Bước 3Dựa vào ma trận Ar ta suy ra nghiệm của hệ phương trình (phép thế lùi).
Ví dụ 2.3 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình:
x
x
mx
y
my
y
mz 1
z 1
z 1
Giải
Ma trận bổ sung
1
A 1
1 m :
m 1 :
11
h2 h1
1 0
1
m 1
m : 1
1 m : 0
m 1
1 : 1h3 mh1 0
1 m
1 m 2
: 1 m
1 1
h3 h2
m : 1
0 m 1 1 m : 0 = Ar
0
0
(1 m)(2 m) : 1 m
Hệ phương trình đã cho tương đương với
x
0x
0x
y
(m 1) y
0 y
mz
(1 m)z
(1 m)(2 m)z
1
0
1 m
- Trường hợp
m 1 và
x
m 2 : HPT y
z
1
2 m
1 .
2 m
1
2 m
- Trường hợp
m 2 : HPT
x
0x
y
3y
0 y
2z
3z
0z
1
0 vô nghiệm.
3
- Trường hợp
m 1: HPT
x
0x
0x
y
0 y
0 y
z 1
0z 0
0z 0
x
y
z
1
, (hệ có vô số nghiệm và có 2 ẩn tự do)
Ví dụ 2.4 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình:
Ma trận bổ sung
x
2x
4x
2 y
3y
5 y
3z
4z
6z
Giải
4t 5
5t 6
7t m
1 | 2 | 3 | 4 : | 5 |
2 | 3 | 4 | 5 : | 6 |
Có thể bạn quan tâm!
-
Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 2 -
Cách Tìm Ma Trận Đảo Và Ứng Dụng Giải Phương Trình Ma Trận -
Định Lý 2.1 (Định Lý Cronecker – Capelli, N Là Số Ẩn Số Của Hệ Phương Trình) -
Định Lý 2.4Ù Cho Hai Hệ Phương Trình Tuyến Tính -
Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 7 -
Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 8
Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.
2 | 3 | 4 : | 5 | |
1 | 2 | 3 : | 4 | |
1
h2 2h1
A 0
4 5
6 7 :
m h3 4h1 0
3 6
9 :
m 20
1 0
h1 2h2
0 1
1 2 :
2 3 :
3
4
0
0
0
h3 2h2 ;(1)h2
0 : m 8
Hệ phương trình đã cho tương đương với
x
0x
y
0 y
z
2z
0z
2t
3t
0t
3
4
m 8
x
- Trường hợp m 8 : HPT
0x
x
- Trường hợp m 8 : HPT
| 3 | 2 |
| 4 2 | 3 |
| | |
| |
0x
y
0 y
y
0 y
z
2z
0z
z
2z
0z
2t
3t
0t
2t
3t
0t
3
4
m 8 0
3
4
0
vô nghiệm.
x
y
z
t
, (hệ có vô số nghiệm và có 2 ẩn tự do)
Ví dụ 2.5 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình:
Ma trận bổ sung
x
x
x
x
2 y
3y
3y
2 y
2z
z
2z
3z
Giải
t
2t
t
1
1
2
m 2
2 | 2 | 1 | :1 |
3 | 1 | 2 | :1 |
3 | 2 | 1 | : 2 |
2 | 3 | 0 | : m |
1
1 0 0
3 : 3
A 1
0 1 0
0 : 1
1
0 0 1
1 : 1
1
Hệ phương trình
2
x
0x
3t | 3 | ||
y | 1 | ||
z | t | 1 | |
0 y | 0z | 0t | m |
0 0 0
0 : m
- Trường hợp m 0 : Hệ phương trình vô nghiệm
x 3 3
-Trường hợp m 0 : HPT
y 1 z 1 t
(hệ phương trình có vô số nghiệm và có 1 ẩn tự do).
2.4- Phương pháp Cramer (hệ có n phương trình, n ẩn số)
a11x1 a12x2 ....... a1n xn b1
a11
a12
a1n x1
b1
a21x1 a22x2 ...... a2n xn b2
(2) a21
a22
a2n x2 = b2
...........................................
an1x1 an2x2 ....... ann xn bn
an1
an2
ann xn
bn
A X B
AX = B.
Đặt D = detA =A, Di= detAi= Ai; i = 1, 2, ...., n, với Aicó từ A bằng thay cột
b1
thứ i của A bởi một cột vếà phải B = b2.
bn
Định lý 2.2 (Định lý Cramer)
i) D = detA 0 khi và chỉ khi hệ phương trình (2) có nghiệm duy nhất. Khi đó
nghiệm của hệ (2) được tính theo công thức Cramer:
x Di
i D
, i 1, n
ii) Nếu D = 0 và tồn tại Di
nghiệm.
