Xử lý tín hiệu số - 25

j

dãy không nhân quả vô hạn. Khi dùng hàm cửa sổ để hạn chế h(n) trở thành đáp ứng

xung h(n)N nhân quả và hữu hạn, thì đáp ứng biên độ tàn số

Hlp (e )

của bộ lọc được



tổng hợp có dạng sườn dốc ở vùng tần số cắt c

và phát sinh các nhấp nhô ở cả dải

thông và dải chặn, hiệu ứng đó gọi là hiện tượng Gibbs .

Để tìm hiểu bản chất hiện tượng Gibbs , xuất phát từ biểu thức :

j

h(n)N h(n)W(n)N

Theo tính chất của biến đổi Fourier, đáp ứng tần số hợp có thể xác định theo biểu thức :

Hlp (e ) của bộ lọc cần tổng

Trong đó:

H (ej) 1

N

2

N

H (ej) 1

2

W(ej)* H(ej)



W(ej)H(ej (, ) )d,



tưởng

H(ej) là đáp ứng tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính lý

w(ej) là dặc tính tần số của hàm cửa sổ :

Với :

w(ej) FT W(n) w(ej) FT W(n)

N 1.

A

N W

N W

A

(ej)ej

(ej)ej

2



Do đó :



H (e jH (e j) 1 A (e j)A

(e j)e j (, ) .d,

2

N N H W



1 

jjjj, jj

HN (e ) e A (e )A (e ).dA (e )e

H W N2



Vậy :

j

HN (e ) 



1

2

jjj,

AN (e ) AH (e )AW (e ).d



j

j

Theo tính chất của phép tính tích phân, đáp ứng biên độ tần số của bộ lọc được

tổng hợp

Hlp (e ) dạng phải liên tục, cho dù hàm độ lớn

HN (e ) của bộ lọc lý tưởng

dưới dấu tích phân có gián đoạn loại một tại tần số cắt



. Đó chính là nguyên

c

nhân phát sinh hiện tượng Gibbs, làm cho các bộ lọc thực tế khong thể có đáp ứng biên độ tần số dạng chữ nhật, mà hai biên tần phải có dạng sườn dốc với các biến động nhấp nhô ở lân cận tần số cắt c .

Ví dụ 1:

Tổng hợp bộ lọc thông thấp FIR pha tuyến tính loại 1 có tần số cắt



c

/ 4, với N = 9 bằng phương pháp cửa sổ chữ nhật.

Giải:

Bước 1: Xác định đáp ứng pha tưởng cùng loại bộ lọc cần tổng hợp .

() và đáp ứng xung h(n) của bộ lọc số lý

Đáp ứng pha tần số :

N 19 14 () 4

2 2

Đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng pha tuyến tính :

hlp

(n) 

sin(n )

c

(n )

sin(n 4) / 4

(n 4)

Bước 2: Dùng cửa sổ hình chữ nhật :

wR (n)9 rect9 (n) , với N = 9

Bước 3: Xác định đáp ứng xung của bộ lọc cần tổng hợp :

hlp (n)9 WR (n)9. hlp (n)

Tính

hlp (n) , WR (n)9 , hlp (n)9 , và lập bảng 4.1 :

Bảng 4.1. Giá trị của hlp (n) , WR (n)9 , hlp (n)9

n

0	1	2	3	4	5	6	7	8
hlp (n)	0	2 6	1 2	2 2	1 4	2 2	1 2	2 6	0
wR (n)9	1	1	1	1	1	1	1	1	1
hlp (n)9	0	2 6	1 2	2 2	1 4	2 2	1 2	2 6	0

Có thể bạn quan tâm!

• Đáp Ứng Xung H ( N ) Của Bộ Lọc Chắn Dải Lý Tưởng.
• Đặc Tính Xung Của Bộ Lọc Số Fir Pha Tuyến Tính
• Đặc Tính Tần Số Của Bộ Lọc Fir Pha Tuyến Tính Loại 2 .
• Xử lý tín hiệu số - 26
• Xử lý tín hiệu số - 27
• Xử lý tín hiệu số - 28

Xem toàn bộ 272 trang tài liệu này.

