Trang chủ / Toán Cao Cấp

Cách Tìm Ma Trận Đảo Và Ứng Dụng Giải Phương Trình Ma Trận

1 a b

1

a

b'

ab'

h2 h1

0

0

b'b

a(b'b)


0

0

b'b

a(b'b)

1

a'

b'

a' b'


0

0

b'b

a' (b'b)


0

0

0

(b'b)(a'a)

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.

Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 3

d) 1 a' b

ab a' b

1

h4 h2 ,h3 h1 0

a b

a'a 0

ab b(a'a)

1

h4 h3 0

a b

a'a 0

ab b(a'a)


= (a'a) 2 (b'b) 2


2.3-Áp dụng định thức để tìm hạng ma trận Cho A = [aij]mxn

i) Từ ma trận A ta chọn ra k hàng và k cột tùy ý, với k hàng và k cột vừa chọn ra ta lập được một định thức cấp k, định thức này gọi là định thức con cấp k của A.

ii) r( A) = cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A.



Ví dụ 1.14 Áp dụng định thức tìm hạng ma trận


Giải

2 1

A 1 4

3

6

0 3

2 1

7

2


Xét các định thức con cấp 3 của A:


2

1

0


2

1

3


2

0

3


1

0

3


1

4

2

0 ,

1

4

1

0 ,

1

2

1

0 ,

4

2

1

0

3

6

2


3

6

7


3

2

7


6

2

7



Suy ra,

r( A) 3.

Xét tiếp định thức con cấp 2 của A: 2

1

1 9 0

4

Suy ra, r( A) 2.


1 1 0 3

Ví dụ 1.15 Áp dụng định thức tìm hạng ma trận


Giải

A 1 4 2 1

0

7

6 2



1

1

0


Xét các định thức con cấp 3 của A:

1

4

2

= 6 0


0

6

2


Suy ra, r( A) 3.





Đ3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Trong bài này, bạn sẽ học

-----------------------------------------------------------------------------------------

Khái niệm ma trận khả nghịch và ma trận đảo của một ma trận vuông;

Các tính chất ma trận khả nghịch;

Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông khả nghịch;

Hai cách cơ bản tìm ma trận đảo của một ma trận khả nghịch;

Ứng dụng ma trận đảo để giải phương trình ma trận và hệ phương trình tuyến tính.

------------------------------------------------------------------------------------------


3.1. Ñònh nghóa

Ma trận vuông A = [aij]nxn gọi là khả nghịch nếu có ma trận B = [bij]nxn sao cho

AB I n = BA

Khi đó B gọi là ma trận nghịch đảo hay ma trận đảo của A, ký hiệu là A-1. Vậy A khả nghịch khi và chỉ khi tồn tại A-1 và AA-1 = In= A-1A


1 2 3 2

Ví dụ 1.16 Với

A

2

, B

3 2

1. Ta có

1 2 3

2 1 0 3

2 1 2

AB

2 3 2

= =

= BA

1 0

1

1 2

3 2

1 2 3


1 1 2

Vậy A khả nghịch và A

2

= B ; B khả nghịch và B

1

A .

2 3

Lưu yù Với A = [aij]nxn, B = [bij]nxn :


3.2. Tính chất

AB I n

khi và chỉ khi

BA I n .


Ma trận đảo của ma trận A (nếu có) thì duy nhất và (A-1) -1= A

(AT)-1 = (A-1)T

Nếu A khả nghịch thì ATcũng khả nghịch và

(AB)-1 = B-1A-1 ; (ABC)-1 =C-1 B-1A-1

Nếu A = [aij]nxn, B = [bij]nxn, C =[cij]nxn khả nghịch thì tích AB, ABC cũng khả nghịch và

3.3 .Định lý ( điều kiện để một ma trận vuông khả nghịch) Cho A = [aij]nxn. Ta có :

A khả nghịch A In

A khả nghịch r(A) = n

A khả nghịch detA 0

bis A không khả nghịch detA = 0



Ví dụ 1.17 Biện luận theo tham số m tính khả nghịch ma trận

1 2

A 1 1

3

4 .

1

1

m 3

Giải


1 2

det A 1 1

1 1

3

4

m 3


7 m


Khi m 7 thì det A 0 nên A không khả nghịch.

Khi m 7

thì det A 0

nên A khả nghịch.


3.4 . Cách tìm ma trận đảo và ứng dụng giải phương trình ma trận

Cách 1-Phương pháp Gauss- Jordan

Nếu A khả nghịch thì dãy các phép biến đổi sơ cấp hàng biến A thành In cũng đồng thời biến In thành A-1. Tức là,

(A In) ................. (InA-1)

Biến đổi sơ

cấp hàng

Cách 2-Phương pháp định thức

Nếu A khả nghịch thì


A-1 = 1 PT, PT=[pij]nxn, pij =(-1)i + jMij; với Mijlà định thức cấp (n-1) có từ A

detA

A A

bằng cách bỏ đi hàng i cột j. Ma trận PA= [pij]nxn gọi là ma trận phụ hợp của A.


1 0

1

1


1 2


1 1 2

Ví dụ 1.18 Tìm ma trận X thỏa:

X 1 1 0 2 1

2

2 2 3 4

0

2

1


1 0


1

1

Giải

1 2


1 1 2

X 1 1 0 2 1

2

2 2 3 4

0

2

1

1 0 1


1 1 2 1 1 2

X 1 1

0 22 3

4 2 1 2

0

2

1

1 0

1

1


3 2

X 1 1

0 2 5

XA B

6

0 1

2



A

Áp dụng phương pháp Gauss-Jordan:


1

0

1

0

1

1

0

0

1 1 0

0

A I 1 1 0 0 1 02hh10 1

1 1 1 0

0

1

1 0

2 0 0

1 1

1

0 0

0


h h

1

1 2 0 0

1 0 0 2 1 1

1 3

h3h20 1

1 1 1

h2 h3

0(1)h30 1

0 2

2 1

0

0

1 1

1

1

2 1 1

0

0

1 1 1

1

Suy ra A khả nghịch và A1 2 2

1.


1 1

1


3

1

2

1

2 1


1

6


7 4

XA B

X BA

X 2 5

2 2

6

1 12 14

9


Vậy


X 6 7

12

14


9 .

4

1 1

1

3

2 1

1 1 2

1 1 2

7

Ví dụ 1.19 Tìm ma trận X thỏa:

X


2 1


1 1

2 1

Giải

0 2

2 4


2 1

1

2

2

1

1

1

2 1

2

3

2

2

42

1 2

X X

7

3

2

1

0

2

4

7

1 0

2 1

0 2 0

X

7 3 0 1

(*)

4



A


3 7

Áp dụng phương pháp định thức ta tính được det A 1 và

PA 1 2

1 1 3

1

3 1

2

Suy ra A .

1 7

7

2

(*)

AX 0 2

0

1

0

4

A1

AX A

1 0 2

0

1

0

4

3

1 0

2 0 0 5 4

X

=

7

20 1

4 0 12

8

0 5 4

Vậy

X =

0

12

8.


3.5 . Ứng dụng ma trận đảo giải hệ phương trình tuyến tính



Ví dụ 1.20 Cho ma trận

1

A 1

2

1 2

2 1

2

3

a) Chứng minh A khả nghịch và tìm ma tận đảo

A1 .

b) Áp dụng kết quả câu (a) giải các hệ phương trình sau (m là tham số):

x1

x

x2

2x

2x3

x

1

m (1)

x1

x

x2

2x

2x3

3x

1

m (2)

1 2 3 1 2 3

2x

3x

2x 1

2x x

2x 1

1 2 3 1 2 3

x1

4x2

2x2

3x3 1

x3 m (3)

x1

x2

x3 1


Giải



1

1

2



a) det A

1

2

1

1 0

nên

A khả nghịch.


2

3

2





Áp dụng phương pháp Gauss-Jordan:

1

0

1

0

1

0

1

2

1

0

2 1

A I 1

2 1 0 1

0h2h1;h32h10 1

1 1 1

0h1h2;h3h2

2

1

3

2 0 0

1

0

0

3

2

1


h 3h

0

1

1

0

2 2

1

0

1

0

0

1

0

4

2

3

1

0

1

1

1

1

1 3

0 1

1 1 1

0h2h30

0

0

1 1

1

1

(1)h3

0

1 4 3

Suy ra

A1 0 2 1.