0 với i1, 2,..., nthì hệ phương trình (2) vô
iii) Nếu D = D1= D2= ….. = Dn= 0 thì HPT (2) hoặc vô nghiệm hoặc số nghiệm. Khi đó muốn biết kết quả cụ thể thường phải giải bằng phương pháp Gauss hoặc phương pháp thế.
* Chú yù Khi D = detA0 thì HPT (2) còn được gọi là hệ Cramer. Ví dụ 2.6 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình:
mx
x
x
y
my
y
z m
z 1
mz m
Giải
Áp dụng phương pháp Cramer
m 1
D 1 m
1 1
1
1 = m3 3m 2 = (m 1) 2 (m 2)
m
m | 1 | 1 | ||
Dx | 1 | m | 1 | = |
m | 1 | m | ||
Dy | m 1 | m 1 | 1 1 | = |
1 | m | m | ||
Dz | m 1 | 1 m | m 1 | = |
1 | 1 | m |
m3 m 2 m 1 = (m 1) 2 (m 1)
2m 1 m 2 =
(m 1) 2
m3 m 2 m 1 = (m 1) 2 (m 1)
-Trường hợp
m 1 và
m 2 :
D 0
nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất
x
y
z
Dx D
Dy
D
Dz
D
m 1
m 2
1
m 2
m 1
m 2
- Trường hợp
m 2 :
D 0, Dx 9 0
nên hệ phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp
m 1:
D Dx Dy Dz 0
x y z
x
y z
x
y z
1
1
1
x y z 1
x 1
y
z
, , (hệ có vô số nghiệm và có 2 ẩn tự do)
Kết luận
x
m 1
m 2
1
m 1 và
m 2 : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất y
z
m 2
m 1
m 2
m 2 : Hệ phương trình vô nghiệm
x
m 1 : Hệ phương trình có vô số nghiệm y
z
1
, (2 ẩn tự do)
2.5- Phương pháp ma trận đảo
a11x1 a12x2 ....... a1n xn b1
a11
a12
a1n x1
b1
a21x1 a22x2 ...... a2n xn b2
(2) a21
a22
a2n x2 = b2
...........................................
an1x1 an2x2 ....... ann xn bn
an1 an2 ann xn bn
a11 a12
A X B
AX = B.
a1n
Giả sử ma trận hệ số A = a21a22a2n khả nghịch. Khi đó
a
n1
an2
ann
A X = B A-1 A X = A-1 B
X A1 B
Để giải hệ phương trình (2) (tức là cần tìm ma trận ẩn số X), ta tìm ma trận nghịch đảo A-1, sau đó lấy A-1 nhân với ma trận B sẽ được kết quả.
Minh họa cho phương pháp này, bạn đọc xem lại ví dụ 1.20 trang 18.
Ví dụ 2.7 Giải các hệ phương trình sau:
x1
x
2x2
3x
x3
2x
x4 m
x 1
x1
x
2x2
3x
x3
2x
x4 0
x 0
a) 1 2 3 4
, m là tham số. b) 1 2 3 4
x 3x 3x 2x 0
x 3x 3x 2x 0
1 2 3 4 1 2 3 4
x1
3x2
3x3
x4 m
Giải
x1
3x2
3x3
x4 0
a) Hệ phương trình tương đương với
1 2 1 1x1 m
1 3 2
1 x2 1 AX B
1 3 3
2 x 0
1 3 3
1 x
3
m
Tìm ma trận đảo
A1
4
X B
A
2 3 | 1 2 | 1 1 | 1 0 0 1 | 0 0 |
3 | 3 | 2 | 0 0 | 1 |
3 | 3 | 1 | 0 0 | 0 |
1 0
1 0 0 0 3 3 5
4
A I 1
0 .... 0 1
0 0 1 2 2 1
1
0
0
0 1
0 0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
A1 =
3 3 5
4
1
Suy ra,
1 2 2 1
0 1 0 1
0 0
3
1 1
3 5
4m
3 m
1 2 2
1 1 2
X A1 B =
=
0 1 0
1 0
m 1
0 0 1
1 m m
Vậy nghiệm hệ phương trình là (x1, x2, x3, x4) (3 m,2, m 1,m)
b) Heä phöông trình töông đöông vôùi
1 2 1 1x1 0
3 | 2 | 1 |
3 | 3 | 2 |
1 x2 0AX 0 A1 AX A1 0 X 0
1 x 0
1 3 3
1 x
3
0
X 0
4
A
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x1, x2, x3, x4) (0,0,0,0) .
