/ Một Vật Có Khối Lượng M Được Đặt Ở Cuối Lò Xo Và Kéo Theo Hướng

a) Chứng minh B là cơ sở của 3. Xác định m để E là cơ sở của 3.





B E

b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E . Cho [v] = , tìm v, [v] .







c) Cho [x]E = , [y]E = , tìm véctơ x, [3x + 2y]E , [x]B .







B E

d) Cho [v] = , tìm v, [v] .



3.20/ Trong không gian 3, cho B =v1 =(1,0,1), v2 =(1,2,2), v3 =(0,-1,-1).

E =u1 =(1,0,-1), u2 =(1,1,1), u3 =(-1,2,2)

a) Chứng minh B, E là các cở sở của 3.

b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E . Cho u =(1, 2, 3) , tìm [u]B, [u]E.





B E

c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang B . Cho [v] = , tìm v, [v] .



3.21/ Trong không gian P2[x] các đa thức thực bậc 2, cho B là cơ sở chính tắc của P2[x] và E =v1= 1 + 3x, v2= x + 2x2, v3= 1 + x + x2.

a) Chứng minh E là cơ sở P2[x].

b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E .





E B

c) Cho [v] = , tìm v, [v] .



3.22/ Cho B = u1, u2, u3là một cơ sở của -không gian vec tơ  và các véctơ v1,

1

1 

2



v2, v3có tọa độ đối với cơ sở B lần lượt là: [v]B= 1, [v]B=  2, [v]B=  2

1

3

1 



a) Chứng minh E = v1, v2, v3là cơ sở của R3. Tìm v1, v2, v3theo u1, u2, u3.

b) Tìm ma rận chuyển cơ sở từ E sang B .

3.23/ Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

a11x1 a12 x2 ... a1n xn  0

a11a22 ........a1n

x1 

0

a x a

x .. a

x  0



a a ........a



x 0

21 1

22 2

2n n

(*) 

21 22

2n 

2 

AX = 0

......................

















m1 1

am2 x2

amn xn  0

am1am2 ......amn xn 



0



A X0

Mỗi nghiệm của hệ phương trình (*) là một vectơ trong Rnvà dễõ dàng chứng minh được tập tất cả các nghiệm của hệ (*) là một không gian con của Rn.

Trong mỗi trường hợp sau , hãy tìm một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình:

x1  3x2 

x3  0

x1  2x2  3 x3  0

a) 4x  2x

 3x  0

b) 2x  3x  4x  0

1 2 3 1 2 3



5x1 x2  2x3  0 4x1  5x2  6x3  0

x1  3x2  4x3 x4  0

1  2 4

 3

2x x  2x  2x  0







2 3 1  6



c) 1 2 3 4

d) AX = 0 với A = 

3x1  2x2  2x3 x4  0

 2  5 1 6 

x1 4x2 6x3 3x4 0

 3  1 7  9

3.24/ Gọi  là tập hợp tất cả các hàm số thực f(x), liên tục, dương trên đoạn

a, a. Ta định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau : f,g , .

ÑN

Phép toán cộng “+” : (f+g)(x) f(x) g(x), x[-a,a] (nhân hàm f(x) với hàm g(x))



ÑN

Phép toán nhân “.” : (f)(x) [f(x)] , x[a,b] (lũy thừahàm số f(x) )

a) Chứng minh tập  với phép cộng và phép nhân như trên là một không gian vectơ trên trường .

b) Tập hợp tất cả các hàm chẵn trong không gian  ở câu (a) có là không gian con của  không ? Tại sao?

3.25/ Trong không gian n, cho các véctơ:

u1 = (a11, a12, ......, a1n)

u2 = (a21, a22, ......, a2n)



a11

a21

.......



am1 : b 

………………………………………….



Đặt A



a12

a22

.......

1 

am2 :b2 

um = (am1, am2, ......, amn)

 ...

...

.......

.....



. ... 

và u = ( b1, b2,...., bn)

a1n

a2n

.......

amn :bn 



A 

Chứng minh rằng: u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2,.........,umr(A) = r( A ).

3.26/ Gọi W là không gian con của 4sinh ra bởi các vectơ : u1= (2, -1,3,2) ;

u2= (-1,1,1,-3); u3= (1, 1,9, -5) . Hỏi véctơ u = (3, -1,0, -1) có thuộc không gian con W không? Tại sao?

3.27/ Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của các vectơ sau trong không gian C().

a) 2, 7sin2x, cos2x. b) x, cosx

c) 1, sinx, sin2x. d) 2sin2x, cos2x , cos2x.

e) (1+x)2, x2 +2x, 2. f) 0, x, x2.

g) 1, x, ex, e2x

3.28/ Trong không gian 4cho các véctơ

u1 = (1; 1; 0; 1), u2 = (1; 1; 1; 0) , u3 = (0; 0; -1;1), , u4 = (2; 2; 0;2)

Gọi W là là không gian con của 4bởi các véctơ u1, u2, u3, u4.

a) Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của u1, u2, u3,u4.

b) Tìm số chiều và một cơ sở (gọi tên cơ sở này là B) của không gian con W. Tìm tọa độ vectơ v = (1; 1; 2;-1) đối với cơ sở B.

c) Tìm một cơ sở trực giao của W.

d) Tìm tham số m để véctơ u = (1; m; 1; 2) thuộc không gian con W.

3.29/ Một công ty khai thác mỏ có hai loại mỏ quặng. Hoạt động mỗi ngày tại mỏ I tạo ra lượng quặng có chứa 20 tấn đồng và 550 kilogram bạc, trong khi hoạt động mỗi ngày tại mỏ II tạo ra lượng quặng có chứa 30 tấn đồng và 500 kilogram bạc.

Đặt các vectơ v1=

20 

550

và v2=

30. Như vậy v1và v2lần lượt biểu thị “ năng



500



xuất khai thác mỗi ngày “ tại các mỏ I và II tương ứng.

a) Giải thích ý nghĩa của vectơ 5v1?

b) Giả sử công ty khai thác mỏ I trong x1và mỏ II trong x2ngày. Hãy viết một phương trình vectơ mà nghiệm của nó cho biết số ngày mà mỗi mỏ phải khai thác để tạo ra 150 tấn đồng và 2825 kg bạc.

c) Hãy dùng ma trận để giải phương trình trong (b).

3.30/ Một nhà máy điện chạy bằng hơi nước đốt hai loại than: anthracite (A) và bituminuous (B). Ứng với mỗi tấn A được đốt thì nhà máy tạo ra 27,6 triệu Btu nhiệt, 3100 g sulphur đi-ô-xit và 250 g chất thải đặc biệt (particulate matter - các chất ô nhiễm dạng hạt). Ứng với mỗi tấn B được đốt thì nhà máy tạo ra 30,2 triệu Btu nhiệt, 6400 g sulphur đi-ô-xit và 260 g chất thải đặc biệt (particulate matter-các chất ô nhiễm dạng hạt).

a) Lượng nhiệt được tạo ra là bao nhiêu khi nhà máy đốt x1tấn A và x2tấn B?

b) Giả sử công suất nhà máy điện chạy bằng hơi nước được mô tả bằng vectơ liệt kê lượng nhiệt, sulphur đi-ôxit, và chất thải dặc biệt. Hãy biểu diễn vectơ công suất này dưới dạng tổ hợp tuyến tính cúa hai véctơ khi nhà máy đốt x1tấn A và x2tấn B.

c) Giả sử trong một khoảng thời gian liên tục nhà máy tạo ra 162 triệu Btu nhiệt;

2361g sulphur đi-ôxit và 1623 g chất thải đặc biệt. Hãy lập một phương trình véctơ mà nghiệm của nó cho biết có bao nhiêu tấn ứng với mỗi loại than mà nhà máy đã đốt , giải phương trình vectơ này.

3.31/ Đặt v1, v2, ….., vklà các điểm trong R3và giả sử rằng ứng với j = 1,2,……, k một đối tượng có khối lượng mjnằm tại điểm vj. Các nhà vật lý gọi các đối tượng như vậy là các khối lượng điểm. Khối lượng tổng cộng của toàn hệ thống gồm các khối lượng điểm như trên là : m = m1+ m2+……+ mk.

Trọng tâm (tâm khối lượng) của hệ thống là v 1m1v1m2v2 ....... mkvk. Hãy

tính tâm khối lượng của hệ thống bao gồm các khối lượng điểm sao đây:

Điểm

Khối lượng
v1=(5, -4, 3)	2g
v2=(4, 3, -2)	5g
v3=(-4,-3, -1)	2g
v4=(-9, 8, 6)	1g