Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 7

x

x

x

x

x

x

x 

x 



x x x mx 



Bài 2.23

x

x

x

x 

a) Anh (chị) hãy nêu (tên) các cách giải hệ phương trình tuyến tính.

b) Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình sau:

x



2x



3x

 2 y

 3y

 5 y

z

 3z

mz

 1

 5

m

Bài 2.24Chứng minh mệnh đề (i), (ii) của định lý 2.4.

Có thể bạn quan tâm!

• Định Lý 2.1 (Định Lý Cronecker – Capelli, N Là Số Ẩn Số Của Hệ Phương Trình)
• Phương Pháp Cramer (Hệ Có N Phương Trình, N Ẩn Số)
• Định Lý 2.4Ù Cho Hai Hệ Phương Trình Tuyến Tính
• Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 8
• Tổ Hợp Tuyến Tính-Không Gian Con Sinh Bởi Một Tập Hợp
• Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 10

Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.

Bài 2.25Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình:





Bài 2.25Giải và biện luận theo tham số m các hệ phương trình:

x1



a) 





x1



b) 2x

x

 2x2 4x2 7x2

x2

 2x2

 4x

 4x3

 2x3

 2x3

x3

 2x3

 2x

x4

x4

 3x5

 3x5

 4x5

x5

x5

 5x

x6

x6

x

 152

 60

m

 7

 26

m

1 2 3 5 6

Chương 3

KHÔNG GIAN VECTƠ

Trong chương này, bạn sẽ học:

Khái niệm không gian vectơ, không gian con;

Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính;

Tập sinh, không gian vectơ sinh bởi một tập hợp;

Cơ sở, số chiều;

Hạng của một hệ vecơ;

Chuyển cơ sở, đổi tọa độ;

Khái niệm tích vô hướng và không gian Euclide;

Độ dài vectơ;

Trực giao, trực chuẩn, thuật toán trực giao Gram-Schmidt;

Hình chiếu của một vectơ trên một không gian con và minh họa ứng dụng vào xấp xỉ vectơ ( xấp xỉ hàm số);

Ôn tập tích có hướng và tích hỗn vectơ hình học trong 3;

Các mặt bậc hai và một số ứng dụng.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Các bạn sinh viên thân mến,

Đây là chương khó nhất trong tất cả các chương của tài liệu này. Quan sát của chúng tôi qua nhiều năm giảng dạy thì số sinh viên không hiểu hoặc hiểu rất ít chiếm tỷ lệ khá lớn. Nhiều bạn sinh viên thú thật là không hiểu hoặc hiểu một cách rời rạc các khái niệm và chỉ biết làm theo một cách máy móc các ví dụ hoặc bài tập mà giáo viên trình bày. Một số bạn sinh viên khác cũng chỉ biết làm theo mẫu và khi đề thi ra đúng mẫu đã làm thì làm theo và thi đậu với điểm tương đối khá, rồi ngộ nhận mình đã hiểu bài nhưng thực tế thì vẫn chưa hiểu bài hoặc hiểu rất ít (tưởng mình khá giỏi nhưng thực sự không phải vậy). Các bạn chưa thấy được sự liên kết chặt chẽ hệ thống các

khái niệm và các minh họa phong phú của chúng trong toán học, kỹ thuật, công nghệ và đời sống. Chương này có nhiều khái niệm hình thức, phổ quát, trừu tượng, khó hiểu; các khái niệm hay, đẹp và nhiều ứng dụng vào thực tiễn.

Quan sát qua nhiều năm giảng dạy và nhiều tài liệu viết về chương này, chúng tôi thấy rằng: Cách trình bày các khái niệm dạng cấu trúc hình thức, trừu tượng (cách này chặt chẽ và dễ trình bày) làm cho hầu hết sinh viên khó tiếp thu; bạn sinh viên nào chưa nắm vững kiến thức phần ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính cũng rất khó học chương này; cách trình bày trực quan hình học rồi mở rộng dần đến cấu trúc hình thức phổ quát trừu tượng (cũng đạt được tính chặt chẽ) kết hợp với nhiều ví dụ minh họa (thực tiễn) giúp phần lớn sinh viên hiểu bài sâu sắc hơn và biết cách ứng dụng kiến thức đã học vào thực tế. Do đó, để giúp các bạn sinh viên dễ hiểu và thấy được nhiều ứng dụng thực tiễn từ đó có nhiều hướng thú trong học tập, chúng tôi trình bày theo cách mở rộng dần từ những khái niệm mà bạn đọc đã học trong chương trình toán ở trường phổ thông, minh họa bằng nhiều ví dụ cụ thể và bỏ qua một số chứng minh phức tạp.