§2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
2.1. Ñònh nghóa
Hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số tự do bằng 0 (vế phải bằng 0) gọi là
hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . Tức là nó nó có dạng
a11x1 a12 x2 ... a1n xn 0
a11a22 ........a1n
x1
0
a x a
x .. a
x 0
a a ........a
x 0
21 1
22 2
2n n
(3)
21 22
2n
2
AX = 0
......................
a
x
m1 1
am2 x2
amn xn 0
am1am2 ......amn xn
0
A X0
Rõ ràng (x1, x2,..., xn) (0,0,...,0) là một nghiệm hệ (3), nghiệm này không cần
giải cũng có được nên gọi là nghiệm tầm thường.
Nghiệm hệ phương trình (3) mà các ẩn không đồng thời bằng 0 (nếu có) gọi là nghiệm không tầm thường.
Ví dụ 2.8
x1
x
2x2
3x
x3
2x
x4 0
x 0
a) Hệ 1 2 3 4
là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất chỉ
x 3x 3x 2x 0
1 2 3 4
x1
3x2
3x3
x4 0
có nghiệm tầm thường (x1, x2, x3, x4) (0,0,0,0) . (xem lại ví dụ 2.7.b)
b) Hệ
x1
x2
10x4
15x4
x3 3x4
2x5
3x5
7x5
0
0 là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
0
x1
x
2 10
15 3
Cho
ta được nghiệm tổng quát
2 .
x4 , x5
x3
x
7 3
,
4
x5
Viết lại nghiệm của hệ
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) (2 10,15 3,7 3,,)
=(10,15,3,1,0) (2,3,7,0,1) ,.
Cho 0, 0 ta được (x1, x2, x3, x4, x5) (0,0,0,0,0) là nghiệm tầm thường của hệ.
Mọi giá trị,
không đồng thời bằng 0 thì nghiệm
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) (10,15,3,1,0) (2,3,7,0,1) (0,0,0,0,0)
là tất cả các nghiệm không tầm thường của hệ.
Tập (10,15,3,1,0), (2,3,7,0,1) gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ.
Lưu ý Đối với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất thì ma trận bổ sung
A A 0
và vế phải cũng luôn bằng 0 khi biến đổi sơ cấp hàng nên để cho gọn, khi giải hệ này, chúng ta chỉ lập và biến đổi sơ cấp ma trận A .
2.2. Định lý 2.3ù (n là số ẩn số)
i) Hệ phương trình thuần nhất (3) chỉ có nghiệm tầm thường (noduy nhất)
(x1, x2,..., xn) (0,0,...,0) khi và chỉ khi r( A) n .
ii) Hệ phương trình thuần nhất (3) có nghiệm không tầm thường (có vô số nghiệm)
khi và chỉ khi r( A) n .
Khi m = n thì A là ma trận vuông cấp n, ta có:
i') Hệ phương trình thuần nhất (3) chỉ có nghiệm tầm thường (noduy nhất)
(x1, x2,..., xn) (0,0,...,0) khi và chỉ khi det A 0 .
ii') Hệ phương trình thuần nhất (3) có nghiệm không tầm thường (có vô số nghiệm) khi và chỉ khi det A 0 .
Ví dụ 2.9 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề-các vuông góc, cho ba đường thẳng
(D1) : a1x + b1y + c1 = 0
a1 b1
c1
2
2
(D2) : a2x + b2y + c2 = 0
và ma trận
A a b
c2
(D3) : a3x + b3y + c3 = 0
Chứng minh rằng nếu (D1), (D2), (D3) đoàng quy thì
Giải
3 b3
a
r( A) 2 .
c3
Vì a 2 b 2 0, i 1,3 , nên r( A) 1 .
i i
Nếu r( A) 1 thì hàng 2 và hàng 3 của A phải tỷ lệ với hàng 1. Do đó (D1), (D2),
(D3) trùng nhau nên vô lý với giả thiết (D1), (D2), (D3) đoàng quy. Suy ra
r( A) 1.
Vì ba đường thẳng (D1), (D2), (D3) đồng quy nên tồn tại điểm xo, yothỏa mãn
a1 xo
b1 yo
c1 0
a
x
2 o
b2 yo
c2 0
a
x
3 o
b3 yo
c3 0
Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất