Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 2

A0 = I , A1 = A , A2 = AA, …, Ak = Ak 1 A =

A.A...........A

k-lần

1 2

2 0 1 2 3



Ví dụ 1.4 Cho

A  1

, B 

3 3

. Tính AB ,

 1 4

A , A ; giải thích vì sao

không tồn tại ma trận BA .

Giải

1 22 0 1 

2  6

0  2

1  8 

8  2 9 

AB =  1 33



 1 4

=  2  9

0  3

 1  12= 7 



3

11

2 1

21 2

1  2

2  6 

 1 8 

A =  1



3  1

= 

3  1  3

 2  9=  4 7 



3 2  1

8 1

2 9 22

A = A A =  4



7  1

= 

3  11 13



Vì B có 3 cột và A có 2 hàng nên không tồn tại BA .

ÑN

f) Phép chuyển vị: Ma trận chuyển vị của A = [aij]mxn, ký hiệu

AT, là ma trận xác

định bởi AT [ aT ]

với

aT= a ; tức là ATcó được từ A bằng cách chuyển hàng

ji

thành cột.

Ví dụ 1.5

2 6

nxm

1 

ji ij





2 3

T

a) Với

A 

 3 8

thì

4

A =  6

1





8 .

4





2 6

b) Với

 3



B 







7 thì BT 2

 3 5 0

.



9

5





 0 8 

 6 7

9 8

1.2.2- Tính chất của các phép toán về ma trận

Với mọi ma trận A, B, C có cấp thích hợp để thực hiện được các phép toán và với mọi số , K.

 A + B = B + A

 A + (B + C) = (A + B) + C

 Amxn + 0mxn = Amxn

 (A B) = A B (+ )A = A + A

 A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC

 Amxn.0nxp = 0mxp = 0mxk.Akxp

 0Amxn = 0mxn , 0mxn = 0mxn

 (AB)C = A(BC) = ABC

 (A + B)T = AT + BT , (AB)T = BTAT (ABC)T = CTBTAT

11 ImAmxn = Amxn = AmxnIn.

12 Nếu A = [aij]nxn thì AIn = A = In A

 (A) = ()A = (A)

(AB) = A(B) = (A)B

 Chú yù Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán.

Ví dụ 1.6

2 1 2

 2 1 0

2 0



T T

a) Cho

A 

6 1

, B 

4 3

, C  1

3

2 2

1 . Tính

(3A  2B)C , C A .





2



b) Cho

1



A  2

1





2 1 





0 1 và f(x) = 3x2 + 2x - 4. Tính

2

1 

f ( A) .

2





2 1 2 0

11 5

Giải

 2 1

02 0

 3 1





a) AC = 

6 1

 1

4

1 = 

25

; BC 

9 3

 1

3

2 2

1 = 

2

14 6

3

2







11 5



 3 1





39





13

(3A  2B)C = 3AC  2BC = 3 

25

-2 

9 14

= 

6 47 15

C T AT =

( AC)T

11





 5



25



9 

1 2



11



2 1



6 3 5



b) A2 AA  2 0 1 2 0 1=  3 5 4

1

2 1

2

5

4

1

1

4





6 3 5



1 2 1



1 0



016



13 17 





f ( A) =

3A2  2 A  4I = 3  3 5 4+2  2 0 1 4 0 1

0= 13

11 14.

5

4

1

2

4

1







0

1



0

17



14 12

1.3 - Phép biến đổi sơ cấp hàng – Hạng của ma trận

1.3.1 - Ñònh nghóa

Có 3 loại phép biến đổi sơ cấp hàng (elementary rows operations)

Loại 1 Hoán vị hai hàng : hihj

Loại 2 Nhân một số khác 0 vào một hàng : hihi, 0

Loại 3 Thay một hàng bởi hàng đó cộng với lần hàng khác

hi + hj hi , ij.

Kết hợp loại 2 và loại 3 ta được : hi+ hjhi, 0, ij.

1.3.2 -Ma trận tương đương hàng

biến đổi sơ

Nếu từ ma trận A 

.............

cấp hàng

B thì ma trận A gọi là tương đương hàng với ma

trận B , ký hiệu A B.

ÑN biến đổi sơ

Vậy : A B

A 

.............

cấp hàng

B.

0 1 2

1  1 3

1  1 3 

Ví dụ 1.7

A  1



 1 3 hh 0 1



2 h2h 0 1 2



 2 4 1 

1 2 

2



4 1 

3 1 

 0 6



 5



B



C

1  1



h36h2 0 1

3 



2 = D

0



0



 17 

Khi đó, A B, A C, A D, B C,….