Bước 4: Xác định đáp ứng biên độ tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1:

Hlp

4

(ej) H(ej) a(n) cos(.n)

n0

Với các hệ số như sau:

1

a(0) hlp (4)9 

4

2

a(1) 2.hlp (3)9 

2

1

a(2) 2.hlp (2)9 

a(3) 2.hlp (3)9 

a(4) 2.hlp (0)9 0

Vậy :

H (ej) 12coS() 1coS(2) 2coS(3)

j

lp4



Từ đó, tính được giá trị của

Hlp (e ) khi 0,và lập bảng 4.2 :

j

Bảng 4.2. Giá trị làm tròn của Hlp (e )



0	 8	 4	3 8	 2	5 8	3 4	7 8	
H (e j)	1.17	0.95	0.46	0.06	0.07	0.01	0.04	0.01	0.03

j

Theo số liệu của bảng 4.1, bảng 4.2 và tính chất đối xứng của dặc tính biên độ

tần số, xây dựng được đồ thị đạc tính xung

Hlp (n)9

và đáp ứng biên độ tần số

Hlp (e )

của bộ lọc thông thấp đã cho khi dùng cửa sổ chữ nhật trên hình 4.19 .

H (e j)

lp

1

0.46





p

1

0.07





2

h(n)

1

2 4 2

1 221

2222 66

n

0 1 2 3 4

5

6 7 8

2

0

4 5

j

Hình 4.19. Đáp ứng xung và đáp ứng tần số biên độ khi dùng cửa sổ chữ nhật

Bước 5: Từ đáp ứng biên độ tần số

lọc dùng cửa sổ chữ nhật :

Hlp (e ) , xác định được các tham số của bộ

p

Tần số giới hạn dải chặn : 2/ 5 (lấy tại điểm 0 đầu tiên)

Độ rộng dải quá độ : 2/ 5 / 4 3/ 20 .

p p c

Độ nhấp nhô trong dải thông : 1 10, 46 0,54

Độ nhấp nhô trong dải chặn : 2 0, 07

2

Vậy bộ lọc số được thực hiện bằng phương pháp cửa sổ chữ nhật có sơ đồ sau:

Z1

6π

Z1

1

2π

Z1

2π

Z1

1

4

Z1

2

2π

Z1

1

2π

Z1

2

6π

x(n)

y(n)

2

Hình 4.20. Sơ đồ bộ lọc số sử dụng phương pháp cửa sổ chữ nhật

b. Cửa sổ tam giác

Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ tam giác (hay cửa sổ Bartlett) được định nghĩa như sau:

2n

0 n N-1



N 1 2

2n N-1

wT (n)N 2 n N 1

(4.44)

N 1 2

0 n cßn l¹i



Đồ thị cửa sổ tam giác với N=9:

4

n 0 n 4



n



wT (n)9 2 

4

4 n 8

0 n cßn l¹i



wT (n)9

1

1

2

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Hình 4.21. Đồ thị cửa sổ tam giác với N=9.

Ví dụ 2:

Tổng hợp bộ lọc thông thấp FIR pha tuyến tính loại 1 có tần số cắt



c

/ 4, với N = 9 bằng phương pháp cửa sổ tam giác.

Giải:

Bước 1: Xác định đáp ứng pha tưởng cùng loại bộ lọc cần tổng hợp .

Đáp ứng pha tần số :

() và đáp ứng xung h(n) của bộ lọc số lý

N 19 14 () 4

2 2

Đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng pha tuyến tính :

hlp

(n) 

sin(n )

c

(n )

sin(n 4) / 4

(n 4)

Bước 2: Dùng cửa sổ tam giác :

r

9

w (n )

1 

2. n 4

9

Bước 3: Xác định đáp ứng xung của bộ lọc cần tổng hợp :

hlp (n)9 WR (n)9 hlp (n)

Tính

hlp (n) , WR (n)9 , hlp (n)9 và lập bảng 4.3 :

Bảng 4.3. Giá trị hlp (n) , WR (n)9 , hlp (n)9

n

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
hlp (n)	0	2 6	1 2	2 2	1 4	2 2	1 2	2 6	0	2 2 5
wT (n)9	1 9	1 3	5 9	7 9	1	7 9	5 9	1 3	1 9	0
hlp (n)9	0	2 18	5 18	7 2 18	1 4	7 2 18	5 18	2 18	0	0

Bước 4: Xác định đáp ứng biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 : Với các hệ số được xác định:

a(0) hlp

(4)9 

1

4

a(1) 2.hlp

(4 1)9

2.hlp

(3)9 

7 2



9

a(2) 2.hlp

a(3) 2.h

(2)9 

2

5



9

(1) 

lp 9 9

Vậy :

j

Hlp

a(4) 2.hlp (0)9 0

(ej) 0, 25 0,36coS() 0,18coS(2) 0, 06coS(3)

Từ đó, tính được giá trị của

Hlp (e )

khi 0,và lập bảng 4.4

j

Bảng 4.4. Giá trị làm tròn của Hlp (e )



