Đặc Tính Tần Số Của Bộ Lọc Fir Pha Tuyến Tính Loại 2 .

Đổi biến, đặt

m N 1 nn N 1 m,



2

2 

Khi n = 0 thì

m N 1

Có thể bạn quan tâm!

• Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp Ứng Xung Chiều Dài Hữu Hạn (Fir)
• Đáp Ứng Xung H ( N ) Của Bộ Lọc Chắn Dải Lý Tưởng.
• Đặc Tính Xung Của Bộ Lọc Số Fir Pha Tuyến Tính
• Xử lý tín hiệu số - 25
• Xử lý tín hiệu số - 26
• Xử lý tín hiệu số - 27

Xem toàn bộ 272 trang tài liệu này.



2



Khi

n N 1 

thì m=1, nhận được :

2

1



N 11

N 1

jN 1

2 

H (e j) h

2hm cos.me



2 



2 



mN 12 

Đổi biến m trở về n ,đảo cận của tổng và thêm cos .0 =1 vào số hạng đầu :



N 1

N 1 

H (e j) hN1 cos.022hN1 n cos.nej2



2









2



n1 

2

N 1

N 1 

Hay : H (e j) a(n) cos.ne

j





2 A(e j)e

(4.23)



n0 

Với các hệ số của chuỗi :

a(0) 

N 1

và a(n) 

N 1 n

khi n  1

(4.24)

h

2 

2h

2 

Từ (4.23), đặc biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 :

N 1 2

H (e j) 

a(n) cos(n)

n0

(4.25)

Với các hệ số a(n) phụ thuộc vào đáp ứng xung h(n) theo (4.24)

Đáp ứng pha : () N 1N 1

(4.26)

2



2 

Ví dụ:

Cho đáp ứng xung của bộ lọc số FIR pha tuyến tính



h(n)= -1 1 2 1 -1



Hãy xác định các đáp ứng

Giải :

Đáp ứng pha:

() và H (e j)

của bộ lọc.

N 1 5 1  2 () 2

2 2

Đáp ứng biên độ tần số :

2

Tính các hệ số a(n) :

H (e j) a(n) cos(n)

n0

a(0)=hN-1 =h(2)=2

2 

a(1) 



N 1 

 2h(1)  2

2h1

2 

a(2)=2h(2-2)=2h(0)=2

Theo giá trị các hệ số nhận được :

H (e j)  2  2cos()  2cos(2)

Đồ thị đáp ứng xung và đáp ứng biên độ tần số:

h(n)

2

1

0 1 2 3

4

n

-1

Hejω 

π

 π

2

0

π

2

π



Hình 4.14. Đáp ứng xung h(n) và đáp ứng biên độ tần số

4.3.2. Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 .

H (e jω ) .

Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 có () và N chẵn đáp ứng tần số là :

N 1

H (e j) h(n)ejn A(e j)ejn0

Vì N chẵn nên khai triển biểu thức trên thành tổng của hai thành phần :

2

N 1

H (e j) h(n)e j

n0

N 1



h(n)e j

nN

2

Đổi biến tổng thứ 2 , và biến đổi tương tự, nhân được :

2





N 

N 1 

H (e j) 

b(n) cosn 1e j2 





(4.27)

Với các hệ số :



n1

2 



b(n) 

N n

(4.28)

2h

2 

Từ đó có đáp ứng biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 :

N

2

H (e j) 

b(n) cosn 1 

(4.29)





n1



2 

Với các hệ số b(n) phụ thuộc vào đáp ứng xung h(n). Đáp ứng pha :

() N 1N 1

(4.30)

2

2





Ví dụ:

Cho đáp ứng xung của bộ lọc số FIR pha tuyến tính



h(n)= -1 1 1 -1 



Hãy xác định đáp ứng tần số () và

Giải :

H (e j)

của bộ lọc.

Đáp ứng pha : N 1 4 1  1,5 () 1,5

2

Đáp ứng biên độ tần số :

2

H (e j) 

2

2 



b(n) cosn 1 

Với các hệ số b(n):



n1





b(1) 

2 N 

h2



 2h(2 1)  2h(1)  2 ;

1



Vậy:

b(2)  2h(2  2)  2h(0) 2

H (e j)  2cos(0,5)  2cos(1,5)

Đồ thị đáp ứng xung và đáp ứng biên độ tần số:

Hejω 

π

 π

2

0

π

2

π



h( n )

1 1

0 1 2 3

n

Hình 4.15. Đáp ứng xung h(n) và đáp ứng biên độ tần số Hbp (ejw) .

