Định Lý 2.1 (Định Lý Cronecker – Capelli, N Là Số Ẩn Số Của Hệ Phương Trình)

x xx

a x x

x a x

....... x x





.......

n n

8) xxx

9) x x a

........

x x ; 10)



........

n n

x

x

x

................................

......................................

x	x	x			x x x ........ a x				
					x x x ........ x a				

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.

............ n

Baøi 1.8Tìm hạng các ma trận sau (biện luận theo m):

........

n 





 1 7 5 3 2





 0 4 2 2 0 

1) 

2) 

3) 4) 

m  2 2 4 0 1 



m  3 1 7 1 3 

Baøi 1.9Chứng minh rằng:

a) Nếu A, B là các ma trận vuông khả nghịch cấp n và AB = BA thì A-1B-1 = B-1A-1

b) Nếu A1, A2, …., Aklà các ma trận vuông khả nghịch cấp n thì (A1.A2….Ak)-1

= A 1.A 1

......A 1.A 1

k k1

Bài 1.10

2 1

m







1) Cho ma trận A = m . Tìm các giá trị của m để r(A) = 2.

m 





2) Cho ma trận A = 





. Tìm các giá trị m để r(A) = 3.











m 

Baøi 1.11Tìm hạng các ma trậnsau:



1 3

5  1

0 2

 4 

a) 2

5

 1  3

1  1

2



b) 4

7 

 1 3  2

 2 5 1

4





c)

 1  4 5 



 3 1 7 





7 7 9 

2

 1 1 8 2

 10

 2 3 0 

1 1 22 1 2

3  4 5 

Bài 1.12Cho các ma trận: A = 1 2 3, B =  3 2 6, C =  2  3 1 









a) Tìm A-1

1 1 1 1 1  5  1





1 2 

1 2 1

b) Tìm các ma trận X, Y sau cho: AX =

1 1 , YA = 

Làm tương tự đối với các ma trận B, C.



0 2

1 3 4

Bài 1.13Giải các phương trình sau (là ẩn)

2 -

a) 2 3

3 

4 

= 0 b)

5 

 3

 4 

 4

5 

= 0 c)

1 

 1

1 

 1

1 = 0







Bài 1.14Cho ma trận A = 1 2

3 2

a) Tìm đa thức bậc hai f(x) =

1 x

2 x

( f(x) = det(A-xI))

b) Tính f(A) rồi dựa vào kết quả đó suy ra biểu thức tính A-1 theo A.

3 1 1





Bài 1.15Cho ma trận A = 1 3 1



1 

a) Tính f(x) = det(A-xI)

b) Tính f(A) rồi dựa vào kết quả đó suy ra biểu thức tính A-1 theo A.



Bài 1.16Cho ma trận A = a

c

bthỏa điều kiện ad-bc 0.



d 

a) Tìm đa thức bậc hai f(x) = det(A-xI)

b) Tính f(A) rồi dựa vào kết quả đó suy ra biểu thức tính A-1 theo A.



Bài 1.17a)Cho ma trận A = a

c

bthỏa điều kiện ad-bc 0. Chứng minh



d 

1 1

d b 

A .

ad bc c a 

b) Chứng minh đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

(x1 , y1 ) và

(x2 , y2 )

trong

mặt phẳng

0xy có phương trình: x1

y 1

y1 1  0

y2 1

Bài 1.18Ma trận vuông AM n() gọi là đối xứng nếu

AT A . Chứng minh rằng

nếu A, B M n() đối xứng và thì (A+B) cũng là ma trận đối xứng.

Bài 1.19

a) Chứng minh rằng nếu AM n() khả nghịch thì nguyên.

det Ak

 (det A) k

với mọi k là số

b) Ma trận vuông AM n() gọi là trực giao nếu A A I . Chứng minh rằng nếu

AM n () trực giao thì det(A) =  1.

Bài 1.20Cho ma trận AM n(), BM n() và. Chứng minh rằng:

a) det(A) =n det(A).

b) Nếu A khả nghịch và0 thì ma trậnA cũng khả nghịch.

c) Nếu tích AB khả nghịch thì A, B là các ma trận khả nghịch.

Bài 1.21Cho ma trận AM n(). Chứng minh rằng có không quá n giá trị khác nhau trong  sao cho det( A I )  0 .