1.3.3- Ma trận rút gọn bậc thang

Ma trận Ar= [aij]mxn gọi là ma trận rút gọn bậc thang nếu nó thỏa đồng thời 3 tính chất sau:

- Các số phía dưới số khác 0 đầu tiên trên mỗi hàng đều bằng 0.

- Các số khác 0 đầu tiên trên mỗi hàng xếp theo thứ tự bậc thang từ trên xuống dưới và từ trái sang phải.

 - Các hàng zêro nằm phía dưới các hàng khác zêro (hàng zêro là hàng mà tất cả các số hạng đều bằng 0).

Ví dụ 1.8

2 3 1



 17 





a) A  0 0 7

0

 0 0

9 là ma trận rút gọn bậc thang.



0 

5



0

b) B 0



 0

2



0 9 7 



3

6 4 3là ma trận rút gọn bậc thang.

0 0 

0 0 0

3 1 8



c) C  0

0





0 7 9không là ma trận rút gọn bậc thang vì không thỏa tính chất .

6



5 0 

1.3.4 -Hạng ma trận

Hạng ma trận A = [aij]mxn , ký hiệu là r( A) , là một số xác định như sau



Từ ma trận A .................  A r

Biến đổi sơ





với A rlà ma trận rút gọn bậc thang

cấp hàng

thì r( A) số hàng khác zêro của A



r

Ví dụ 1.9

2 3 1 8 

2 3 1 8 

a) Ma trận

A  0 0

h h 





 1 9 23 0 3 0





2 = A

Suy ra



0





r( A)  3 .

1



2

3 0 

3 1 2 



0

 0

1 3

r

9

 1 

1 2

b) Ma trận

B  1

h h 

3 0 10 21 0 0



 1 8



h 2h 

2



0

8

6

1



0

12

3 1 





1 3

 1 

1 2

Suy ra

r(B)  2 .

h3h2 0 0

0



 0





 1 8 Br

0

0 

Ví dụ 1.10 Với m là tham số, hãy tìm hạng của ma trận sau:

1 2 3 







a) A = 2 3 4 

3 4 5



1



b) A  1



1 m 2 

m



m 1 m 





 4 5 m 

a) Ta có

Giải

m 1 1 1 





Có thể bạn quan tâm!

• Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 1
• Cách Tìm Ma Trận Đảo Và Ứng Dụng Giải Phương Trình Ma Trận
• Định Lý 2.1 (Định Lý Cronecker – Capelli, N Là Số Ẩn Số Của Hệ Phương Trình)
• Phương Pháp Cramer (Hệ Có N Phương Trình, N Ẩn Số)

Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.



 3 4 5 h4 4h1  0  2

 4 h4 3h2  0 0 0 

 4 5 m 

1 2 3 



 0  3 m  12

 0 0

m  6

h3 h4  0  1  2 

= A . Suy ra r(A) = 2

khi

m 6 .

0



0



3



m  6r

khi

m 6

 0 0

b)

 1 1

0 

m m 2 

 1 1 m

m 2 

h2 h1 

h3 h2 



r

A  0

m  1

1 m

m m 2 

 0 m  1

1 m

m m 2 A







h3 mh1

 0

1 m

1 m 2

1 m3 

 0 0

2 m m 2

1 m m 2 m3 

Khi m  1 thì

1



Ar  0

0





1 1 1





0 0 0

0

0 0 

nên

r( A)  1.

Khi m  1 thì

 Tính chất

Arcó 3 hàng khác zêro nên r( A)  3 .

i) r( A) r( AT) . Suy ra khi tìm hạng ma trận có thể biến đổi sơ cấp cột.

ii) Nếu A B thì r(A) = r(B).

iii) Nếu A = [aij]mxn thì r(A) min m,n.

1  2

.



Ví dụ 1.12 Tìm hạng ma trận

A  2 5 

6







9



7





5 

T 1

2 7 6

h  2h

1 2

Giải



7 6 T



A 

A

r

 2 5 9

2

5

1

 0 9

23 17 Ar

r( A) r( AT ) 

số hàng khác zêro của T

= 2.

Đ2. ĐỊNH THỨC

Trong bài này, bạn sẽ học

-----------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa và cách tính định thức;

Các tính chất định thức;

Hai cách thường sử dụng để tính định thức;

Áp dụng định thức tìm hạng ma trận.

-----------------------------------------------------------------------------------------

2.1-Định nghĩa - Cách tính

Ký hiệu định thức của ma trận vuông A = [aij]nxn là detA hay A.

