a1 x b1 y
c1 z 0
a
x
b
2 2 y
c2 z 0
(3’) có ma trận hệ số là A
a
x
3 b3 y
c3 z 0
Toàn tại xo, yothỏa mãn | ||
a1 xo | b1 yo | c1 .1 0 |
a x a x 3 o | b y b3 yo | c2 .1 0 c3 .1 0 |
Có thể bạn quan tâm!
-
Cách Tìm Ma Trận Đảo Và Ứng Dụng Giải Phương Trình Ma Trận -
Định Lý 2.1 (Định Lý Cronecker – Capelli, N Là Số Ẩn Số Của Hệ Phương Trình) -
Phương Pháp Cramer (Hệ Có N Phương Trình, N Ẩn Số) -
Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 7 -
Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 8 -
Tổ Hợp Tuyến Tính-Không Gian Con Sinh Bởi Một Tập Hợp
Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.
2 o 2 o
nên hệ (3’) có nghiệm không tầm thường xo, yo,1. Theo (ii) của định lý 2.3, suy
ra r( A) 3 . Vì
r( A) 1 và
r( A) 3 nên
r( A) 2 .
Ví dụ 2.10 Trong không gian với hệ toạ độ Đề-các vuông góc, cho bốn
điểm (x1, y1, z1) , (x2, y2, z2) , (x3, y3, z3) , (x4, y4, z4) và ma trận
1
x
A x2
x
y1 z1 1
y2 z2 1
y z 1
3 3 3
x4
y4 z4 1
Chứng minh rằng nếu bốn điểm (x1, y1, z1) ,
(x2 , y2 , z2 ) ,
(x3 , y3 , z3 ) ,
(x4 , y4 , z4 )
đoàng
phẳng thì
r( A) 4 .
Giải
Nhận thấy rằng bốn điểm (x1, y1, z1) ,
(x2 , y2 , z2 ) ,
(x3 , y3 , z3 ) ,
(x4, y4, z4) đồng phẳng
khi tồn tại ( A, B, C, D) , với A2B 2C 2 0 , thỏa mãn
Ax1
Ax
By1
By
Cz1
Cz
D 0
D 0
2
3
Ax
2
By3
2
Cz3
D 0
(tức là 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng có phương trình AX By Cz D 0)
Ax4
By4
Cz4
D 0
Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
x1 x y1 y
z1 z
t 0
x
x
y
2 2 y
x
x
y
3 3 y
z2 z
z3 z
t 0
t 0
có ma trận hệ số là A
x4x y4y
z4 z
t 0
Boán điểm (x1, y1, z1) , (x2, y2, z2) , (x3, y3, z3) , (x4, y4, z4) đồng phẳng nên toàn
Ax1
Ax
By1
By
Cz1
Cz
D 0
D 0
Ax
tại ( A, B, C, D) ,
A2B 2C 2 0 , thỏa mãn 2
3
2
By3
2
Cz3
D 0
Ax4
By4
Cz4
D 0
x1 x
y1 y
z1 z
t 0
x
Do đó hệ thuần nhất x2x
3 x
y2 y
y3 y
z2 z
z3 z
t 0
t 0
có nghiệm không tầm
x4x
y4 y
z4 z
t 0
thường ( A, B, C, D) . Theo (ii) của định lý 2.3, suy ra
2.3. Ñònh nghóa (Hệ nghiệm cơ bản)
r( A) 4 .
Giả sử hệ phương trình (3) có nghiệm không tầm thường (có vô số nghiệm) với
(n r)
ẩn số tự do. Trong
(n r)
ẩn số tự do đó, ta lần lượt cho một ẩn số khác 0
và các ẩn số còn lại bằng 0. Khi đó ta được
(n r)
nghiệm, và bộ nghiệm này gọi
là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình thuần nhất (3).
Chú yù Khi giải một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất thì thường ta nên sử dụng phương pháp Gauss (hoặc Gauss-Jordan). Khi viết hệ nghiệm cơ bản, chúng ta có hay không có sử dụng dấu “” đều được.