Chúng tôi tin và ủng hộ quan điểm sau: “Người học thật nhiều kiến thức mà không biết ứng dụng gì cho cuộc sống được hạnh phúc thì giống như con lừa thồ sách”.

Do đó, chúng tôi rất muốn trình bày cho bạn thấy rằng các kiến thức này có thể ứng dụng vào thực tiễn mang lại nhiều giá trị tốt cho cuộc sống. Tuy nhiên, vì đây là các kiến thức cơ bản, cần nắm vững rồi kết hợp các kiến thức chuyên ngành để giải các bài toán (vấn đề) cụ thể mới tạo ra giá trị tốt đẹp cho cuộc sống.

§0.MỞ ĐẦU

1.Tích Đề-các

Về mặt hình học, tập các số thực  được biểu diễn bởi các điểm trên đường thẳng, gọi là trục số thực ( trục Ox ) như hình vẽ sau

Với mỗi a , a được biểu diễn tương ứng với một điểm trên trục 0x cách gốc 0 một đoạn a , nằm về phía bên phải của gốc 0 nếu a > 0, nằm về phía bên trái của gốc 0 nếu a< 0. Mỗi số thực tương ứng với một điểm trên trục 0x và ngược lại.

Mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các Oxy , mỗi trục tọa độ tương ứng với tập số thực

, mỗi điểm tương ứng với một cặp thứ tự (a, b) , có thể biểu diễn dạng



ký hiệu

(a, b) : a , b  

2( ký hiệu là 2hoặc )

y

b

M (a, b)

0

a

x

2 Oxy

Tương tự, không gian với hệ trục tọa độ Đe-à các Oxyz , mỗi trục tọa độ tương ứng với tập số thực , mỗi điểm tương ứng với một bộ thứ tự (a, b, c) , có thể biểu diễn dạng



ký hiệu

(a, b, c) : a , b , c  

3( ký hiệu là 3hoặc )

Khi đó, 2(a, b) M OM

không gian Oxyz .

3 Oxyz

z

c

M (a, b, c)

O

b

y

a

x

trong mặt phẳng Oxy , 3 (a,b, c) M

OM

trong

Mở rộng ý tưởng trên, chúng ta xây dựng khái niệm tích Đề-các của các tập hợp khác bất kỳ như sau:

Tích Đề-các của hai tập hợp A và B là tập hợp bao gồm tất cả các cặp thứ tự

(a, b)

với

a A

và b B , ký hiệu A B .

ÑN

A B (a, b) :

a A

và b B 

Tích Đề-các của ba tập hợp

A, B , C

là tập hợp bao gồm tất cả các bộ ba thứ tự

(a, b, c)

với

a A , b B , c C

và ký hiệu

A B C .

A B C

ÑN

(a, b, c) :

a A , b B , c C 

 = (a, b, c) : a , b , c  = 3 Oxyz

Tích Đề-các của các tập hợp

A1 , A2 ,..., An

là tập hợp bao gồm tất cả các bộ thứ tự

(a1 , a2 ,..., an ) với ai Ai , ký hiệu

ÑN

A1 A2  ... An .

A1 A2  ... An

(a1 , a2 ,..., an ) : ai Ai

, i  1, n 

Khi

A1 A2

 ... An

A thì tập tích Đề-các

n

ÑN

A A  ... A ký hiệu gọn là An

A (a1 , a2 ,..., an ) :

ai A , i  1, n 

1 2 n i 1 2 n

Đặc biệt n(a , a ,..., a ) : a  , i  1, n , n(a , a ,..., a ) : a , i  1, n 

i

2.Cấu trúc Trường Cho tập hợp  có không ít hơn hai phần tử. Giả sử tập  được trang bị hai phép toán đại số:

* Phép toán cộng “+”:  (phép cộng hai phần tử thuộc  cho kết quả là một phần tử thuộc )

(a, b)  a b

* Phép toán nhân “.” :   (phép nhân hai phần tử thuộc  cho kết quả là một phần tử thuộc )

(a, b)  a.b

Khi đó  được gọi là một trường nếu 9 điều kiện sau được thỏa: a, b, c 

 Tính giao hoán của phép cộng : a + b = b + a

 Tính kết hợp của phép cộng : (a + b) + c = a + (b + c)

 Phần tử trung hòa của phép cộng: Trong tập  tồn tại phần tử không, ký hiệu là 0, sao cho a + 0 = a , a  .