* Định thức cấp 1: Với A = (a11) thì detA = a11.

* Định thức cấp 2: detA = A= a b

c d

= ad - bc.

a

* Định thức cấp 3: detA = a

a

aaa

aaa

= (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)

-(a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12).

Quy tắc đường chéo

a11

a12

a13 a11 a12

a21

a22

a 23 a21 a22

=(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32)-(a31a22a13+a32a23a11+ a33a21a12).

a31

a32

a33

a31 a32

* Định thức cấp n (n 2)

detA = aij 1

n

ij

n

ij

Mij

= aij 1

Mij

, với Mij là định thức cấp (n-1) có



j1

Khai triển hàng i

i1

Khai triển cột j

từ A bằng cách bỏ hàng i và cột j và (1)ij M ij gọi là phần phụ đại số của aij.

2 0 1

Ví dụ 1.12 Tính các định thức: a)  1 3 2

1 1 1

3

b) 0 0

2

2 0 1

 1 3 2

1 1 1

3 0 4

Giải

2 0

a)  1 3

1 1

1

2 = (6  0  1)  (3  4  0) 2

1

b) Khai triển định thức theo cột 1

 1 3 2

2 0 1

= 3 1 1 1 + 0 + 0 + 2  1 3 2

3 0 4 1 1 1

= 3[(4  9  0)  (6  0  12)]  2(2) = -39 – 4 = -43.

2.2- Tính chất của định thức

 detA = detAT. Suy ra mọi tính chất của định thức nếu đã đúng với hàng thì cũng đúng với cột và ngược lại. Do đó các tính chất tiếp theo sau đây ta chỉ cần phát biểu đối với hàng.

 det(AB) = detAdetB.

 Hoán vị hai hàng (cột) thì định thức đổi dấu. Tức là,

h h

nếu AijBthì A= -B

h h

i

(hoặc viết gọn A

j

-B)

Vậy nếu định thức có hai hàng (cột) giống nhau thì định thức bằng 0.

 Nếu nhân một hàng (cột) của định thức với một số 0

lần. Tức là,

thì định thức tăng lên 

nếu A

h h

ii

Bthì A= 1 B,





h

 0

(hoặc viết gọn A

i 1 B, 0 )



Vậy thừa số chung của một hàng (cột) có thể đặt ra ngoài dấu định thức.

 Khi thực hiện phép biến đổi sơ cấp loại 3 trên hàng hay cột thì định thức không đổi. Tức là,

h h h

nếu A

iji

Bthì A= B

h h i j

(hoặc viết gọn A

B, i j )

 Nếu định thức có hai hàng (cột) tỷ lệ thì định thức bằng 0.

 Nếu định thức có một hàng(cột) zero thì định thức bằng 0 (hàng zêro là hàng mà các số hạng đều bằng 0).

 Nếu mỗi số hạng ở một hàng của detA là tổng của hai số thì detA bằng tổng hai định thức: Định thức thứ nhất suy từ A bằng cách thay mỗi số hạng ở hàng nói trên nói trên bởi một trong hai số hạng của nó. Định thức thứ hai có đươc bằng cách thay số hạng còn lại:

a a'

b b'

c c'

a b c

a' b' c'

ab

ab

ca

ca

bc

bc

aa

bc

bc

 Định thức ma trận tam giác (tam giác trên , tam giác dưới) bằng tích các số trên đường chéo.

Thông thường, khi tính định thức chúng ta làm như sau:

Cách 1Áp dụng các tính chất định thức để biến đổi định thức có một hàng hoặc một cột thật nhiều số 0 rồi khai triển định thức theo hàng hoặc cột đó.

Cách 2Áp dụng các tính chất định thức để biến đổi định thức về dạng định thức ma trận tam giác. Khi đó, định thức bằng tích các số trên đường chéo.

Ví dụ 1.13 Tính các định thức sau

1 a b

d) 1 a' b

1 a b'

1 a' b'

ab a' b

ab' a' b'

1 1

a)  1 2

2 2

3

 3 = 0 vì cột 1 và cột 3 tỷ lệ.

6

1 1 3

b) 1 2 2

2 2 5

h2 h1 ;h3 2h1



1 1 3

0 1  1

0 0  1

= -1

1

c) 0

2 3 4

3 4 1

1 2 3

h4 h1 ;h3 h1 0 3 4



4 1 2 3

1 h3 h2 0 3 4



4 1 2 3

1 h4 h3 0 3 4



4

1 = -15.