Ví dụ 2.11 Tìm hệ nghiệm cơ bản của các hệ phương trình
x y z
x
a) z
x
y
4t 0
5t 0
t 0
x
x
b) y
2x y
2z
3z
5z
t 0
2t 0
t 0
x1
c) x x
x3
3x4 2x5 2x6 0
x x x 0
1 2
4 5 6
x x
x 2x 2x 4x 0
1 2
a)
1 1 1
3
4
4 5
1 1 1
6
Giải
41 0 1
5
1 0 0
2
h2 h1
h1 h2
h1 h3
A 1 0 1 5 0 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 1 h3 h1 0 0 1 3 (1)h2 0 0 1 3 0 0 1 3
Hệ phương trình tương đương với
x
2t 0
x 2
y
y t
0
z 3
,
z
3t 0
t
Viết lại nghiệm (x, y, z, t) (2,,3,) =(2,1,3,1).
Cho 1 ta được (x, y, z, t) (2,1,3,1) .
Vậy hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình đã cho là (2,1,3,1).
b) A
2 1 5
1 h3 2h1 0 1 1 3
1 | 0 | 2 | 1 h2 | 1 h1 | 0 | 2 | 11 h3 h2 | 0 | 2 | 1 |
1 | 1 | 3 | 2 0 | 1 | 1 | 3 0 | 1 | 1 | 3 | |
0 0 0 0
Hệ phương trình tương đương với
x 2z
y
z
t
3t
x
0 y
z
0
t
2
3
,
Viết lại nghiệm
(x, y, z, t) ( 2, 3,,)
với,.
Cho 1, 0 được (x, y, z, t) (2,1,1,0) ; cho 1, 0 được (x, y, z, t) (1,3,0,1) .
Vậy hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình đã cho laø (2,1,1,0) , (1,3,0,1) .
c) A
1
1 1
4
0
3
0
1
1
1
1 | 0 | 1 | 3 | 2 | 2 | 1 | 0 | 0 | 2 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 …. 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 2 | |
2 2
Hệ phương trình tương đương với
x1
x
2
2
x 2x x x 0 2
1
4
x 2x 0 x
5 6
x
3
3
với
,,.
2
x3
4
x4
x5
6
3x6 0
x4
x
5
x6
Viết lại nghiệm
,,.
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) ( 2, 2, 3,,,)
với
Cho
1, 0, 0
được (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) (2,1,1,1,0,0) ; cho
0, 1, 0
được
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) (1,0,1,0,1,0) ; cho
0, 0, 1
được
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) (1,2,3,0,0,1) .
Vậy hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình đã cho là
(2,1,1,1,0,0) , (1,0,1,0,1,0) , (1,2,3,0,0,1)
2.3. Định lý 2.4ù Cho hai hệ phương trình tuyến tính
a11x1 a12 x 2 ..... a1n x n
b1
a11
a12
a1n x1
b1
a x a
x .... a
x b
a a a
x b
21 1
22 2
2n n
2 (1)21 22
2n
2 =
2 AX=B
...............................................
a x a x .... a mn x n
b m
am1 am2 amn xn
bm
m1 1 m2 2
A X B
a11x1 a12 x2 ... a1n xn 0
a11a22 ........a1n
x1
0
a x a
x .. a
x 0
a a ........a
x 0
21 1
22 2
2n n
(3)
21 22
2n
2
AX = 0
......................
a
x
m1 1
am2 x2
amn xn 0
am1am2 ......amn xn
0
A X0
có cùng ma trận hệ số A. Hệ (3) gọi là hệ thuần nhất liên kết với hệ (1). Khi đó:
i) Nếu X là nghiệm hệ (1) và là nghiệm hệ (1).
X o là nghiệm hệ thuần nhất (3) thì
X X X o
ii) Nếu
X1, X 2
là hai nghiệm phương trình (1) thì
X 1 X 2
là nghiệm hệ
phương trình thuần nhất (3).
iii) Nếu X là nghiệm riêng hệ (1) và
X 1 ,..., X k
là hệ nghiệm cơ bản của hệ
thuần nhất (3) thì
X X 1 X 1 ... k X k
X o
( 1,...,k) là nghiệm tổng
quát của hệ phương trình(1).
Ví dụ 2.12
x y z
x
a) Hệ z
x
y
4t
5t
t
2
1 (1’) có nghiệm riêng
4
X (3,2,1,1)
và hệ thuần
x y z
x
nhất tương ứng z
x
y
4t
5t
t
0
0 (3’) có hệ nghiệm cơ bản
0
(2,1,3,1)
nên hệ (1’) có nghiệm tổng quát
X (3,2,1,1) +
(2,1,3,1) , .
b) Hệ
x
x
y
2x y
2z
3z
5z
t
2t
t
3
7 (1’’) có nghiệm riêng
8
X (2,0,1,1)
và hệ
thuần nhất tương ứng
x
x
y
2x y
2z
3z
5z
t
2t
t
0
0 (3’’) có hệ nghiệm cơ bản
0
X 1 (2,1,1,0) ,
X 2 (1,3,0,1)
nên hệ (1’’) có nghiệm tổng quát
X (2,0,1,1) +
(2,1,1,0) +
(1,3,0,1) , ,.
BÀI TẬP
Bài 2.1Giải các hệ phương trình sau đây:
x y
z
x y z
x
y
z
1) x y
z ; 2) x y z
; 3) x
y
z ;
x
x
y
z
y
z x
y
z
xxxx x y
z
x1 3x2 5x3 x4 0
4) x x x x ; 5) x y z ; 6) 4x 7x 3x x 0
1 2 3 4
xxxx x y z 3x1 2x2 7x3 8x4 0
Baøi 2.2Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
x y z
mx y z 1
x.y 2 .z3 2
1) x y mz ; 2) x my z
m 3) x 2 .y3 .z 4 4
x
x
my z
y
mz
m 2 x 2 .y.z 2
xx
xx
x y
(m)z m
4) x x x x m 5) (m)x y
z
xxxx m x
my
z
m
x
x
x
x
x
x
x
x
3x
2x
2 y z
3y z
t 1
t 1
6)
7)
x x x mx x 2 y
3z
t 2
x
x
x
x
5x
5 y
2z
m 1
x
x
x
x
x
x
x
x
Baøi 2.3Cho hệ phương trình
. Tìm nghiệm của hệ
x x x x
x
x
x
x
phương trình thỏa điều kiện : x x x x đạt giá trị nhỏ nhất.
x 2
Baøi 2.4Giải hệ phương trình: 2x 2
x
2
xy xy 3xy
y 2
3y 2
2 y 2
1
13
0
Baøi 2 .5Tìm các đa thức bậc ba f(x) biết:
1) f(1) = 2 ; f(-1) = -4; f(2) = 8 ; f(-2) = -28 .
2) Đồ thị hàm số y = f(x) đi qua các điểm: (1,4) ; (3,32) ; (-3,-4) ; (2,11) .
ax
y
z
Baøi 2 .6Cho hệ phương trình
ax
x
y
y
z , với a,b là các tham số.
z b
1) Xác định các tham số a, b để hệ trên là hệ Cramer, khi đó hãy tìm nghiệm của hệ theo a,b.
2) Tìm a,b để hệ trên vô nghiệm.
3) Tìm a,b để hệ trên có vô số nghiệm, và tìm nghiệm tổng quát của hệ .