Bài 1.22Ma trận

A*= a*

M n() gọi là ma trận rút gọn bậc thang tối giản

r ij

mn

nếu nó thỏa đồng thời bốn tính chất sau:

(i) Trên các hàng khác zêro (hàng mà có ít nhất một phần tử khác 0), phần tử khác 0 đầu tiên là số 1.

(ii) Trên cột có số 1 nói ở (i), các phần tử còn lại đều bằng 0.

(iii) Nếu phần tử khác 0 đầu tiên của hàng 1, 2, …, k có chỉ số cột là

j1 , j2 ,..., jk thì

j1 

j2  ... 

jk. (Tức là, các số khác 0 đầu tiên trên mỗi hàng xếp theo thứ tự bậc

thang từ trên xuống dưới và từ trái sang phải)

(iv) Các hàng zêro (nếu có) ở phía dưới các hàng khác zêro(hàng zêro là hàng mà tất cả các phần tử đều bằng 0).

Trình bày thuật toán áp dụng các phép biến đổi sơ cấp hàng để đưa ma trận

A = [aij]mxnMn() về ma trận rút gọn bậc thang tối giản

Bài 1.23

a) Anh (chị) hãy nêu (tên) các cách tìm ma trận đảo.

A* .

1 1



2 

 1



 1 2



 1 1 2

b) Tìm ma trận X thỏa:

X 2 1  32 1

 4.

0 2 2 4



Bài 1.24

1 2







a) Nếu A, B, C là ba ma trận thỏa

AB AC

và det A  0

thì

B C .

b) Nếu A là ma trận vuông thỏa

Bài 1.25

A2  0

thì (I A) 1 I A .

a) Chứng minh rằng không tồn tại ma trận cấp

2  2

A và B sao cho

AB BA I .

b) Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng

AB BA

nếu và chỉ nếu

( A B)2 A2  2 AB B2

Chương 2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chương này gồm các nội dung sau:

Khái niệm hệ phương trình tuyến tính, một số khái niệm liên quan hệ phương trình tuyến tính;

Định lý cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính;

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss-Jordan;

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer;

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận đảo;

Khái niệm hệ phương trình tuyến tính thuanà nhất;

Định lý cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính thuần nhất;

Cách giải hệ phương trình thuần nhất;

Một số ứng dụng hệ phương trình tuyến tính.

§1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Trong bài này, bạn sẽ học

-----------------------------------------------------------------------------------------

Khái niệm hệ phương trình tuyến tính;

Định lý cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính;

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss và thế lùi, phương pháp Gauss-Jordan;

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer;

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận đảo;

------------------------------------------------------------------------------------------

1.1.Ñònh nghóa hệ phương trình tuyến tính (trong định nghĩa này có thể thay  bởi )

Một hệ phương trình tuyến tính trên  là hệ thống gồm m phương trình bậc nhất (n ẩn số) có dạng tổng quát như sau:

a11x1  a12 x 2  .....  a1n x n

 b1

a11

a12

a1n x1 

b1 



a 21x1

 a 22 x 2

 ....  a 2n x n

 b 2



(1) a21

a22







a2n x2 





= b2 



...............................................











a m1x1  a m2 x 2 ....  a mn x n

 b m

am1 am2

amn xn 

bm 



A X B

A X = B



Trong đó aij ( gọi là các hệ số) và bi ( gọi là các hệ số tự do) là các số cho trước, các xjlà các ẩn cần tìm (trong ).



a11

- Ma trận A = a21

a12

a22

a1n 

a2n gọi là ma trận hệ số của hệ phương trình (1).



a



a a 

m1 m2

b1 

mn 



- Ma trận B = b2

gọi là ma trận cột các hệ số tự do.





m 

x1 



- Ma trận X = x2

gọi là ma trận cột các ẩn số.





n 

- Ma trận

a11



a

A 21

a12 ..........a1n : b1

a 22 .........a 2n : b2





= A Bgọi là ma trận hệ số bổ sung của

............................... 





a m1 a ........a mn : bm 

hệ phương trình tuyến tính (1) hoặc gọi tắt là ma trận bổ sung.

- Nghiệm của hệ (1) là bộ số (c1, c2, ….., cn) sao cho khi thay xibởi cithì tất cả các phương trình của hệ đều thỏa.

- Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.

