Trang chủ / Toán Cao Cấp

Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 10

2.2 .3 - Định lý 3.3

Trong không gian n( hoặc n) cho hệ m vectô


u1 (a11 , a12 ,....., a1n )

a11

a12

a1n

u

2

(a21 , a22 ,...., a2n )

. Đặt A = a21

a22

a2n (xếp các vectơ vào A theo hàng)

.....................................

um (am1 , am2 ,....., amn )

Khi đó:

am1 am2

amn

a) Hệ vectơ u1, u2,..., umđộc lập tuyến tính khi và chỉ khi

r( A) m .

b) Hệ vectơ u1, u2,..., umphụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi Khi m = n thì A là ma trận vuông, ta có:

r( A) m .

a’) Hệ vectơ u1, u2,..., umđộc lập tuyến tính khi và chỉ khi

det A 0 .

b’) Hệ vectơ u1, u2,..., umphụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi det A 0 .

Chứng minh

k u1 (a11k , a12 k ,....., a1n k )

1 1 1 1

Ta có

k u2 (a21k , a22 k ,...., a2n k )

2 2 2 2

.....................................

kmum (am1km, am2 km,....., amn km)

Vectơ không 0 (0,0,...,0) .


k1 u1


k 2 u 2


.... k m u m

a11k1 a 21k 2 ..... a m1k m 0

0 12 1 22 2 m2 (*)

a k a k .... a k m 0

...............................................

a1n k1 a 2n k 2 .... a mn k m 0


a11

a21

am1 k1

0

a12 a22 am2 k2 = 0

a a

a k 0

1n2nmnm

ATX

0

Áp dụng định lý Cronecker–Capelli, định lý Cramer, tính chất hạng ma trận

Hệ vectơ u1, u2,..., umđộc lập tuyến tính

mn


r( AT ) m

r( A) m

det A 0

Hệ vectơ u1, u2,..., umphụ thuộc tuyến tính

mn

r( AT ) m

r( A) m

det A 0 ª

Ví dụ 3.19 Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ

4

u1 (1,2,3,4), u2 (2,3,1,2), u3 (4,7,7, a)trong không gian .



1 2


3 4


1 2

Giải

3


4

1 2 3 4

A 2 3 1

2 0

1 5

6

0 1 5 6

0

0

0

Ar

4 7 7

0

1 5

16

a 10


r( A) 2

3

khi khi

a 10

a 10


Số vectơ của hệ này là 3.


Khi

a 10

thì

r( A) 2 3

nên hệ vectơ u1 (1,2,3,4), u2 (2,3,1,2), u3 (4,7,7, a)

phụ thuộc tuyến tính .

Khi


a 10

thì


r( A) 3

nên hệ vectơ u1 (1,2,3,4), u2 (2,3,1,2), u3 (4,7,7, a)

độc

lập tuyến tính.

Đ3. CƠ SỞ - SỐ CHIỀU - HẠNG HỆ VECTƠ

3.1. Ñònh nghóa


Cho -không gian vectơ và B = u1, u2,..., un. Tập B gọi là cơ sở của nếu B độc lập tuyến tính và laứ taọp sinh của . Khi đó, số vectơ trong cơ sở B gọi là số chiều của , ký hiệu dim . Như vậy

dim = n (bằng số vectơ trong cơ sở của )


Ví dụ 3.20 Dựa vào kết quả ví dụ 3.15 và 3.17 ta có:

a) Tập {i (1,0), j (0,1)} là cơ sở của 2và dim 2= 2. Cơ sở này gọi là cơ sở chính tắc của 2.

b) Tập {i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1)} là cơ sở của 3và dim 3= 3. Cơ sở này gọi là

cơ sở chính tắc của 3.


c) Tập

{e1

(1,0,...,0), e2

(0,1,...,0),..., en

(0,0,...,1)}

là cơ sở của nvà dim 3= n. Cô

sở này gọi là cơ sở chính tắc của n.


d) Tập

{1, x, x 2 ,..., x n }

là cơ sở của

Pn [x]

và dim Pn[x]