 Phần tử đối: Với mỗi a bất kỳ thuộc , tồn tại phần tử đối của a, ký hiệu là –a, sao cho a + (-a) = 0.

 Tính giao hoán của phép nhân: a.b = b.a

 Tính kết hợp của phép nhân: (a.b) .c = a.(b.c)

 Phần tử đơn vị của phép nhân: Trong tập  tồn tại phần tử đơn vị, ký hiệu

là 1, sao cho 1.a a , a .

 Phần tử đảo: Với mỗi a 0 bất kỳ thuộc , tồn tại phần tử nghịch đảo của a, ký hiệu là a-1, sao cho a. a-1 = 1.

 Phép nhân phân phối đối với phép cộng: (a + b).c = a.c + b.c

 Trường số hữu tỷ Tập hợp tất cả các số hữu tỷ  với phép cộng ”+” và phép nhân “.” số hữu tỷ thông thường là một trường số .

 Trường số thực Tập hợp tất cả các số thực  với phép cộng ” +” và phép nhân “.” số thực thông thường là một trường số .

 Trường số phức Tập hợp tất cả các số phức  với phép cộng ” +” và phép

nhân “.” số phức là một trường số .

 Trường số nhị phân Tập hợp số nhị phân 2= 0,1

với phép cộng ” +” và

phép nhân “.” số nhị phân là một trường số . Đây là một trường số rất quan trọng trong công nghệ thông tin, điện tử viễn thông, kỹ thuật số. Hàng ngày, “đời sống số” của chúng ta bị điều khiển và chi phối bởi trường số này.

 Tập các số nguyên Tập hợp tất cả các số nguyên  với phép cộng ” +” và phép

nhân “.” số nguyên thông thường không là một trường số (vì phép nhân khơng có phần tử đảo).

 Tập các số tự nhiên Tập hợp tất cả các số tự nhiên  với phép cộng ” +” và

phép nhân “.” số tự nhiên thông thường không là một trường số (vì phép nhân khơng có phần tử đảo).

Các ký hiệu thường sử dụng trong chương này:

Tập các số tự nhiên

§1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTƠ

Trong môn hình học đã được học trong chương trình toán ở trường phổ thông, bạn đọc đã quen thuộc với các vectơ tự do (còn gọi là các vectơ hình học) với các phép toán cộng vectơ, nhân một số với một vectơ, tích vô hướng, …với nhiều tính chất quan trọng của các phép toán và có nhiều ứng dụng thực tiễn. Tuy nhiên, công cụ vectơ hình học còn nhiều hạn chế trong các ứng dụng thực tiễn. Chẳng hạn, khi cần biểu

diễn thông tin một chiếc máy bay đang bay gồm kinh độ (x) , vĩ độ ( y) , cao độ (z) ,

thời gian (t) , vận tốc bay (V ) , nhiệt độ (T ) , áp suất (P) , độ ẩm (H ) ,… thì vectơ hình học không thể biểu diễn cùng lúc đại lượng như thế này. Khi đó, để khắc phục nhượt điểm này, chúng ta mở rộng một cách rất tự nhiên không gian các vectơ hình học

thêm nhiều thành phần tương ứng như sau: (

x, y, z



tọa độ hình học

, t,V ,T , P, H ,...)

Trong chương này, chúng ta sẽ cùng nhau mở rộng không gian các vectơ hình học thành khái niệm phổ quát hơn là không gian vectơ và không gian Euclide đáp ứng được rất nhiều ứng dụng thực tiễn mà không gian các vectơ hình học không thực hiện được.

Trước tiên, với hai phép toán cộng vectơ và nhân một số với một vectơ

Trong mặt phẳng Oxy 2



thì hai phép toán này thỏa 8 tính chất sau: a, b và mọi số thực ,



ab b a (giao hoán)



a (b c )  (b a) c (kết hợp)



a 0 a (tồn tại phần tử trung hòa của phép cộng)