Đặc Tính Xung Của Bộ Lọc Số Fir Pha Tuyến Tính

Nhận xét:

- Nếu có bộ lọc số thông tất, bộ lọc số thông dải và bộ lọc chắn dải có cùng đáp ứng pha thì ta có quan hệ sau:

jjj

Hbs (e ) Hap (e ) Hbp (e )

j

j

j

Hbs (e ) : là đáp ứng tần số của bộ lọc chắn dải. Hap (e ) : là đáp ứng tần số của bộ lọc thông tất. Hbp (e ) : là đáp ứng tần số của bộ lọc thông dải. Trong miền n ta cũng có:

hbs (n) hap (n) hbp (n)

(4.10)

Có thể bạn quan tâm!

• Các Tính Chất Của Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Dãy Có Chiều Dài Hữu Hạn
• Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp Ứng Xung Chiều Dài Hữu Hạn (Fir)
• Đáp Ứng Xung H ( N ) Của Bộ Lọc Chắn Dải Lý Tưởng.
• Đặc Tính Tần Số Của Bộ Lọc Fir Pha Tuyến Tính Loại 2 .
• Xử lý tín hiệu số - 25
• Xử lý tín hiệu số - 26

Xem toàn bộ 272 trang tài liệu này.

(4.11)

4.1.3. Bộ lọc số thực tế

Tất cả bộ lọc số lý tưởng có đáp ứng biên độ tần số dạng chữ nhật, nên đáp ứng xung của chúng đều là dãy không nhân quả có độ dài vô hạn, vì thế không thể thực hiện được các bộ lọc lý tưởng .

Đáp ứng biên độ tần số của bộ lọc số thực tế thường có độ nhấp nhô trong dải thông và dải chặn, với 2 biên là sườn dốc như hình 4.9 : .

j

Hbp (e )

p



0

cp



Hình 4.9. Đáp ứng biên độ tần số của bộ lọc thông thấp thực tế Để đặc trưng cho bộ lọc thực tế , người ta sử dụng các tham số sau :

1. Loại bộ lọc : Thông thấp, thông cao, dải thông, dải chặn

2. Tần số giới hạn giải thông c

3. Tần số giới hạn dải chặn p

(hay fc).

(hay fp).

4. Độ rộng dải quá độ

p p c

(hay f p )

Hbp (e ) 1 

j

5. Độ nhấp nhô trong dải thông 1 . Trong dải thông, đáp ứng biên độ tần

j

số Hbp (e )

phải thỏa mãn điều kiện 1 1 1

j

6. Độ nhấp nhô trong dải chặn 2 . Trong dải chặn đáp ứng biên độ tần

j

số Hbp (e )

phải thoả mãn điều kiện :

Hbp (e )

2

Bộ lọc thực tế có

p , 1 và 2càng nhỏ thì dặc tuyến biên độ tần số càng

gần giống dạng chữ nhật , nên độ chọn lọc tín hiệu càng tốt.

4.2. Đặc tính xung của bộ lọc số FIR pha tuyến tính

Các bộ lọc số FIR có đáp ứng xung h(n) hữu hạn, nên hàm truyền đạt hệ thống

là :

N 1

H zh(n)z n n0

Vì đáp ứng xung h(n) hữu hạn nên bộ lọc FIR luôn ổn định , có nghĩa là tất cả

các điểm cực của hàm hệ thống H(z) nằm trong đường tròn đơn vị số của bộ lọc số FIR:

z  1 . Đáp ứng tần



N 1

H (z) h(n)e jn A(e j)ej()

n0

Đối với các bộ lọc số FIR có pha tuyến tính :



(4.12)



Trong đó và là các hằng số , và là thời gian truyền lan của tín hiệu qua bộ lọc :

d



d

(4.13)

Từ đó ta thấy, tất cả các thành phần tần số của tín hiệu đi qua bộ lọc số FIR pha tuyến tính đều bị trễ như nhau , vì thế tín hiệu không bị méo dạng phổ .

Vì H (e j)

tuần hoàn với chu kì

2nên chúng ta chỉ nghiên cứu đáp ứng biên

độ tần số

H (e j) và pha () khi

()

hoặc (0  2) .

Mặt khác nếu bộ lọc số có đáp ứng xung h(n) là dãy thực thì theo tính chất của biến đổ Fourier ta có :

H( e j) 



H( ej)



Như vậy

H (e j)

là hàm chẵn và đối xứng , còn

()

là hàm lẻ và phản đối

xứng. Vì thế ,khi đáp ứng xung h(n) là dãy thực thì chỉ cần nghiên cứu bộ lọc số trong

khoảng (0 ) .