4.3.3. Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3

Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 có () 



N 1

H (e j) h(n)ejn A(e j)ej

n0

và N lẻ, đáp ứng tần số là :

Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của 3 thành phần :

N 1

N 1

H (e j) 2

h(n)ejn hN 1ej2



N 1



h(n)ejn





n0



2 



nN 1

2 

Vì bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 có đáp ứng xung h(n) phản đối xứng nên tại

n=(N-1)/2 thì h(n)=0 . Do đó biểu thức trên có dạng :

2



N 11

H (e j) 

h(n)ejn 

n0

N 1

h(n)ejn

nN 11 2

Đổi biến tổng thứ hai, đặt m=(N-1-n) => n = (N-1-m), nhận được :

2

0

N 11

H (e j) 

h(n)ejn 

n0

h(N 1 m)ej( N 1m)

mN 11 2

Đổi lại biến m thành n và đảo chiều chỉ số của tổng thứ hai :

H (e j) 

N 11

2

h(n)ejn 

n0

N 11

2

h(N 1 n)ej( N 1n)

n0

Vì bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 có h(n) = - h(N-1-n), nên :

2

N 11

H (e j) 



n0

h(n)ejn ej( N 1n) 

Tiếp tục biến đổi tương tự, nhận được :

N 1



N 1 

2 j 

H (e j) c(n) sin(n)e 2 2 

(4.31)



n1

Với các hệ số :



N 1 



c(n)  2h n  2h(n)

(4.32)

2





Từ đó có đáp ứng biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3:

N 1 2

H (e jn ) 

c(n) sin(n)

n1

(4.33)





Với các hệ số c(n) phụ thuộc vào đáp ứng xung h(n).

Đáp ứng pha :

() N 1

2 2 

Suy ra :

Ví dụ:

N 1 và

2



2

(4.34)

Cho đáp ứng xung của bộ lọc số FIR pha tuyến tính



h(n)= -1 -0,5 1,5 -0,5 1 



Hãy xác định đáp ứng tần số () và

Giải :

Đáp ứng pha tần số :

H (e j)

của bộ lọc.

N 17 11,5 () 3

2 2 2

Đáp ứng biên độ tần số:

Với các hệ số c(n):

2

H(ej) c(n).sin(.)

n1

c(1)  2.h(1)  2.h(3 1)  2.h(2)  2.1, 5  3

c(2)  2.h(1) 2.0, 5 1

c(3)  2.h(0) 2.1 2

Vậy H(ej) 3.sin() 2.sin(2) 2.sin(3)

Đồ thị đáp ứng xung và đáp ứng biên độ tần số:

h(n)

1,5

1

0 1

-0,5

-1

2

3

4

-0,5

5

6

n

-1

Hejω 

π π

2

0

π

2

π



Hình 4.16. Đáp ứng xung h(n) và đáp ứng biên độ tần số H (e j) .

4.3.4. Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4

Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 có () 



N 1

H (e j) h(n).ejn A(e j).ej

n0

và N chẵn, đáp ứng tần số là:

Vì N chẵn nên khai triển biểu thức thành tổng của hai phần:

N 1

2

N 1

H (e j) h(n).ejn h(n).ejn

n0

nN

2

Đổi biến tổng thứ hai, và biến đổi ta nhận được:

N

2 jN 1

j

1 2 2 

H (e

) d (n).sin .(n 

) .e 

(4.35)

n1

2

Với các hệ số:

d (n)  2.h( N n)

2

(4.36)

Từ đó có đáp ứng biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4:

N

2

H (e j) 

d (n).sin .(n 1)

(4.37)

n1

2 

)

Với các hệ số d(n) phụ thuộc vào đáp ứng xung h(n) theo (4.36)

Đáp ứng pha:

() 



( N 1 

Suy ra:

Ví dụ 4:

N 1

2

2 2

và 

2

(4.38)

Cho đáp ứng xung của bộ lọc số FIR pha tuyến tính



h(n)= 1 -1 1 -1 



Hãy xác định đáp ứng tần số () và

Giải:

Ta có đáp ứng pha:

H (e j)

của bộ lọc.