= n+1. Cơ sở này gọi là cơ sở

chính tắc của Pn[x] .


e) Tập

1

0

00

,

0 0

10

,

0 1

00

,

0 0

0

1


là cơ sở của


M 22 [R]

và dim M 22 [R]


= 4. Cô

sở này gọi là cơ sở chính tắc của

Lưu yù

M 22 [R] .

i) Không gian 0V- không gian chỉ gồm vectơ không , có số chiều là 0 .

ii) Nếu có một cơ sở gồm hữu hạn vectơ thì V gọi là không gian vectơ hữu hạn chiều. Nếu có một tập con độc lập tuyến tính gồm vô hạn vectơ thì gọi là không gian vectơ vô hạn chiều.

iii) Các không gian

Ca, b, C(a, b) , C(),

D(a, b) , D (), D(),

T (a, b) , T[a, b] là các

không gian vô hạn chiều vì {1, x, x 2,..., x n,...} là một tập con của các không gian này gồm vô hạn vectơ và độc lập tuyến tính.

iv) Trong bày lý thuyết tiếp theo sau của tài liệu này, khi nói đến không gian vectơ thì thường chúng ta chỉ xét không gian vectơ hữu hạn chiều.

v) Trong định nghĩa trên, trước khi định nghĩa số chiều, chúng ta đã bỏ qua việc cần chứng minh rằng đối với không gian hữu hạn chiều thì mọi cơ sở có cùng số vectơ.


3.2. Định lý 3.4

Giả sử dim= n, B = u1, u2,..., unvà tập


S . Khi đó ta có:


i) Nếu tập S có nhiều hơn n vectơ thì S phụ thuộc tuyến tính .

ii) Nếu tập S có ít hơn n vectơ thì S không là tập sinh của .

iii) B là cơ sở của khi và chỉ khi B độc lập tuyến tính.

iv) B là cơ sở của V khi và chỉ khi B sinh ra không gian .

Ví dụ 3.21 Tập hợp vectơ nào sau đây là cơ sở của 3? a) S = (1,2,4), (2,3,1), (6,35,9), (1,4,7)

b) S = (1,2,3), (2,3,1)

c) B (1,2,3), (3,4,5), (7,8, m), với m là tham số.

Giải

Số chiều của 3là dim 3= 3 = n. Áp dụng định lý 3.4:

a) Số vectơ của tập S là 4, nhiều hơn số chiều của 3là 3, nên S phụ thuộc tuyến tính. Do đó S không là cơ sở của 3.

b) Số vectơ của tập S là 2, ít hơn số chiều của 3là 3, nên S không là tập sinh của

3. Do đó S không là cơ sở của 3.

c) Số vectơ của tập B là 3, bằng số chiều của 3. Do đó, B là cơ sở của 3khi và chỉ khi B độc lập tuyến tính.


Lập ma trận: A

7

m

0

8


6


m 21

= A

0

0

r

1

2

3

1

2

3

1

2

3

3

4

5 0

2

4

0

2

4

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.

Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 10

m 9

Khi

m 9

thì

r( A) 2 3

nên tập vectơ

B (1,2,3), (3,4,5), (7,8, m)phụ thuộc tuyến

tính . Do đó B không là cơ sở của 3.


Khi

m 9

thì

r( A) 3

nên tập vectơ

B (1,2,3), (3,4,5), (7,8, m)độc lập tuyến tính

tuyến tính . Do đó B là cơ sở của 3.

3.3. Định lý 3.5 ( về cơ sở không toàn vẹn)

Cho -không gian vectơ có dim = n và S= u1, u2,..., umhệ vectơ độc lập

tuyến tính, m n . Khi đó:

i) Với mọi vectơ lập tuyến tính.

u ,

0V u S , thì

S {u} u, u1, u2,..., umlà hệ vectơ độc

ii) Có thể bổ sung vào S= u1, u2,..., umthêm

.

3.4. Ñònh nghóa (hạng hệ vectơ)

n m

vectơ nữa để được một cơ sở của

Hạng hệ vectơ u1, u2,..., um, ký hiệu

r(u1 , u2 ,..., um )

hoặc

rank (u1, u2,..., um) , là số

chiều của không gian con = u1 , u2 ,..., um .

r(u1 , u2 ,..., um ) = dim u1 , u2 ,..., um

3.5. Định lý 3.6


Trong không gian n( hoặc n) cho hệ m vectô


u1 (a11 , a12 ,....., a1n )

a11

a12

a1n

u

2

(a21 , a22 ,...., a2n )

. Đặt A = a21

a22

a2n


(xếp các vectơ vào A theo hàng)

.....................................

um (am1 , am2 ,....., amn )

am1 am2

amn

biến đổi sơ

= u1, u2,..., um. Giả sử A


Khi đó ta có:

.............

cấp hàng

Ar, với Arlà ma trận rút gọn bậc thang.

i) Hạng của hệ vectơ u1, u2,..., umlà:

r(u1 , u2 ,..., um )

= r(A)

ii) Các vectơ hàng (mỗi hàng của ma trận A hoặc Artương ứng là một vectơ trong nvà

mỗi vectơ như thế gọi là vectơ hàng) khác zêro của ma trận Arthì độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở của không gian con .

iii) dim= r(A) = số hàng khác zêro của ma trận Ar.

n

iv) u1, u2,..., umlà hệ sinh (tập sinh) của khi và chỉ khi r(A) = n.

Ví dụ 3.22 Gọi là không gian con của 4sinh bởi hệ vectơ

u1 (1,2,0,1), u2 (2,3,1,2), u3 (3,5,1,1), u4 (4,7,1,0)

a) Tìm hạng hệ vectơ u1, u2, u3, u4.

b) Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con .

4

c) Hệ vectơ u1, u2, u3, u4có là hệ sinh của không? Tại sao?

d) Bổ sung vào cơ sở của ở (b) để được một cơ sở của 4.

Giải

1 2 0

1

1 2

0 1

1 2

0 1

A 2 3 1

2 0

1 1

4 0

1 1

4 A

3

5

1

1

0 1

1

4

0 0

0

0

7

1

0

0 1

1

4

0 0

0

0

4

Áp dụng định lý 3.6 ta được:

a) Hạng hệ vectơ u1, u2, u3, u4là:

r


r(u1 , u2 , u3 , u4 ) r( A) 2


b) Hai hàng khác zêro của Artạo thành một cơ sở của nên một cơ sở củalà

B = v1 (1,2,0,1), v2 (0,1,1,4)

4

Số chiều của là: dim = 2


c) Vì

r( A) 2 4

nên u1, u2, u3, u4không là hệ sinh của .


d) Vì dim 4= 4 nên dựa vào định lý 3.4 ta thấy cần phải bổ sung vào B hai

vectô

v3 , v4

sao cho v1, v2, v3, v4độc lập tuyến tính. Tức là, nếu lấy

v3 , v4

thay

vào hai hàng zêro của ta chọn

Arsẽ được một ma trận có hạng bằng 4. Do đó chúng


Vậy bổ sung v3, v4

v3 (0,0,1,0), v4 (0,0,0,1)

vào B được cơ sở cần tìm là

v1 (1,2,0,1), v2 (0,1,1,4), v3 (0,0,1,0), v4 (0,0,0,1)

Lưu yù Có nhiều (vô số) cách bổ sung vào B để được cơ sở của 4.

§4. TỌA ĐỘ-CHUYỂN CƠ SỞ


4.1. Cơ sở được sắp Một cơ sở được sắp của không gian vectơ là cơ sở mà ta có tính đến thứ tự các vectơ được viết trong cơ sở đó.

Ví dụ 3.23

a) {i (1,0), j (0,1)} và { j (0,1), i (1,0)} là hai cơ sở được sắp khác nhau của 2.


b) {i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1)}

và

{i (1,0,0), k (0,0,1), j (0,1,0)}

là hai cơ sở được

sắp khác nhau của 3.

c) {1, x, x 2, x 3} và {x 3, x 2, x,1} là hai cơ sở được sắp khác nhau của


P3 [x] .