Baøi 2.7Tìm điều kiện của tham số m để các hệ phương trình sau đây có nghiệm:
mx y
z m
(m)x
my
mz
1) x
x
(m)y
y
(m)z
mz
m
2) x
x
my
y
z m
mz
Baøi 2 .8Tìm hệ nghiệm cơ bản của các hệ phương trình sau đây:
x 3y z 0
x 2 y
3z
4t 0
a) 4x 2 y 3z 0
5x y 2z 0
b) 2x 3y
4x 5 y
4z
6z
5t 0
7t 0
xxxx
x1 x2 2x3
3x4 0
x x x x
x 2x x
x 0
c)
d) 1
2 3 4
x
x x x
2x x
3x 4x 0
1 2 3 4
xxxx
4x1
5x2
5x3
6x4 0
Bài 2.9 Giải và biện luận theo tham số m các hệ phương trình sau
x1 | x2 | x3 | x4 | | 6 | x1 | x2 | x3 | x4 | | 1 |
x 1 | 2x2 | x3 | | m 6 | x 2x x 2 | ||||||
2x | 2x | x | 3x | | b) 1 10 3x | 4x | x | 2x | | m | |
3 | 4 | 2 | 3 | 4 | |||||||
x1 2x2 | 2x3 | x4 | | 3m 8 | 4x1 | 5x2 | 3x3 | 3x4 | | 1 m | |
a) 2 3
1 2 1
Bài 2.10 Áp dụng lý thuyết về hệ thống phương trình tuyến tính thuần nhất giải các bài toán sau đây trong hệ toạ độ Đề-các vuông góc:
1) Tìm điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng sau đồng qui. (D1) : a1x + b1y + c1= 0
(D2) : a2x + b2y + c2 = 0 (D3) : a3x + b3y + c3 = 0
2) Tìm điều kiện cần và đủ để m đường thẳng sau đồng qui. (D1) : a1x + b1y + c1= 0
(D2) : a2x + b2y + c2 = 0
………………………………………………. (Dm) : amx + bmy + cm = 0
3) Tìm điều kiện cần và đủ để 4 điểm (x1, y1, z1);(x2, y2, z2); (x3, y3, z3), (x4, y4, z4) trong không gian 0xyz cùng nằm trong một mặt phẳng. Xét bài toán trường hợp n điểm.
Bài 2.11 Hai công nhân A, B cùng làm việc. Nếu A làm việc 2 giờ và B làm việc 3 giờ thì tổng số tiền họ kiếm được $24.60. Nếu A làm việc 3 giờ và B làm việc 2 giờ thì tổng số tiền họ kiếm được $23.90. Tính số tiền A làm được mỗi giờ và số tiền B làm được mỗi giờ.
Bài 2.12Một người chăn nuôi cần cung cấp cho vật nuôi 42mg vitamin A và 65mg vitamin D mỗi ngày. Người này có hai loại thức ăn I và II: loại I chứa 10% vitamin A và 25% vitamin D; loại I chứa 20% vitamin A và 25% vitamin D. Hỏi lượng thức ăn loại I và loại II mà người này cần cung cấp cho vật nuôi mỗi ngày?
Bài 2.13Một khẩu phần ăn của công ty Kellogg’s Cacklin’Oat Bran cung cấp 110 calo, 3g protein, 21g carbohydrate và 3g mỡ. Một khẩu phần ăn của công ty Kellogg’s Crispix cung cấp 110 calo, 2g protein, 25g carbohydrate và 0.4g mỡ.
a) Lập một ma trận A và ma trận cột B để AB cho biết lượng calo, protein, carbohydrate và mỡ chứa trong một hỗn hợp gồm 3 hkẩu phần ăn của Kellogg’s Cacklin’Oat Bran và 2 khẩu phần ăn của Kellogg’s Crispix.
b) Giả sử bạn muốn một khẩu phần ăn có nhiều protein hơn Crispix nhưng ít mỡ hơn Cracklin’Oat Bran. Bạn có thể trộn hai loại thức ăn này để cung cấp 110 calo, 2.25gprotein , 24g carbohydrate và 1g mỡ được không? Nếu được thì hỗn hợp đó như thế nào?
Bài 2.14Thùng chứa bột ngũ cốc dùng điểm tâm thường liệt kê số calory, protein, cacbohydrate và mỡ được chứa trong mỗi khẩu phần ăn. Lượng ngũ cốc được cho trong bảng bên dưới. Giả sử chúng ta trộn hai loại bột ngũ cốc này có chứa chính xác 295 calory, 9g protein, 48g cacbohydrate và 8g mỡ.
ing | |||
Nutrient | General Mills Cheerios | Quaker 100% Cereal | Natural |
Calories | 110 | 130 | |
Protein (g) | 4 | 3 | |
Cacbohydrate(g) | 20 | 18 | |
Fat(g) | 2 | 5 | |
a) Lập một phương trình ma trận cho bài toán này. Hãy cho biết các biến trong ma trận ẩn số tượng trưng cho điều gì?
b) Xác định xem cách trộn hai loại bột ngũ cốc mà bạn muốn có thể được thực hiện như thế nào?
Bài 2.15 Cho f(x) =
x 2 2x 3
(x 1) 2 (x 2)(x 2 2x 2)
a) Tìm các hằng số A, B, C, D, E thỏa : f(x) =
A B(x 1) C D(2x 2) E
0
b) Tính f (x)dx .
1
Bài 2.16 Cho f(x) =
x 4 x 3
(x 1)3 (x 3)(x 2 4x 8)
x 2
(x 1) 2
x 2 2x 2
a) Tìm các hằng số A, B, C, D, E, F thỏa:
f(x)=
A B(x 1) 2 C(x 1) D E(2x 4) F
1
b) Tính f (x)dx
0
x 3
(x 1)3
x 2 4x 8
Bài 2.17 Cho hàm số
f (x)
2x 3
(x 1)(x 2)
với
x 1, x 2
a) Tìm các hằng số A, B thỏa:
f (x)
2x 3
(x 1)(x 2)
A
x 1
B
x 2
b) Tính đạo hàm cấp n của hàm số
c) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
f (x) .
f (x) .
Bài 2.18 Cho hàm số
f (x)
x 2 x 3
(x 1)3 (x 1)(x 2)
với
x 1, x
2, x
1
a) Tìm các hằng số A, B, C, D, E thỏa:
x 2 x 3 A
B C(x 1)2 D(x 1) E
f (x)
(x 1)3 (x 1)(x 2)
x 1
x 2
(x 1)3
b) Tính đạo hàm cấp n của hàm số
c) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
f (x) .
f (x) .
Bài 2.19Cho các hệ phương trình tuyến tính
a11x1 a12 x 2 ....... a1n x n b1
a11x1 a12 x2 ... a1n xn 0
a
21x1
a 22 x 2
...... a 2n x n
b2
(1) và
a
21x1
a22 x2
.. a2n xn
0 (2)
....................................
a n1x1 a n2x 2 ....... a nnx n bn
an1x1 an2 x2 ann xn 0
a11
có cùng ma trận hệ số A = a21
a12 a22
a1n
a2n
a
n1
an2
ann
a) Giả sử hệ phương trình thuần nhất (2) chỉ có nghiệm tầm thường. Chứng minh hệ phương trình (1) có nghiệm duy nhất với mọi hệ số bi, i = 1, 2, …., n.
b) Giả sử hệ phương trình thuần nhất (2) có nghiệm không tầm thường và hệ phương trình (1) có nghiệm. Hỏi khi đó nghiệm của hệ phương trình (1) có duy nhất không? Tại sao?
Bài 2.20Chứng minh rằng nếu
X 1và
X 2là các nghiệm hệ phương trình tuyến
tính thuần nhất
AX 0
thì
aX 1bX 2, với a và b là các số thực, cũng là nghiệm
hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX 0 .
Bài 2.21Áp dụng phương pháp đại số cân bằng các phương trình phản ứng hóa học sau
a) NH 3 CuO N 2 Cu H 2 O
b) Pb(N 3 ) 2 Cr(MnO4 ) 2 Cr2 O3 MnO2 Pb3O4 NO
Bài 2.22Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình