Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 11

d) Trong không gian

P2 [x]

cho cơ sở chính tắc

E ={1, x, x 2} , cơ sở

o

B  {1, x  1, (x  1) 2} và u  2  3x  5x 2P [x] . Tìm u, u.

e) Trong không gian

2

M 22 [R] , tìm tọa độ vectơ

A a



c

Eo B



bđối với cơ sở chính tắc

d 

Eo =

1

0





00

, 

0 0

10

, 

0 1

00

, 

0 0

0



1

a) Dễ thấy, u  (a, b) a(1,0) b(0,1)

Giải

nên uE

o

a 





b

Xét



1 2

k (1,1) k (1,2)  (a, b) .



u1 u2



Nhân vào, cộng lại rồi đồng nhất ta được:

k1 k2 a k1  2a b

B 

k

k



2k

2

Suy ra u2a b 

b a

1 2 b

b a



a 

b) Dễ thấy, u  (a, b, c) a(1,0,0) b(0,1,0) c(0,0,1)

nên u

b 

o

E 

c 

Xét



k1 (1,1,1) k2 (1,0,1) k3 (0,1,1)  (a, b, c) .



u1



u2



u3

k1

k2 a



1

Nhân vào, cộng lại rồi đồng nhất ta được: k

k



1

k2

k3 b

k3 c

Giải hệ ta được nghiệm:

k1

k

a b c

c b



2

k

3 

.





a b c 

c a



Suy ra uB





c b 



c a 

x1 



c) Dễ thấy,

x  (x , x

,..., x

) x (1,0,...,0) x

(0,1,...,0),... x

(0,0,...,1)

nên u

x2 .

1 2 n

1

2

n

Eo 

e1 e2 en



x

n 

d) Dễ thấy, u  2  3x  5x 2 2.1  3.x  5.x 2nên u

2

 3.

o

E 

5



B  {1, x  1, (x  1) 2 }  {1, x  1, x 2  2x  1}

2 2

Xét k1 .1 k2(x  1) k3(x  2x  1)  2  3x  5x .

Nhân vào, cộng lại theo bậc đa thức rồi đồng nhất ta được



2

k1 k2 k3  2

k1  10

k



2k



k

 5

3

2 3

 3 k  13

Suy ra u





10

13.

k3  5 

B 

5 



a 



a b 

1 0

0 1

0 0

0 0

b 

e) Dễ thấy,

A 

c

a

d 0

b

0 0

c

0 1

d 

0 0

nên uE

1

o

c . 



d 

4.4. Tính chất

i) Tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở (được sắp) cho trước là duy nhất.

ii) u vB

uB+ vB, kuBk uB

với mọi u, v  và mọi

k 

iii) u vB=uB+vB

với mọi u, v  và mọi,

Hai tính chất (ii) và (iii) tương đương nhau và gọi là tính chất tuyến tính.

Ví dụ 3.25 Cho

B u1 (1,2,0,1), u2 (0,1,1,1), u3 (1,3,2,0), u4 (1,3,1,1)là cơ sở không

21 



gian 4và hai vectơ

u, v

có tọa độ đối với cơ sở B là u3, v2. Tìm u ,

0

3

B 



1

B 



 1

2u  3vB,

2u  3v .

Giải



u  2(1,2,0,1)  3(0,1,1,1)  0.(1,3,2,0)  1(1,3,1,1)  (3,10,4,2)

21 7 



2u  3v2 u+3 v

 2 3

2 = 12 

B B B

033 9 



1 

1

 1

2u  3v  7(1,2,0,1)  12(0,1,1,1)  9.(1,3,2,0)  1(1,3,1,1)  (15,50,29,4) 

4.5. Ñònh nghóa

Cho B = u1, u2,..., un, E v1, v 2,..., v nlà hai cơ sở của -không gian vectơ . Khi

đó ma trận chuyển cơ sở từ B sang E , ký hiệu

P( BE ) ,là

v v

v 

ký hiệu

P

1 B 2 B n B 

( BE )

Ví dụ 3.26 Trong không gian 3cho cơ sở chính tắc

Eo={i  (1,0,0), j  (0,1,0), k  (0,0,1)} và hai cơ sở

B  {u1  (1,1,1), u2  (1,0,1), u3  (0,1,1)} , E  {v1  (1,2,1), v2  (1,3,2), v3  (2,5,2)}.

a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ Eo

b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ Eo

sang B . sang E .

c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E .

