Tổ Hợp Tuyến Tính-Không Gian Con Sinh Bởi Một Tập Hợp

§2. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH - PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

2.1. Tổ hợp tuyến tính-Không gian con sinh bởi một tập hợp

2.1. 1. Ñònh nghóa Cho -không gian vectơ  và các vectơ u, u1, u2,..., um.

i) Vectô u gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

k1 , k 2 ,..., k m  sao cho

u1 , u2 ,..., um

nếu tồn tại các số

k1 u1  k 2 u 2  ....  k m u m u

Khi đó ta nói u biểu diễn tuyến tính được qua hệ (họ) vectơ u1, u2,..., um.

Có thể bạn quan tâm!

• Định Lý 2.4Ù Cho Hai Hệ Phương Trình Tuyến Tính
• Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 7
• Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 8
• Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 10
• Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - 11
• Độ Dài Vectơ (Muđun Vectơ, Chuẩn Vectơ)

Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.

ii) Mọi vectơ

v k1 u1 k2 u 2  .... km u m

, với

k1 , k 2 ,..., k m 

gọi là tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ u1, u2,..., um.

Lưu yù Chúng ta gọi hệ vectơ hay họ vectơ hay tập vectơ (viết có dấu ) đều được. Hầu hết mọi người thường gọi hệ vectơ là do từ cội nguồn hệ tọa độ Đê-các.(hệ



{ i , j} hay hệ { i , j, k} )

Ví dụ 3.12 Xét  = D () – không gian các hàm số có đạo hàm trên .

a) Vectô

u  cos 2x

là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

u1  sin x

và

u2  cos x vì

2

2

1. cos 2 x  (1).sin 2 x  cos 2x .

b) Vectô

u  sin 3x

là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

u1  sin x

và

u2  sin x vì

3

3.sin x  (4).sin 3 x  sin 3x .

c) Vectô

u e x

không là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

u1 e

và

u2 e vì

2 x

3 x

không tồn tại

k1 , k 2  thỏa

2 x 3x x

k1e k e e (*).

2

Thật vậy, từ (*) lần lượt cho

x  0 ,

x  1

và

x  2

ta được hệ

k1 k2  1

2 3

e k1

e4k

e k2

e6k

e

e2

vô nghiệm. 

1 2

Ví dụ 3.13 Trong không gian 3, hãy xác định tham số m để vectơ hợp tuyến tính của các vectơ u1 (1,2,3), u2 (2,3,4), u3 (3,4,5) .

Giải

u  (2,4, m)

là tổ

Vectô u  (2,4, m) là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

u1  (1,2,3) ,

u2  (2,3,4) ,

(*)

u3 (3,4,5) khi và chỉ khi:  k1, k 2, k 3 thỏa

k1 (1,2,3) k2 (2,3,4) + k3 (3,4,5)

 (2,4, m)

Nhân các số

k1 , k 2 , k 3

vào rồi cộng các vectơ lại và đồng nhất ta được

k1

2k

 2k2  3k3

 3k  4k

 2

 4 (**)

1



1

3k

2

 4k2 

1 2 3



3

5k3 m

: 2 



1 2 3 : 2 





Xét

A  2 3 4 : 4  .....  0 1 2 :

0 = Ar

3

m

0

4

5

:

0





0 : m  6

Tồn tại k1, k 2, k 3 thỏa (*) Hệ phương trình (**) có

nghiệm m  6  0 m  6 .

Vậy vectơ

u  (2,4, m)

là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

u1  (1,2,3) ,

u2  (2,3,4) ,

u3  (3,4,5)

khi

m  6 . 

Ví dụ 3.14 Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

x1

2x

 2x2

x

x3

x

 8x4

 7x

 5x5  0

 4x  0

1 2

x x

3 4

 5x

5

 3x  0

1 2 4 5

Giải hệ này chúng ta được nghiệm tổng quát

(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )  (k1  2k2 k3 , k1  3k2  2k3 , k1 , k2 , k3 )

Biểu diễn lại nghiệm tổng quát này như sau

với mọi

k1 , k2 , k3 

u  (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) 

k1 (1,1,1,0,0) +

k2 (2,3,0,1,0) + k3 (1,2,0,01)

với mọi

k1 , k2 , k3 



u1



u2



u3

Nhận thấy, vectơ nghiệm tổng quát u là tổ hợp tuyến tính của các vectơ nghiệm cơ bản u1, u2, u3. 