Theo (4.12) ,có 2 trường hợp bộ lọc FIR pha tuyến tính :

1.  0 () 

2.  0 () 

a. Trường hợp  0 () 

Khai triển công thức Euler, biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng:

Mặt khác có :

H(ej) A(ej)ejA(ej)cos() j sin()

H(ej) A(ej)cos() jA(ej) sin() (4.14)



N1 N1

H(ej) h(n)ejn h(n). cos(n) j sin(n)

n0 n0

N1 N1

H(ej) h(n).cos(n) j h(n) sin(n)

n0 n0

Từ (4.14) và (4.15) ta có :

(4.15)



N 1

A(e j) cos() h(n) cos(n)

n0



N 1

A(e j) sin() h(n) sin(n)

n0

Suy ra :

N 1



h(n) sin(n)

N 1

tg () n0

h(n) cos(n)

n0

Vì sin(0) = 0 và cos(0) = 1 , nên có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng :



N 1

h(n) sin(n)

N 1

tg () n0

h(0) h(n) cos(n)

n1

Từ đây có 2 trường hợp  0 là bộ lọc pha không , và  0



N 1

h(n) sin(n)

N 1

 Với  0 : tg (0) n0 0

h(0) h(n) cos(n)

n1

Tức là :

í 0 h(n) = ì

ïï

ïî ¹

" n ¹ 0

.

0 n = 0

Bộ lọc như vậy không có ý nghĩa thực tế và không thể thực hiện được, vì tín hiệu truyền qtua bộ lọc luôn bị giữ trễ, cho dù thời gian giữ trễ là nhỏ nhất .

 Với  0

sin()

N1



h(n).sin(n)

tg() n00



cos()

N 1

N1

h(n).cos(n)

n0

N 1

Hay :

tg ()  sin()h(n) cos(n)  cos()h(n) sin(n)

n1 n0

N 1 N 1

Vậy:

tg ()  sin()h(n) cos(n)  cos()h(n) sin(n)  0

n1 n0

Tiếp tục biến đổi lượng giác sẽ nhận được phương trình :



N 1

h(n) sin (n )

n0

Phương trình dạng chuỗi Fourier trên có một nghiệm duy nhất tại :

N 1

2

(4.16)

(4.17)

Và : h(n) = h(N-1-n) với n(0, N-1) (4.18)

Theo (4.18) đáp ứng xung h(n) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính khi dãy đối xứng.

 0 là

- Khi  0

- Khi  0

Ví dụ 1:

và N lẻ, goi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1.

và N chẵn goi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2.

Bộ lọc số FIR pha tuyến tính có

h(2) =2 .

() , với N=5 và h(0) = -1, h(1) = 1,

Tìm và vẽ đáp ứng xung h(n) của bộ lọc.

Giải :

Vì  0 và N lẻ nên đây là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1. Theo (4.17) ta có :

N 1  5 1  2

2 2

Theo (4.18) ta có: h(n) = h(5-1-n) = h(4-n)

Vậy :

Đồ thị đáp ứng xung h(n) :

h(4) = h(0) = -1

h(3) = h(1) = 1 h(2) = 2

h(n)

2

1

-1 1 2 3 n

Hình 4.10. h(n) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1.

Ví dụ 2 :

Bộ lọc FIR pha tuyến tính có () 

,với N = 4 và h(0) = -1, h(1) = 1.

Tìm và vẽ đáp ứng xung h(n) của bộ lọc .

Giải:

Vì  0 và N chẵn nên đây là bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2.

Theo (4.17) ta có :

N  1 4  1  1,5

2 2

Theo (4.18) ta có: h(n) = h(4-1-n) = h(3-n)

Vậy :

Đồ thị đáp ứng xung h(n):

h(3) = h(0) = -1

h(2) = h(1) = 1

1 1

-1

0 1 2 3

n

h(n)

Hình 4.11. h(n) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2.

Nhận xét :

- Bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 có đáp ứng xung h(n) đối xứng giống như các bộ lọc lý tưởng.

- Tâm đối xứng của h(n) trùng với mẫu tại n = .

+ Nếu N lẻ thì là số nguyên và trục đối xứng h(n) trùng với mẫu tại

N - 1

n = .

2

N - 1

+ Nếu N chẵn thì là số thập phân và trục đối xứng nằm giữa hai mẫu

N

tại

n = và

2

n = .

2

b. Trường hợp  0 () 

Bằng cách biến đổi tương tự như trường hợp trên ,nhận được.

h(n) sin () 0

Phương trình Fourier trên có 1 nghiệm duy nhất tại:

(4.19)

N 1 ;

2



2

(4.20)

h(n) = -h(N-1-n) với n (0, N 1) (4.21)

Theo (4.21) , đáp ứng xung h(n) của bộ lọc FIR pha tuyến tính trong trường hợp

 0 là dãy phản đối xứng.