Giải

Dựa vào kết quả ví dụ 3.23.b

a) Ma trận chuyển cơ sở từ Eosang B

1 1 0

P = u u

u 

= 1 0 1

( Eo B )

1 Eo

2 Eo

3 Eo





1



1 1 

b) Ma trận chuyển cơ sở từ Eosang E

1 1 2

P = v v

v 

=  2 3 5

( Eo E )

1 Eo

2 Eo

3 Eo





2



 1 2 

c) Ma trận chuyển cơ sở từ B sang E

P = v v v 

( BE ) 1 B 2 B 3 B

.





a b c 



Trong ví dụ 3.23b, với u  (a, b, c) thì uB





c b 



c a 



4

2 

5 

Lần lượt thay u bởi

v , v , v

ta được: v  3 , v 

, v  3

1 2 3

1 B 

2 B  13 B 

 2

1 

0 



4 2 5 





Suy ra, trận chuyển cơ sở từ B sang E : P(BE )  3  1  3



 2 1 0 

4.6. Định lý 3.8

Cho B = u1, u2,..., un, đó

E v1, v 2,..., v nlà hai cơ sở của -không gian vectơ . Khi

i) Ma trận

ii) Ma trận

P( BE )

P( BE )

duy nhất. khả nghịch và

P( E B )

= P  1 .

( B E )

iii) uB=

P( BE ) uE

với mọi u . ( công thức đổi tọa độ)

iv) P( BE ) =

P(BF ) P(F E ) , với mọi F là một cơ sở nào đó của .

Ví dụ 3.27 Cho B = u1, u2, u3, là cơ sở của -không gian vectơ  và tập

E v1 u1 u2 u3, v2 u2 u3, v3 u1 u3

a) Chứng minh E là cơ sở của  và tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E .

b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang B .

c) Tìm u

vaø v

biết u

2

 3, v

1 

 2.

B E E B 

1 3



Giải

a) Vì cơ sở B của  có 3 vec tơ nên dim  = 3. Vì số vectơ của E bằng số chiều của , nên E là cơ sở của  khi và chỉ khi E độc lập tuyến tính.

Ta có:

k1 v1  k 2 v 2  k 3 v3  0V 



k1 (u1 u2u3 ) k2(u2u3 ) k3(u1 u3 )  0V(k1k3)u1  (k1k2)u2 (k1k2k3)u3 0V

k1



1

k

k2

k3  0

 0

k

k



1 2

k3  0

k1 k2 k3  0

Suy ra, E độc lập tuyến tính.

Vậy E là cơ sở của .

Ma trận chuyển cơ sở từ B sang E : P

= v v v 

1 0 1

= 1 1 0

( BE )

1 B 2 B

3 B





1 0



1

1





1 

11

b) Ma trận chuyển cơ sở từ E sang B :

P( E B )

= P  1

( B E )

= 1 1 0

1

1





1 

1 	0	1 1	0	0 	1 	0	1	1	0	0 	1 	0	0	1	1	 1
1	1	0 0	1	0 0		1	 1	 1	1	0 0		1	0	 1	0	1 
1 1 1 0 			0 10 0 1 					0  1 10 0 1 						0  1 1  

Có thể bạn quan tâm!

• Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 8
• Tổ Hợp Tuyến Tính-Không Gian Con Sinh Bởi Một Tập Hợp
• Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 10
• Độ Dài Vectơ (Muđun Vectơ, Chuẩn Vectơ)
• / Trong Các Trường Hợp Sau Đây, Hãy Xác Định Tham Số M Để Véctơ X Là Tổ Hợp Tuyến Tính Của Các Véctơ U, V, W.
• / Một Vật Có Khối Lượng M Được Đặt Ở Cuối Lò Xo Và Kéo Theo Hướng Thẳng Đứng Về Phía Dưới Rồi Thả Ra, Thì Hệ Vật Và Lò Xo Sẽ Bắt Đầu

Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.



Suy ra,

P( E B )

1 1





=  1 0

0

 1

1 0

 1



1 .

1





12

3



c) uB=

P( BE ) uE

= 1 1

1 1

03

11 

= 5

6



1 1

 11 0

v= P

v

=  1 0



1 2 = 2 

E ( E B ) B 

 0  1

1 3

1 



a

b, c



Ví dụ 3.28 Trong không gian

Oxyz 3cho ba lực ,

không đồng phẳng



F

a

b, c

(độc lập tuyến tính) và lực tùy ý. Khi đó , là một cơ sở 3nên tồn tại duy



nhất

k1 , k2 , k3  thỏa

k1a + k2bk3c = F . Ý nghĩa kết quả này là nếu có ba động

cô (2 chiều) có cường độ thay đổi được, có phương không đồng phẳng cùng đặt lên một vật thì khi cần tác dụng vào vật một lực có cường độ và hướng tùy ý, chúng ta có thể điều chỉ các động cơ để thực hiện được mong muốn này. 

Ví dụ 3.29 Khi phóng các vệ tinh nhân tạo để phục vụ cho các nhu cầu dân sự hoặc quân sự của con người thì một vấn đề nảy sinh là vệ tinh có thể chuyển động không theo quỹ đạo chính xác như mong muốn (ở đây chúng ta tạm gọi là quỹ đạo chính