Làm tương tự ví dụ trên, chúng ta cũng chứng minh được nếu một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có vô số nghiệm thì nghiệm tổng quát của hệ là tổ hợp tuyến tính của hệ nghiệm cơ bản.

2.1. 2. Định lý 3.2– Định nghĩa

Cho -không gian vectơ  và các vectơ u1, u2,..., um. Khi đó, tập hợp tất cả các

vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1, u2,..., um

k1u1 k2u2  ... kmum : k1, k2,..., km  

ký hiệu



u1 , u2 ,..., um = 

là một không gian con của , gọi là không gian con sinh bởi các vectơ u1, u2,..., um.

Nói cách khác, = u1, u2,..., um

là không gian con của  sinh bởi u1, u2,..., um

hay u1, u2,..., umlà tập sinh của .

Trong trường hợp

u1, u2,..., um=  thì ta nói  sinh ra bởi tập u1, u2,..., um, hay

u1, u2,..., umlaứ tập sinh của , hay u1, u2,..., umlaứ heọ sinh của .

Chứng minh

Với mọi u, v  và với mọi. Ta có

Suy ra

u  nên u k1u1 k2u2  ... km um

v  nên v h1u1 h2u2  ... hm um

với với

k1 , k2 ,..., km 

h1 , h2 ,..., hm 

u v (k1u1 k2 u2  ... kn um ) h1u1 h2 u2  ... hm um

 (k1 h1 )u1  (k2 h2 )u2  ...  (km hm )um 

Vậy  là không gian con của . ª

Chứng minh tương tự, với S , tập

ÑN

S 

k u

k u

 ... k u

: u , u

,..., u

S và

k , k

,..., k

 

1 1 2 2

m m 1 2 m

1 2 m

cũng là không gian con của , gọi là không gian con sinh bởi S .

Nếu S =  thì ta nói  sinh ra bởi tập S hay S là tập sinh của .

Lưu yù

i) Một số tài liệu dùng ký hiệu span u1, u2,..., umthay cho u1, u2,..., um. ii) 0V.

iii) u1, u2,..., umlà tập sinh của  khi và chỉ khi mọi u  luôn biểu diễn tuyến tính

được qua hệ vectơ u1, u2,..., um.

Ví dụ 3.15

a) Xeùt khoâng gian vectô 2

 {i  (1,0), j  (0,1)} = {a(1,0) b(0,1) : a, b } = Vậy {i  (1,0), j  (0,1)} là tập sinh của 2.

b) Xeùt khoâng gian vectô 3

{(a, b) : a, b } = 2

 {i  (1,0,0), j  (0,1,0), k  (0,0,1)} = {a(1,00) b(0,1,0) c(0,0,1) : a, b, c }

= {(a, b, c) : a, b, c } = 3

Vậy {i  (1,0,0), j  (0,1,0), k  (0,0,1)} là tập sinh của 3.

c) Xeùt khoâng gian vectô n

 {e1  (1,0,...,0), e2  (0,1,...,0),..., en  (0,0,...,1)} 

= {x1 (1,0,...,0) x2 (0,1,...,0)  ... xn (0,0,...,1) : x1 , x2 ,..., xn }

n

= (x1, x 2,...., x n) : x i , i  1, n = 

Vậy {e1

 (1,0,...,0), e2

 (0,1,...,0),..., en

 (0,0,...,1)} là tập sinh của n.

d) Xeùt khoâng gian vectô

Pn [x]

 {1, x, x 2 ,..., x n } = {a 1 a x a x 2  ... a x n : a , a , a ,..., a } = P [x]

o 1 2 n o 1 2 n n

Vậy {1, x, x 2,..., x n} là tập sinh của P [x] .

n

e) Xét không gian vectơ M 22 [R] - không gian các ma trận thực cấp 2.



1 00

, 

 0 0 0

10

, 

0 1

00 0

=

, 

0 0 1

1 0

0 1

0 0

0 0

a0

b

0 0

c

0 1

d 

0 0

: a,b,c, d R

1







a b 

= c

: a, b, c, d R=

d

M 22 [R]

1

00

10

00



0

0

Vậy 



, 

0 0

, 

0 1

, 

0 0

là tập sinh của

1

M 22 [R] . 

2.2.Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính

2.2 .1. Ñònh nghóa

Cho -không gian vectơ , các vectơ u1, u2,..., um và S .

i)Hệ vectơ u1, u2,..., um

gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu

k1 , k 2 ,.., k m 

không đồng thời bằng 0 sao cho k1 u1  k 2 u 2  ....  k m u m 0v.

ii) Hệ véctơ u1, u2,..., um

gọi là độc lập tuyến tính nếu đẳng thức

k1u1 k 2u 2 ....  k mu m0vchỉ thỏa mãn khi

k1 

k 2 ...... 

k m  0 .

iii) Tập S gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại hệ vectơ u1, u2,..., umS sao

cho u1 , u2 ,..., um phụ thuộc tuyến tính.

iv) Tập S gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi hệ vectô u1, u2,..., umS thì

u1, u2,..., umđộc lập tuyến tính.

Ví dụ 3.16

a) Trong không gian 2Oxy

vectô phụ thuộc tuyến tính.

b) Trong không gian 2 Oxy

hoặc 3Oxyz

hoặc 3Oxyz

thì hai vectô tỷ lệ (tương ứng) là hai

thì hai vectô không tỷ leä (tương ứng)

là hai vectơ độc lập tuyến tính.

c) Trong không gian 3Oxyz thì ba vectô đồng phẳng (tương ứng) là ba vectơ phụ

thuộc tuyến tính, ba vectô không đồng phẳng (tương ứng) là ba vectơ độc lập tuyến tính.

1 2 3

d) Trong D () –không gian các hàm số (biến t ) có đạo hàm trên tập số thực , hệ vectơ u  cos 2t, u  cos 2t, u  1phụ thuộc tuyến tính vì

2

1.u1  2.u2  1.u3  cos 2t  2 cos t  1  0

1 2 3

e) Trong D () –không gian các hàm số (biến t ) có đạo hàm trên tập số thực , hệ vectơ u  cos3t, u  cos t, u  cos 3tphụ thuộc tuyến tính vì

3

4.u1  3.u2  1.u3  4 cos t  3 cos t  cos 3t  0

f) Trong P2 [t]

–không gian các đa thức (biến t ) bậc bé hơn hay bằng 2, hệ vectơ

1

2

u  3t, u

 5t, u3 t phụ thuộc tuyến tính vì

2

5.u1  3.u2  0.u3  15t  15t  0.t 2  0

g) Trong D(0,)

–không gian các hàm số (biến t ) có đạo hàm trên tập

(0,) , hệ

1

vectô u

t, u2

 0, u3e , u  ln tphụ thuộc tuyến tính vì:

3t

4

3t

0.u1  3.u2  0.u3  0.u4  0.t  3.0  0.e  0.ln t  0

1 2 3

h) Trong D () –không gian các hàm số (biến t ) có đạo hàm trên tập số thực , hệ vectô u t, u et, u t 3độc lập tuyến tính vì:

3

t 3

k1u1 k2 u2 k3u3  0 k1t k2 e k t  0 (*)

k2  0

k



1

1

Từ (*) lần lượt cho t  0, t  1, t  2 ta được 

ek2

k3

 0 (**)

2

0 1 0

2k

e 2 k

 8k3  0

Định thức 1 e

2 e 2

1 =  6  0

8

nên hệ thuần nhất (**) chỉ có nghiệm tầm

thường k1 k2 k3  0 .

Vậy đẳng thức

k1u1k2u2k3u3 0 chỉ thỏa mãn khi k1 k2 k3  0 nên

1

2

3

u t, u et , u

t 3độc lập tuyến tính. 

Nhận xét

Mỗi lần đồng nhất đẳng thức (*) dưới đây được một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

i) k1 u1  k 2 u 2  ....  k m u m

(*)

 0V

chỉ có nghiệm tầm thường

k1 k2  ... km  0 khi và

chỉ khi hệ vectơ u1, u2,..., umđộc lập tuyến tính.

ii) k1 u1  k 2 u 2  ....  k m u m

(*)

 0V

có nghiệm không tầm thường ( k1, k2,..., kmkhông đồng

thời bằng 0 ) khi và chỉ khi hệ vectơ u1, u2,..., umphụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 3.17

a) Trong không gian 2, xét hệ (họ, tập) vectơ {i  (1,0), j  (0,1)} . Ta có

k1 (1,0) k2 (0,1)  (0,0) 

(k1 , k2 )  (0,0) 

k1 k2  0

Vậy hệ vectơ {i  (1,0), j  (0,1)} độc lập tuyến tính.

b) Trong không gian 3, xét hệ (họ, tập) vectơ {i  (1,0,0), j  (0,1,0), k  (0,0,1)}. Ta có

k1 (1,0,0) k2 (0,1,0) k3 (0,0,1)  (0,0,0) 

(k1 , k2 , k3 )  (0,0,0) 

k1 k2 k3  0

Vậy hệ vectơ {i  (1,0,0), j  (0,1,0), k  (0,0,1)} độc lập tuyến tính.

c) Trong không gian n, xét hệ vectơ có

{e1

 (1,0,...,0), e2

 (0,1,...,0),..., en

 (0,0,...,1)}. Ta

k1 (1,0,...,0) k2 (0,1,...,0)  ... kn (0,0,...,1)  (0,0,...,0)  (k1 , k2 ,..., kn )  (0,0,...,0)

k1 k2  ... kn  0

Vậy hệ vectơ {e1  (1,0,...,0), e2  (0,1,...,0),..., en  (0,0,...,1)} độc lập tuyến tính.

n

d) Trong không gian vectơ P [x] , xét hệ vectơ {1, x, x 2 ,..., x n } . Ta có

2 n

n o 1 2 n

ko 1 k1 x k2 x  ... k x  0 k k k  ... k  0

Vậy hệ vectơ {1, x, x 2,..., x n} độc lập tuyến tính.



e) Trong không gian vectơ có

M 22 [R] , xét hệ vectơ

1

0





00

, 

0 0

10

, 

0 1

00

, 

0 0

. Ta

0

1

1 0

0 1

0 0

0 0

0 0

k1

k2 

0 0

k1 0

k 

0 2 0

k 

0 3 1

k 

0 4 0



1 0



0 k

k 0 0





3

4 

1

00

10

00

k1 k2 k3 k4  0

0

0

Vậy hệ vectơ 



, 

0 0

, 

0 1

, 

0 0

độc lập tuyến tính. 

1

2.2 .2 – Tính chất Cho -không gian vectơ .

Tính chất phụ thuộc tuyến tính

i) Mọi tập hợp chứa vectơ 0vđều phụ thuộc tuyến tính. Tức là nếu 0vS thì S phụ thuộc tuyến tính

ii) Mọi tập hợp chứa tập con phụ thuộc tuyến tính thì nó phụ thuộc tuyến tính. Tức là nếu E F và E phụ thuộc tuyến tính thì F phụ thuộc tuyến tính.

iii) Tập S = u1, u 2,..., u m(m  2) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại vectơ uiS sao cho ui là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại trong S.

Tính chất độc lập tuyến tính

i) Mọi tập hợp độc lập tuyến tính thì không chứa véctơ 0v. Tức là nếu S là tập con độc lập tuyến tính của V thì 0vS.

ii) Mọi tập con khác rỗng của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. Tức là E F và F độc lập tuyến tính thì E độc lập tuyến tính.

iii) Tập S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi mỗi véctơ bất kỳ uS đều không thể là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại trong S.

iv) Mọi tập khác rỗng S thì hoặc S độc lập tuyến tính hoặc S phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 3.18 Trong không gian 3, cho hệ vectơ

u1  (1,2,3), u2  (2,3,4), u3  (6,7, m), m là tham số

Tùy theo giá trị m , xét xem hệ vectơ trên độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Ta có

k1u1 k2 u2 k3u3  0 

Giải

k1 (1,2,3) k2 (2,3,4) k3 (6,7, m)  (0,0,0)

 (k1  2k2  6k3 ,2k1  3k2  7k3 ,3k1  4k2 mk3 )  (0,0,0)

k1  2k2  6k3  0



1

 2k  3k  7k  0 (*)

2 3



1

3k  4k mk  0

2 3

1 2 6 k1 

0





2 3 7 k2 0

 3 4

m k 

0

3

AT X



0

1 2 3 





m

AT X  0 , với A  2 3

4 (các hàng của A tương ứng với u1, u2

, u3 )

6





1 2

det A  2 3

6 7

7 

3

4 = 8 m

m

- Hệ u1, u2, u3độc lập tuyến tính Hệ (*) chỉ có nghiệm tầm thường

k1 k2 k3  0

 det AT  0

 det A  0

m  8

- Hệ u1, u2, u3phụ thuộc tuyến tính Hệ (*) có nghiệm không tầm thường

 det AT  0

 det A  0

m  8 

Mở rộng phương pháp trong Ví dụ 3.18 chúng ta chứng minh một kết quả quan trọng trong định lý 3.3 sau đây.