1 a b
1 | a | b' | ab' | h2 h1 | 0 | 0 | b'b | a(b'b) | 0 | 0 | b'b | a(b'b) | |
1 | a' | b' | a' b' | 0 | 0 | b'b | a' (b'b) | 0 | 0 | 0 | (b'b)(a'a) |
Có thể bạn quan tâm!
-
Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 1 -
Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 2 -
Định Lý 2.1 (Định Lý Cronecker – Capelli, N Là Số Ẩn Số Của Hệ Phương Trình) -
Phương Pháp Cramer (Hệ Có N Phương Trình, N Ẩn Số) -
Định Lý 2.4Ù Cho Hai Hệ Phương Trình Tuyến Tính
Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.
d) 1 a' b
ab a' b
1
h4 h2 ,h3 h1 0
a b
a'a 0
ab b(a'a)
1
h4 h3 0
a b
a'a 0
ab b(a'a)
= (a'a) 2 (b'b) 2
2.3-Áp dụng định thức để tìm hạng ma trận Cho A = [aij]mxn
i) Từ ma trận A ta chọn ra k hàng và k cột tùy ý, với k hàng và k cột vừa chọn ra ta lập được một định thức cấp k, định thức này gọi là định thức con cấp k của A.
ii) r( A) = cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A.
Ví dụ 1.14 Áp dụng định thức tìm hạng ma trận
Giải
2 1
A 1 4
3
6
0 3
2 1
7
2
Xét các định thức con cấp 3 của A:
1 | 0 | 2 | 1 | 3 | 2 | 0 | 3 | 1 | 0 | 3 | |||||
1 | 4 | 2 | 0 , | 1 | 4 | 1 | 0 , | 1 | 2 | 1 | 0 , | 4 | 2 | 1 | 0 |
3 | 6 | 2 | 3 | 6 | 7 | 3 | 2 | 7 | 6 | 2 | 7 |
Suy ra,
r( A) 3.
Xét tiếp định thức con cấp 2 của A: 2
1
1 9 0
4
Suy ra, r( A) 2.
1 1 0 3
Ví dụ 1.15 Áp dụng định thức tìm hạng ma trận
Giải
A 1 4 2 1
0
7
6 2
1 | 1 | 0 | ||
Xét các định thức con cấp 3 của A: | 1 | 4 | 2 | = 6 0 |
0 | 6 | 2 | ||
Suy ra, r( A) 3. |
Đ3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Trong bài này, bạn sẽ học
-----------------------------------------------------------------------------------------
Khái niệm ma trận khả nghịch và ma trận đảo của một ma trận vuông;
Các tính chất ma trận khả nghịch;
Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông khả nghịch;
Hai cách cơ bản tìm ma trận đảo của một ma trận khả nghịch;
Ứng dụng ma trận đảo để giải phương trình ma trận và hệ phương trình tuyến tính.
------------------------------------------------------------------------------------------
3.1. Ñònh nghóa
Ma trận vuông A = [aij]nxn gọi là khả nghịch nếu có ma trận B = [bij]nxn sao cho
AB I n = BA
Khi đó B gọi là ma trận nghịch đảo hay ma trận đảo của A, ký hiệu là A-1. Vậy A khả nghịch khi và chỉ khi tồn tại A-1 và AA-1 = In= A-1A
1 2 3 2
Ví dụ 1.16 Với
A
2
, B
3 2
1. Ta có
1 2 3
2 1 0 3
2 1 2
AB
2 3 2
= =
= BA
1 0
1
1 2
3 2
1 2 3
1 1 2
Vậy A khả nghịch và A
2
= B ; B khả nghịch và B
1
A .
2 3
Lưu yù Với A = [aij]nxn, B = [bij]nxn :
3.2. Tính chất
AB I n
khi và chỉ khi
BA I n .
Ma trận đảo của ma trận A (nếu có) thì duy nhất và (A-1) -1= A
(AT)-1 = (A-1)T
Nếu A khả nghịch thì ATcũng khả nghịch và
(AB)-1 = B-1A-1 ; (ABC)-1 =C-1 B-1A-1
Nếu A = [aij]nxn, B = [bij]nxn, C =[cij]nxn khả nghịch thì tích AB, ABC cũng khả nghịch và
3.3 .Định lý ( điều kiện để một ma trận vuông khả nghịch) Cho A = [aij]nxn. Ta có :
A khả nghịch A In
A khả nghịch r(A) = n
A khả nghịch detA 0
bis A không khả nghịch detA = 0
Ví dụ 1.17 Biện luận theo tham số m tính khả nghịch ma trận
1 2
A 1 1
3
4 .
1
1
m 3
Giải
1 2
det A 1 1
1 1
3
4
m 3
7 m
Khi m 7 thì det A 0 nên A không khả nghịch.
Khi m 7
thì det A 0
nên A khả nghịch.
3.4 . Cách tìm ma trận đảo và ứng dụng giải phương trình ma trận
Cách 1-Phương pháp Gauss- Jordan
Nếu A khả nghịch thì dãy các phép biến đổi sơ cấp hàng biến A thành In cũng đồng thời biến In thành A-1. Tức là,
(A In) ................. (InA-1)
Biến đổi sơ
cấp hàng
Cách 2-Phương pháp định thức
Nếu A khả nghịch thì
A-1 = 1 PT, PT=[pij]nxn, pij =(-1)i + jMij; với Mijlà định thức cấp (n-1) có từ A
detA
A A
bằng cách bỏ đi hàng i cột j. Ma trận PA= [pij]nxn gọi là ma trận phụ hợp của A.
1 0
1
1
1 2
1 1 2
Ví dụ 1.18 Tìm ma trận X thỏa:
X 1 1 0 2 1
2
2 2 3 4
0
2
1
1 0
1
1
Giải
1 2
1 1 2
X 1 1 0 2 1
2
2 2 3 4
0
2
1
1 0 1
1 1 2 1 1 2
X 1 1
0 22 3
4 2 1 2
0
2
1
1 0
1
1
3 2
X 1 1
0 2 5
XA B
6
0 1
2
A
Áp dụng phương pháp Gauss-Jordan:
1
0
1
0
1
1
0
0
1 1 0
0
A I 1 1 0 0 1 02hh10 1
1 1 1 0
0
1
1 0
2 0 0
1 1
1
0 0
0
h h
1
1 2 0 0
1 0 0 2 1 1
1 3
h3h20 1
1 1 1
h2 h3
0(1)h30 1
0 2
2 1
0
0
1 1
1
1
2 1 1
0
0
1 1 1
1
Suy ra A khả nghịch và A1 2 2
1.
1 1
1
3
1
2
1
2 1
1
6
7 4
XA B
X BA
X 2 5
2 2
6
1 12 14
9
Vậy
X 6 7
12
14
9 .
4
1 1
1
3
2 1
1 1 2
1 1 2
7
Ví dụ 1.19 Tìm ma trận X thỏa:
X
2 1
1 1
2 1
Giải
0 2
2 4
2 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 1 |
| 2 | | 3 | 2 | 2 | 42 | |
1 2
X X
7
3
2
1
0
2
4
7
1 0
2 1
0 2 0
X
7 3 0 1
(*)
4
A
3 7
Áp dụng phương pháp định thức ta tính được det A 1 và
PA 1 2
1 1 3
1
3 1
2
Suy ra A .
1 7
7
2
(*)
AX 0 2
0
1
0
4
A1
AX A
1 0 2
0
1
0
4
3
1 0
2 0 0 5 4
X
=
7
20 1
4 0 12
8
0 5 4
Vậy
X =
0
12
8.
3.5 . Ứng dụng ma trận đảo giải hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ 1.20 Cho ma trận
1
A 1
2
1 2
2 1
2
3
a) Chứng minh A khả nghịch và tìm ma tận đảo
A1 .
b) Áp dụng kết quả câu (a) giải các hệ phương trình sau (m là tham số):
x1
x
x2
2x
2x3
x
1
m (1)
x1
x
x2
2x
2x3
3x
1
m (2)
1 2 3 1 2 3
2x
3x
2x 1
2x x
2x 1
1 2 3 1 2 3
x1
4x2
2x2
3x3 1
x3 m (3)
x1
x2
x3 1
Giải
1 | 1 | 2 | ||||
a) det A | 1 | 2 | 1 | 1 0 | nên | A khả nghịch. |
2 | 3 | 2 |
Áp dụng phương pháp Gauss-Jordan:
1
0
1
0
1
0
1
2
1
0
2 1
A I 1
2 1 0 1
0h2h1;h32h10 1
1 1 1
0h1h2;h3h2
2
1
3
2 0 0
1
0
0
3
2
1
h 3h
0
1
1
0
2 2
1
0 1 | 0 0 | 1 0 | 4 2 | 3 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 3
0 1
1 1 1
0h2h30
0
0
1 1
1
1
(1)h3
0
1 4 3
Suy ra
A1 0 2 1.