xác). Sự lệch khỏi quỹ đạo chính xác (ở đây chưa xét đến sự lệch góc nghiêng làm cho vệ tinh bị lệch các ănngten thu phát tín hiệu và các panel thu năng lượng mặt trời) có thể xảy ra theo mọi hướng. Để vệ tinh trở lại quỹ đạo chính xác cần tác dụng lên vệ tinh một lực qua khối tâm ngược hướng lệch và có độ lớn vừa đủ. Một cách để giải vấn đề này, người ta thiết kế 3 động cơ phản lực (vì là mơi trường chân khơng hoặc mơi trường khơng khí rất lỗng nên chỉ cĩ thể sử dụng động cơ phản lực) có phương không đồng phẳng (thường thì đôi một vuông góc) đi qua khối tâm và có cường độ thay đổi được, để khi cần thiết có thể tổ hợp lại được một lực theo phương tùy ý và có cường độ thích hợp. Ngoài ra, cần thiết kế ít nhất một động cơ dự phòng để khi có bất kỳ một động cơ chính nào bị hỏng thì hai động cơ còn lại có thể kết hợp động cơ dự phòng cũng tổ hợp được một lực theo phương tùy ý và cường độ phù hợp. Tức là, các động cơ dược

thiết kế sao cho cứ chọn 3 động cơ bất kỳ thì vectơ chỉ phương (  0 ) các lực của các động cơ tạo thành một cơ sở của3. 

Đ5. KHễNG GIAN EUCLIDE

Trong bài này chúng ta chỉ xét khơng gian vectơ trên trường số thực .

Từ bài §1 đến bài §4 chúng ta nghiên cứu mở rộng các khái niệm vectơ hình học sang không gian vectơ liên quan hai phép toán cộng “+” vectơ và phép nhân “.” một số với một vectơ. Tiếp theo, trong bài này, chúng ta cùng nghiên cứu mở rộng phép tích vô hướng và các khái niệm liên quan của các vectơ hình học sang không gian vectơ.

Trước tiên, nhắc lại tích vô hướng cùng với các tính chất và các khái niệm như độ dài vectơ, góc giữa hai vectơ , trực giao,… của các vectơ hình học.

Trong mặt phẳng Oxy 2

Trong không gian Oxyz 3

 a  (a , a ) , b  (b , b ) 2; k  1 2 1 2  Tích vô hướng  a . b a1b1a2b2(tích vô hướng hai vectơ là một số thực) Tính chất  i) a . b b . a  ii) (ac ). b a . b c . b  iii) (k a) b k a . b  iv) a . a  0 ; a . a  0 a  0  Độ dài vectơ  a = a 2 a 2 = a . a 1 2   Góc giữa hai vectơ : ( a , b ) =thỏa  cos= a . b hay . cos a b a b a b  Hai vectơ vuông góc (trực giao)  a b a . b = 0

 a  (a , a , a ) , b  (b , b , b ) 3; k  1 2 3 1 2 3  Tích vô hướng  a . b a1b1a2b2a3b3(tích vô hướng hai vectơ là một số thực) Tính chất  i) a . b b . a  ii) (ac ). b a . b c . b  iii) (k a) b k a . b  iv) a . a  0 ; a . a  0 a  0  Độ dài vectơ  a = a 2 a 2 a 2 = a . a 1 2 3   Góc giữa hai vectơ : ( a , b ) =thỏa  cos= a . b hay . cos a b a b a b  Hai vectơ vuông góc (trực giao)  a b a . b = 0

5.1 . Định nghĩa –Tính chất cơ bản

5.1.1- Ñònh nghóa

Cho -không gian vectơ . Một tích vô hướng trên  là một ánh xạ

< , > :   (tích vô hướng của hai vectơ cho kết quả là một số thực)

(u, v)

 u, v 

thỏa mãn 4 tính chất sau : u, v, w ; k 

i) u, v =

v, u 

ii) u w, v = u, v + w, v 

iii) ku, v = k u, v 

iv) u, u 

 0 ;

u, u 

u = 0V

Một không gian vevtơ trên  được trang bị một tích vô hướng gọi là không gian Euclide.

Ví dụ 3.30 Tích vô hướng Euclide

Tương tự như tích vô hướng trên 2và 3ở trên, ta có tích vô hướng trên n

x = (x1 , x2 ,…, xn) n, y = (y1, y2,…, yn) n

ÑN

<x,y> x1 y1 + x2 y2 + .….+ xn yn

và gọi là tích vô hướng Euclide. 

Ví dụ 3.31

 = n, x = (x1, x2,…, xn) n, y = (y1, y2,…, yn) nvà 1, 2, …, nlà các số thực dương. Khi đó

<x,y>là một tích vô hướng trên n.

ÑN

1x1 y1 + 2x2 y2 + .….+ nxn yn

Khi 1= 2= …= n= 1 thì tích vô hướng trên trở thành tích vô hướng Euclide.

<x,y> x1 y1 + x2 y2 + .….+ xn yn

Chứng minh

Rõ ràng tích trên là một số thực nên chúng ta còn cần phải kiểm tra 4 tính chất trong định nghĩa tích vô hướng.

Với mọi x = (x1, x2,…, xn), y = (y1, y2,…, yn)n, z = (z1, z2,…, zn)n; k  và

1, 2, …, nlà các số thực dương.

i) <x,y>1x1 y1 + 2x2 y2 + .….+ nxn yn=1 y1x1 + 2y2 x2 + .….+ nyn xn = <y,x>