0	 8	 4	3 8	 2	5 8	3 4	7 8	
H (e j)	0.83	0.72	0.46	0.22	0.07	0.04	0.04	0.03	0.03

j

Theo số liệu của bảng 4.3 , bảng 4.3 và tính chất đối xứng của đáp ứng biên độ

H(e j)

0.83



1



p

0.46

0.07 



2

tần số, xây dựng được đồ thị đáp ứng xung hlp(n)9 và đáp ứng biên độ tần số của bộ lọc thông thấp đã cho khi dùng cửa sổ tam giác trên hình :

1

4

5 18

2 1818

185

18

2

18

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8

h(n)

Hlp (e )

7 2

7 2

p



c0

2

4 5

Hình 4.22. Đáp ứng xung và đáp ứng tần sô biên độ khi dùng cửa sổ tam giác



Bước 5: Trong trường hợp này đáp ứng biên độ tàn số có dạng tiệm cận. Nếu



j

lấy tần số giới hạn dải chẵn p

tại điểm 2

bằng cửa sổ chữ nhật 0, 07, thì từ

2

đáp ứng biên độ tần số dùng cửa sổ tam giác:

Hlp (e ) trên hình 4.22 xác định được các tham số của bộ lọc

Tần số giới hạn dải chặn :

p2

Độ rộng dải quá độ : / 2 / 4 5/ 20 .

p p c

1

Độ nhấp nhô trong dải thông : 0,83 0, 46 0,37

2

Độ nhấp nhô trong dải chặn : 0, 07

Vậy bộ lọc số được thực hiện bằng phương pháp cửa sổ tam giác có sơ đồ sau:

Z1

2

18π

Z1

5

18π

Z1

7 2

18π

Z1

1

4

Z1

7 2

18π

Z1

5

18π

Z1

2

18π

x(n)

y(n)

Hình 4.23. Sơ đồ bộ lọc số bằng phương pháp cửa sổ tam giác

Nhận xét : So sánh các tham số của bộ lọc khi tổng hợp bằng cửa sổ chữ nhật và cửa sổ tam giác như sau :

p

- Độ rộng dải quá độ 

của bộ lọc dùng cửa sổ tam giác lớn hơn cửa sổ chữ

nhật, do đó bộ lọc dùng cả sổ chữ nhật có hai sườn dốc hơn và độ chọn lọc tốt hơn dùng cửa sổ tam giác .

1

- Độ nhấp nhô trong dải thông của bộ lọc dùng cửa sổ tam giác nhỏ hơn dùng cửa sổ chữ nhật, lý do vì bộ lọc dùng cửa sổ tam giác làm suy giảm tín hiệu ở trung tâm dải thông lớn hơn cửa sổ chữ nhật .

- Đáp ứng biên độ tần số trong dải chặn của bộ lọc dùng cửa sổ tam giác có

dạng tiệm cận, còn dùng cửa sổ chữ nhật có dạng dao động .

c. Cửa sổ Hanning và Hamming

Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Hanning và Hamming được định nghĩa như

sau:



- (1-)cos 2n 0 n N 1

wH (n)N 

N 1

(4.45)

0 n cßn l¹i

Nếu 0,5 ta có cửa sổ Hanning như sau:

2

0, 5 - 0, 5cos n 0 n N 1

wHan (n)N 

N 1

(4.46)

0 n cßn l¹i

Nếu 0,54 ta có cửa sổ Hamming như sau:

2

0, 54 - 0, 46cos n 0 n N 1

wHam (n)N 

N 1

(4.47)

0 n cßn l¹i

Đồ thị cửa sổ Hanning và Hamming với N=9:



0, 5 - 0, 5cos n 0 n 8

wHan (n)9 4

0 n cßn l¹i



0, 54 - 0, 46cos n 0 n 8

wHam (n)9 4

0 n cßn l¹i

wHan (n)9

0,85

0,5

0,015

1

0,85

0,5

0,015 n

0,08

wHam (n)9

1

0,865

0,54

0,215

0,865

0,54

0,215

0,08 n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Hình 4.24. Đồ thị cửa sổ Hanning và Hamming với N=9.

Ví dụ 3:

Tổng hợp bộ lọc thông thấp FIR pha tuyến tính loại 1 có tần số cắt



c

/ 4, với N = 9.

a. Dùng cửa sổ Hanning.

b. Dùng cửa sổ Hamming.

Giải:

a. Dùng cửa sổ Hanning.

Bước 1: Xác định đáp ứng pha tưởng cùng loại bộ lọc cần tổng hợp .

Đáp ứng pha tần số :

() và đáp ứng xung h(n) của bộ lọc số lý