau, với f :

là ánh xạ chỉnh hình,

KW1. X là nhúng hyperbolic trong Y, và tồn tại một dãy {zk }

trong Δ* thỏa


0

X

mãn zk và { f (zk )} hội tụ tới một điểm y .

Chú ý. Điều kiện về sự tồn tại của dãy {zk } ở trên luôn thỏa mãn nếu X là compact tương đối trong Y.

KW2. X là nhúng hyperbolic trong Y, và tồn tại một dãy các số dương


{rk }

0 thỏa mãn


y X

f (S (rk )) ,

S(0,rk )

trong đó S(rk ) là đường tròn bán kính rk .

* X

KW3. Ánh xạ chỉnh hình f : thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình


Y

F : .

Khi đó, định lý 1.3.1 là trường hợp riêng của định lý sau.


1.3.2. Định lý. Ta có

KW1 KW2 KW3.

zk

Chứng minh.

KW1 KW2. Đặt rk

, và lấy U là một lân cận hyperbolic, compact

tương đối của y (một lân cận U như vậy luôn có thể lấy được, vì về mặt địa

phương Y là một không gian con đóng của một đa đĩa trong minh KW2, ta chỉ cần chứng minh

N ). Để chứng



U

với k đủ lớn.

f (S(rk ))

Giả sử ngược lại, với k lớn tùy ý, tồn tại điểm zk

S(rk )

sao cho

U

f (zk )

U . Vì tính liên tục của khoảng cách dY

xác định tô pô trên Y, ta có

thể giả thiết

f (zk )

U . Mà

là tập compact, bỏ qua việc lấy dãy con, ta

X

có thể giả sử rằng

f (zk )

hội tụ tới một điểm y

. Khi đó ta có


y

Mặt khác ta có

y vì

f (zk ) U .

dX ( f (zk ), f (zk )) d *(zk , zk ) 0 khi k .

Mà X nhúng hyperbolic trong Y, theo định lý 1.2.4. HI3, ta nhận được

y

y . Điều này mâu thuẫn với trên.

KW2 KW3. Giả sử U là một lân cận của y, mà ta đồng nhất với một

không gian con của một đa đĩa trong

N , sao cho bao đóng U của U trong Y

là compact và được chứa trong đa đĩa.

0

Theo định lý thác triển Riemann, ta chỉ cần chứng minh tồn tại số c

sao cho


* )

c

U

f ( ,


vì từ đó ta suy ra các hàm tọa độ của f là bị chặn gần 0 do đó f thác triển chỉnh hình được qua điểm thủng 0. Giả sử không tồn tại số c như vậy, tức là

với

rk 0 ,


* )

rk

U

f ( .


U

Theo KW2, sau khi đánh số lại dãy, ta có thể giả thiết

f (S(rk ))

với mọi k.

Gọi ak ,bk

là các số dương, ak

{z

* ak z bk }

Ak

rk bk , sao cho


là vành khuyên lớn nhất có ảnh

f ( Ak )

nằm hoàn toàn trong U. Ta đặt

k

(t) a e2 it

k

và (t) b e2

it , 0

k k

t 1

là hai đường tròn biên của vành khuyên mở

Ak . Khi đó ta có


f ( và f ( nằm trong U .


k )

k )

Nhưng do tính lớn nhất của vành khuyên

Ak nên f (

và f (

không

k )

k )

k )

nằm trong U, vì vậy f (

và f (

nằm trong

. Vì các độ dài


k )

U

k )

hyperbolic của các đường tròn bán kính ak

và bk

dần đến 0 khi k và f

là giảm khoảng cách từ

d * tới

dX , nên ta có

dX -đường kính của f ( và

k )

f ( dần tới 0. Theo định lý 1.2.4. HI5, ta có

d ( p,q)

p,q

dH ( f ( p), f (q))

f * H

nên

H

.

dX

k )

k )

Từ đó do tính lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi ta có dH

. Vì

vậy

dH -đường kính của f (

và f (


cũng dần tới 0. Vì U là compact,

bằng cách lấy dãy con ta có thể giả thiết rằng

f ( k )

y , f ( k )

y với

y

y

y , y U . Khi đó ta có y

và y y . Nếu lấy zk

là một điểm trên

S(rk ) , thì

f (zk )

khi k .

Ta viết f

giả thiết

( f1,..., fN

) :U N . Không mất tính chất tổng quát ta có thể



Từ đó, với mọi k

k


lim f1 ( k )

k

lim f1 ( k )

k

lim f1 (zk )

y1 0,

y1 0,

y1 0.

k0

ta có

f1( k ) f1( k ).

k ,

k

f1(zk )

Nói cách khác, các ánh xạ f.

f1(zk )

không nằm trong ảnh của hai đường tròn

qua


Vì vậy ta có thể tìm được một lân cận đơn liên của không giao với một đĩa tâm 0, bán kính đủ nhỏ trong .

f1( k )

f1(

k ) mà

1,..., N )

Giả sử (

là các hàm tọa độ trong

N , khi đó f

. Với

1 f

1

cách chọn các lân cận ở trên, với k đủ lớn ta có


f1 ( k )

d log(

1

f1(zk))

0

k

d log( 1 f f1 (zk )) ,


f1 ( k )

d log(

1

f1(zk))

0

k

d log( 1 f f1 (zk )) .


k k

d log( 1 f f1 (zk )) 0 .

Do đó,


Mặt khác, theo định lý Rouche [11], ta có


(*)

1d log(

1 f f1(zk ))


N P ,

2 i k k

1 f f1(zk )

trong đó N là số các không điểm và P là số các cực điểm của


trong vành khuyên

Ak . Rõ ràng P

0, và

N vì có ít nhất một không điểm

1

tại

zk . Do đó, N P

1. Điều này mâu thuẫn với (*). Vậy định lý được

chứng minh. ,

Với các kết quả của Kwack và Kobayashi, năm 1972 Kiernan ([6]) đã mở

rộng được định lý Picard lớn lên trường hợp nhiều chiều bởi K 3 -định lý. Để

trình bày K 3 -định lý ta cần một số khái niệm và kết quả sau.


1.3.3. Bổ đề. Giả sử X là không gian con phức compact tương đối, nhúng

* X}

hyperbolic trong không gian phức Y. Giả sử { fk :

là dãy các ánh xạ

chỉnh hình và {zk },{zk } là các dãy trong Δ* hội tụ tới 0 trong thỏa mãn


Khi đó

(i)


fk (zk )


y

khi k ;

fk (zk )

y Y .

..... Xem trang tiếp theo?
⇦ Trang trước - Trang tiếp theo ⇨

Ngày đăng: 27/04/2022