1

x1

1

1

1

b) Ñaët

X x2 , B m

x 1


x1

3

x2 2x3 1


1 1


2x1


1

x

2x

x

m (1) 1

2 1 x

= m

AX B

1 2 3 2

2x

3x

2x 1

2 3

2x

1

1 2 3 3

x

1 4

3 1

2 4m

1



A1 AX A1 B

x2

0

2 1m = 2m 1

I x

1 m

3 1

x1 2 4m

1 1

x

2

Suy ra

x

3

2m 1 .

m

x1

x2

2x3 1

1 1

2x1

1

x

2x

3x

m (2) 1

2 3 x

= m

AT X B

1 2 3 2

2x x

2x 1

2 1

2x

1

1 2 3 3

( AT ) 1 AT X ( AT ) 1 B



I

X ( A1 )T B

x

1 0

1 1 0

1

x2 4 2 1 m = 2m 3

x

1

2 m

3 3 1 1

x1 0

x

2

Suy ra

x

3

2m 3 .

2 m

x

4x

3x 1

1 4

3 x

1

1 2 3

1

2x2

x3

m (3) 0

2 1x2

= m

A1 X B

x x

x 1

x 1

1 2

3 1

x1 1 1 21

1 13

3 m

AA1 X AB

x 1

2 1 m = 2 2m



2

I x

2 3

21

4 3m


x1

3

3 m

x

2

Suy ra

x

3

2 2m .

4 3m


BÀI TẬP

Baøi 1.1Thực hiện các phép toán ma trận.

1 3

2

5

4

a) 6 5 2 11 5

b) 4 1 3 21

c) 31 4 9 3

d) 2 1 12 1 2

2

0 07 3

02

1 2

10

2 3

5 1

3

2 1

1 2 1 0

e) A

0 1

4 ; B 3 2

; C 2

2

. Tính (2A + 3B)C.

1


2 12

1a n

f) A = ; f(x) = 3x

+ 2x - 4. Tính f(A) g) , a R

và n N.

0 3

Bài 1.2

0 1


x y x 6 4 x y

a) Tìm các số x, y, z, w nếu: 3

z

=

w 1

+

2w z w 3

1 2 2 3

b) Tính AB -BA nếu : A =

4

1

, B = .

4 1


2 1

c) Tìm tất cả các ma trận cấp 2 giao hoán với ma trận A =

0 1

1 1 3

Bài 1.3Cho các ma trận A = 1 2 2 , B = , C =



2

5

2

a) Tính 5A -BC, (AB)C , CTBTAT.

b) Tính f(A) biết f(x) = 2x2 + 3x + 5 - .

x

Baøi 1.4Cho ma trận A =



. Tìm ma trận nghịch đảo A-1



bằng phương pháp Gauss- Jordan ( phươmg pháp biến đổi sơ cấp hàng ma trận) và áp dụng kết quả đó giải các hệ phương trình sau:

x y

z x

y

z

x

y

z

1) x y

z 2) x

y

z

3) x

y

z

x

y z m x y z m x y z m



Bài 1.5Cho ma trận A = . Tìm ma trận nghịch đảo A-1 bằng



cách sử dụng định thức và áp dụng kết quả đó giải các hệ phương trình sau:

x

y

z

3x

2 y

3z 4

3x

4 y

5z m

1) x y

z 2) 4x

3y 5z 5 3)

2x

3y

z 2

x

y

z m

5x

y z 8

3x

5 y

z 1


Baøi 1.6Tìm ma trận X trong các trường hợp sau:

1) 1 2. X 3 0; 2) X .3 2 1 2; 3) . X.

3 4 7 2

2 11 1







2 1

1 1

1 1

4) . X X .

5) X - =3

1 2

1 1 1 1





1 1


1


1 1 3









6) X 2 1 0 4 3 2

7) X

=

1

1 1

1

2 5













Baøi 1.7Tính các định thức sau:

1) ; 2)

; 3)

x y z

; 4) x z y ;




aa xx xx xx x


xy xz

y y x z z x

5) x b x x ; 6)

xy yyz ; 7)

a a' a a'

x x c x

xz yz z

b b b' b' ab a' b ab' a' b'

..... Xem trang tiếp theo?
⇦ Trang trước - Trang tiếp theo ⇨

Ngày đăng: 11/01/2023