Lưu ý Sau này khi nói đến cơ sở (mà không nói rõ đó là cơ sở được sắp) thì thường ta hiểu đó là cơ sở được sắp theo thứ tự mà ta viết các vectơ trong cơ sở đó.

4.2. Định lý 3.7

Cho -không gian vectơ và B = u1, u2,..., unlà một cơ sở (được sắp) của . Khi

đó, với mỗi u , tồn tại duy nhất bộ số (k1, k2,..., kn)

với

ki ( i 1, n ) , sao cho



Sự tồn tại:

k1 u1 k 2 u 2 .... k n u n u

Chứng minh

Vì B là cơ sở của nên là tập sinh của . Do đó, với mỗi u thì u phải là tổ hợp

tuyến tính của u1, u2,..., un. Suy ra, tồn tại

k1 , k2 ,..., kn sao cho


Sự duy nhất:

k1 u1 k 2 u 2 .... k n u n u

Giả sử

Ta được

1 u1 2 u 2 .... n u n u

với1 ,2 ,...,n .

1 u1 2 u 2 .... n u n u k1 u1 k 2 u 2 .... k n u n

Chuyển vế và đặt thừa số chung các ui ( i 1, n ) ta được

(1 - k1 )u1 (2 - k 2 )u 2 .... (n - k n )u n 0V

Do B độc lập tuyến tính nên

1 - k1 0,2 - k 2 0,....,n - k n 0

Vậy


1 k1 ,2 k 2 ,....,n k n ª

Dựa vào định lý 3.7, tiếp theo chúng ta định nghĩa tọa độ vectơ, ma tận chuyển cơ và đổi tọa độ.

4.3. Ñònh nghóa

Cho B = u1, u2,..., unlà một cơ sở của -không gian vectơ và

u . Theo đònh

lý 3.7 tồn tại duy nhất bộ số

(k1 , k2 ,..., kn )

với

ki( i 1, n ) thỏa

k1u1 k 2u 2 .... k nu nu . Khi đó, ma trận cột (vectơ cột)

k1

k2

k

n

gọi là tọa độ của u đối với cơ sở B , ký hiệu uB.

Lưu yù Tọa độ của một vectơ thường được viết dạng cột để thuận tiện cho phép toán ma trận, từ đó dễ thiết lập một số công thức gọn và đẹp. Nhưng cách viết này đôi khi tốn nhiều giấy(sẽ gián tiếp gây tổn hại kinh tế và môi trường), nên nếu không cần thực hiện phép toán ma trận thì thay vì viết dạng cột chúng ta có thể viết tọa độ vectơ dạng

hàng thông.

(k1, k2,..., kn) -giống như cách viết trong hình học giải tích chương trình phổ

Tóm lại

B = u1, u2,..., unlà cơ sở của -không gian vectơ và u

k1

k u k u .... k u u với k ( i 1, n )

1 1 2

2

n n

i

u=

k

2

B

k

n


Ví dụ 3.24

a) Trong không gian 2cho cơ sở chính tắc


Eo={i (1,0), j (0,1)} , cơ sở

2

Eo B

B {u1 (1,1), u2 (1,2)} và u (a, b) . Tìm u, u.


b) Trong không gian 3cho cơ sở chính tắc E ={i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1)}, cô

3

o

sở

B {u1 (1,1,1), u2 (1,0,1), u3 (0,1,1)} và u (a, b, c) . Tìm u, u.


Eo B

c) Trong không gian n, tìm tọa độ vectô

x (x1 , x2

,..., xn )

đối với cơ sở chính tắc


Eo = {e1 (1,0,...,0), e2 (0,1,...,0),..., en (0,0,...,1)}

..... Xem trang tiếp theo?
⇦ Trang trước - Trang tiếp theo ⇨

Ngày đăng: 11/01/2023