- Một hệ phương trình tuyến tính gọi là tương thích nếu nó có nghiệm.

Ví dụ 2.1

x1



x2





 10x4

 15x4

x3  3x4

 2x5

 3x5

 7x5

 1

 2 là hệ phương trình tuyến tính gồm 3

 3

phương trình 5 ẩn có ma trận hệ số, ma trận bổ sung, ma trận cột ẩn số, ma trận cột hệ số tự do lần lượt là

x1 

1

0 10 2

1

0 10 2 :1



0 



15 3 ,

 0

0  15 3 : 2





x2 1 

A = ,

X x , B  2



3 

 0 0 1

3 7 

 0 0 1

3 7 : 3

x 

3





Cho

x4 , x5 và tính x1, x2, x3 theo

x4 , x5

x5 

thì mọi nghiệm của hệ đều có dạng

(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (1  10 2,2  15 3,3  3 7,,)

,

 và nghiệm

này gọi là nghiệm tổng quát của hệ. Trong cấu trúc nghiệm tổng quát này có hai

ẩn tự do là x4 , x5 , ,.

Một nghiệm (riêng) của hệ là

(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )

= (1,2,3,0,0)

có được bằng cách cho

 0

và

 0 .

Định lý sau đây chỉ ra cấu trúc nghiệm (số nghiệm) hệ phương trình tuyến tính tổng quát dựa vào hạng ma trận hệ số và ma trận bổ sung của hệ.

1.2 . Định lý 2.1 (Định lý Cronecker – Capelli, n là số ẩn số của hệ phương trình)

i) r(A) = r( A ) = n khi và chỉ khi hệ phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

ii) r(A) = r( A ) < n khi và chỉ khi hệ phương trình (1) có vô số nghiệm. khi đó có n-r(A) ẩn số tự do.

iii) r(A) < r( A ) khi và chỉ khi hệ phương trình (1) vô nghiệm.

iv) r(A) = r( A ) khi và chỉ khi hệ phương trình (1) có nghiệm (hệ tương thích).

Ví dụ 2.2 Biện luận theo tham số m số nghiệm hệ phương trình sau

x1

2x

 2x2

 3x

 3x3  4

 4x  5

1 2 3

4x  5x  6x m

1 2 3

Giải



1 2 3 : 4 1 2 3 : 4 

1 2 3 : 4 

h2 2h1 

A  2 3 4 : 5  0  1  2 :  3 h33h2 0  1  2 :  3

 4 5

6 : m h3 4h1 0

 3  6

: m  16

 0 0

0 : m  7 





A 

-Trường hợp

m  7 : r( A)  2  3 r( A)

nên hệ phương trình vô nghiệm.

-Trường hợp

m  7 :

r( A) r( A)  2  3 số ẩn nên hệ phương trình có vô số

nghiệm và có 1 ẩn tự do.

1.3- Phương pháp Gauss (Gauss – Jordan, phép thế lùi)

Để giải một hệ phương trình tuyến tính, chúng ta biến đổi tương đương hệ phương trình về dạng đơn giản (tương tự hệ đã cho trong ví dụ 2.1). Mỗi hệ phương trình tuyến tính tương ứng với ma trận bổ sung của nó và ngược lại. Do đó, phép biến đổi tương đương trên hệ phương trình tương ứng phép biến đổi hàng trên ma trận bổ sung, cụ thể như sau:

Phép biến đổi tương đương trên hệ phương trình

Phép biến đổi sơ cấp hàng ma trận bổ sung
Đổi chỗ hai phương trình thứ i và thứ j	Hoán vị hàng i và hàng j: hih j
Nhân số 0 vào hai vế phương trình thứ i	Nhân số 0 vào hàng i:hi, 0
Phương trình i cộng(trừ)lần phương trình j, i j	Hàng i cộng (trừ)lần hàng j : hi h j , i j

Các bước giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (Gauss– Jordan):

Bước 1Lập ma trận bổ sung A .

biến đổi sơ

Bước 2A

 ............. 

cấp hàng

Ar , với ma trận Ar

thỏa 2 tính chất sau:

- Các số phía dưới số khác 0 đầu tiên trên mỗi hàng đều bằng 0.

- Các số khác 0 đầu tiên trên mỗi hàng xếp theo thứ tự bậc thang từ trên xuống dưới và từ trái sang phải.