N 14 11,5 () 

1,5

Đáp ứng biên độ tần số:

2 2 2

j2 1 

H(e

) d(n).sin .(n )

Với các hệ số c(n) :

n1

2 

Vậy

d(1) 2.h( N 1) 2.h(1) 2 ;

2

d(2) 2.h(2 2) 2.h(0) 2

H(ej) 2sin(0,5) 2sin(1,5)

Đồ thị đáp ứng xung và đáp ứng biên độ tần số:

Hejω 

π

 π

2

0

π

2

π



h(n)

1 1

0 1 2 3 n

-1 -1

Hình 4.17. Đáp ứng xung h(n) và đáp ứng biên độ tần số H(ej) .

4.4. Tổng hợp bộ lọc số FIR bằng phương pháp cửa sổ

4.4.1. Giới thiệu

Có ba phương pháp cơ bản để tổng hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính

1. Phương pháp cửa sổ .

2. Phương pháp lấy mẫu tần số.

3. Phương pháp lặp tối ưu .

Mỗi phương pháp có những ưu nhược điểm nhất định, tùy theo yêu cầu cụ thể của bài toán. Trong phần này tập trung vào phương pháp cửa sổ để tổng hợp bộ lọc số

FIR pha tuyến tính. Các hàm cửa sổ

- Cửa sổ chữ nhật

- Cửa sổ tam giác

- Cửa sổ hanning

w(n)N thường được sử dụng là :

wR (n)N

wT (n)N

wT (n)N

- Cửa sổ hamming wHam (n)N

- Cửa sổ cosin wc (n)N

p



Ngoài ra, người ta còn sử dụng một số hàm cửa sổ khác phức tạp hơn. Cửa sổ chữ nhật có đặc tính biến động tần số với sườn dốc hơn ( nhỏ hơn), nhưng độ



nhấp nhô 1

và 2

cao hơn cửa sổ tam giác. Các cửa sổ cosin. Hanning, và Hamming

p

có các tham số dung hoà giữa hai loại cửa sổ trên. Cửa sổ cosin có sườn dốc nhất ( 

1

nhỏ nhất), còn cửa sổ Hamming có độ nhấp nhô 

và 

nhỏ nhất.

2

4.4.2. Các bước tổng hợp bộ lọc số theo phương pháp cửa sổ

Tổng hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 theo phương pháp cửa sổ được thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: Xác định pha ()

loại bộ lọc cần tổng hợp.

và đáp ứng xung h(n) của bộ lọc số lý tưởng cùng

() .( N 1)

2

(4.39)

Bước 2: Chọn cửa sổ hàm số w(n)N và chiều dài N của nó. Trong miền thời gian hàm cửa sổ w(n)N có tâm đối xứng tại n = (N - 1)/ 2, nên trong miền tần số đáp ứng tần số HN(ejw) có pha tuyến tính dạng:



() .( N 1)

N2

(4.40)

Bước 3: Xác định đáp ứng xung h(n) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính cần tổng hợp theo biểu thức:

h(n)N h(n)w(n)N

(4.41)

Bước 4: Xác định đáp ứng tần số HN(ejw) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính cần tổng hợp:

H (e j) FT h(n)

A

(e j).ej

(4.42)

N N N

Bước 5: Kiểm tra đáp ứng biên độ tần số H (e j) A

(e j)

có đạt các chỉ tiêu

N N

kỹ thuật đã cho.

j

Nếu đạt thì giảm độ dài N và làm lại các bước trên cho dến khi chọn lại hàm cửa sổ w(n)N . Sau đó, thực hiện lại các bước trên cho đến khi chọn được Nmin để biên

độ tần số

HN (e )

của bộ lọc cần tổng hợp đạt được tất cả các chỉ tiêu đã cho .

4.4.3. Một số cửa sổ thường dùng tổng hợp bộ lọc số FIR

a. Cửa sổ chữ nhật

Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ chữ nhật được định nghĩa như sau:

1 0 n N-1

wR (n)N 

0 n cßn l¹i

Đồ thị cửa sổ chữ nhật:

wR (n)N

(4.43)

1

------ n

0 1 2 N-1 N

Hình 4.18. Đồ thị cửa sổ chữ nhật.

j

Hiện tượng Gibbs:

Đáp ứng biên độ tần số

Hlp (e ) của các bộ lọc số lý tưởng có dạng chữ nhật và

c

có điểm gián đoạn loại một tại tần số cắt

. Vì thế đáp ứng xung h(n) của chúng là