- Khi  0

- Khi  0

Ví dụ 3 :

và N lẻ, gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3. và N chẵn goi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4.

Cho bộ lọc FIR pha tuyến tính có () , với N=7 và h(0) = -1,

h(1) = -0,5 và h(2) = 1,5 .

Tìm và vẽ đáp ứng xung của bộ lọc.

Giải:

Vì  0 và N lẻ nên đây là bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3.

Theo (4.20) ta có :

N 1  7 1  3

2 2

Theo (4.21) ta có : h(n) = -h(7-1-n) = -h(6-n)

Vậy :

Đồ thị đáp ứng xung h(n):

h(6) = -h(0) = 1

h(5) = -h(1) = 0,5

h(4) = -h(2) = 1,5 h(3) = 0

h(n)

1,5

1

0 1

-0,5

-1

2

3

4

-0,5

5

6

n

-1

Hình 4.12. h(n) của bộ lọc FIR loại 3.

Ví dụ 4 :

Cho bộ lọc FIR pha tuyến tính có () với N=4 và h(0) = -1, h(1) = 1 Tìm và vẽ đáp ứng xung của bộ lọc.

Giải:

Vì  0 và N chẵn nên đây là bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4

Theo (4.20) ta có :

N 1 4 1  1,5

2 2

Theo (4.21) ta có : h(n) = -h(4-1-n) = -h(3-n)

Vậy :

Đồ thị đáp ứng xung h(n):

1

1

0 1 2

-1

3

-1

n

h(n)

h(3) = -h(0) = 1

h(2) = -h(1) = -1

Hình 4.13. h(n) của bộ lọc FIR loại 4.

Nhận xét :

xứng.

- Bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4 có đáp ứng xung h(n) phản đối

-Tâm phản đối xứng của h(n) tại tại n = .

+ Nếu N lẻ thì là số nguyên và tâm phản đối xứng h(n) trùng với mẫu tại

N - 1

n = và tại đó h(n) = 0 .

2

+ Nếu N chẵn thì là số thập phân và tâm phản đối xứng nằm giữa hai mẫu tại

N - 1 N

n = và

2

n = .

2

Như vậy, có bốn loại bộ lọc FIR pha tuyến tính có () :

- Bộ lọc loại 1:

- Bộ lọc loại 1:

- Bộ lọc loại 1:

- Bộ lọc loại 1:

 0 , N lẻ , đáp ứng xung h(n) đối xứng.

 0 , N chẵn, đáp ứng xung h(n) đối xứng.

/ 2 , N lẻ , đáp ứng xung h(n) phản đối xứng.

/ 2 , N chẵn , đáp ứng xung h(n) phản đối xứng.

4.3. Đặc tính tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính

4.3.1. Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1

Bộ lọc FIR pha tuyến tính có () và N lẻ, đáp ứng tần số là :

N 1

H (e j) h(n)ejn A(e j)ejn0

Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của 3 thành phần :

H (e j) 

N 1

h(n)ejn hN 1ej

N 1



2 

N 1



h(n)ejn 



n0





2 



nN 1

2 

Đổi biến thành phần thứ 3, đặt m = (N-1-n) => n = (N-1-n),

Khi

n N 1 

thì

m N 1 

1

2



1

2



Khi n = (N-1) thì m = 0 :

N 11 

N 1

H (e j) 2

h(n)ejn hN 1ej2



h(N 1 m)ej( N 1m) 

0



2 



n0



mN 11 

2 

Đảo chiều chỉ số và đổi lại biến của thành phần thứ 3 theo n:

N 11 

N 1

N 11 

H (e j) 2

h(n)ejn hN 1ej2

2

h(N 1 n)ej( N 1n) 





n0



2 



n0 

Vì bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 có h(n) =h(N-1-n), nên :

N 1

N 11 

H (e j) 

N  1

j

2



2 

h(n)e jn e j( N 1n) 

(4.22)

he

2 



n0

jN 1 

jN 1n 





jN 1n 

Trong đó : ejn ej ( N 1n) e



2 e 2





e 2 



jN 1

N 1

Hay :

ejn

ej( N 1n)

 2e



2 cos

n

Do đó (4.22) được đưa về dạng :

N 1

N 11

2



N 1

jN 1

j2

N 1

j2 

H (e

) h

e 2

2h(n) cos

ne 

Hay :

2 

n0

2 

N 11

N 1 

N 1 

j

N 12

N 1

j

2 

j

2

H (e

) h



2h(n) cos

ne 

e 

2

n0

2