1
x1
1
1
1
b) Ñaët
X x2 , B m
x 1
x1
3
x2 2x3 1
1 1
2x1
1
x
2x
x
m (1) 1
2 1 x
= m
AX B
1 2 3 2
2x
3x
2x 1
2 3
2x
1
1 2 3 3
x
1 4
3 1
2 4m
1
A1 AX A1 B
x2
0
2 1m = 2m 1
I x
1 m
3 1
x1 2 4m
1 1
x
2
Suy ra
x
3
2m 1 .
m
x1
x2
2x3 1
1 1
2x1
1
x
2x
3x
m (2) 1
2 3 x
= m
AT X B
1 2 3 2
2x x
2x 1
2 1
2x
1
1 2 3 3
( AT ) 1 AT X ( AT ) 1 B
I
X ( A1 )T B
x
1 0
1 1 0
1
x2 4 2 1 m = 2m 3
x
1
2 m
3 3 1 1
x1 0
x
2
Suy ra
x
3
2m 3 .
2 m
x
4x
3x 1
1 4
3 x
1
1 2 3
1
2x2
x3
m (3) 0
2 1x2
= m
A1 X B
x x
x 1
x 1
1 2
3 1
x1 1 1 21
1 13
3 m
AA1 X AB
x 1
2 1 m = 2 2m
2
I x
2 3
21
4 3m
x1
3
3 m
x
2
Suy ra
x
3
2 2m .
4 3m
BÀI TẬP
Baøi 1.1Thực hiện các phép toán ma trận.
1 3
2
5
4
a) 6 5 2 11 5
b) 4 1 3 21
c) 31 4 9 3
d) 2 1 12 1 2
2
0 07 3
02
1 2
10
2 3
5 1
3
2 1
1 2 1 0
e) A
0 1
4 ; B 3 2
; C 2
2
. Tính (2A + 3B)C.
1
2 12
1a n
f) A = ; f(x) = 3x
+ 2x - 4. Tính f(A) g) , a R
và n N.
0 3
Bài 1.2
0 1
x y x 6 4 x y
a) Tìm các số x, y, z, w nếu: 3
z
=
w 1
+
2w z w 3
1 2 2 3
b) Tính AB -BA nếu : A =
4
1
, B = .
4 1
2 1
c) Tìm tất cả các ma trận cấp 2 giao hoán với ma trận A =
0 1
1 1 3
Bài 1.3Cho các ma trận A = 1 2 2 , B = , C =
2
5
2
a) Tính 5A -BC, (AB)C , CTBTAT.
b) Tính f(A) biết f(x) = 2x2 + 3x + 5 - .
x
Baøi 1.4Cho ma trận A =
. Tìm ma trận nghịch đảo A-1
bằng phương pháp Gauss- Jordan ( phươmg pháp biến đổi sơ cấp hàng ma trận) và áp dụng kết quả đó giải các hệ phương trình sau:
x y
z x
y
z
x
y
z
1) x y
z 2) x
y
z
3) x
y
z
x
y z m x y z m x y z m
Bài 1.5Cho ma trận A = . Tìm ma trận nghịch đảo A-1 bằng
cách sử dụng định thức và áp dụng kết quả đó giải các hệ phương trình sau:
x
y
z
3x
2 y
3z 4
3x
4 y
5z m
1) x y
z 2) 4x
3y 5z 5 3)
2x
3y
z 2
x
y
z m
5x
y z 8
3x
5 y
z 1
Baøi 1.6Tìm ma trận X trong các trường hợp sau:
1) 1 2. X 3 0; 2) X .3 2 1 2; 3) . X.
3 4 7 2
2 11 1
2 1
1 1
1 1
4) . X X .
5) X - =3
1 2
1 1 1 1
1 1
1
1 1 3
6) X 2 1 0 4 3 2
7) X
=
1
1 1
1
2 5
Baøi 1.7Tính các định thức sau:
1) ; 2)
; 3)
x y z
; 4) x z y ;
aa xx xx xx x
xy xz
y y x z z x
5) x b x x ; 6)
xy yyz ; 7)
a a' a a'
x x c x
xz yz z
b b b' b' ab a' b ab' a' b'