Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM



a (a)  0 (tồn tại phần tử đối)



 1. a a



(a)  () a (a)



(ab) ab

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.



 () a aa

Mở rộng các phép toán và 8 tính chất này, chúng ta định nghĩa khái niệm khơng gian vectơ và minh họa bằng các ví dụ được xây dựng tương tự như hai phép tốn trên một cách rất tự nhiên từ như sau.

1.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản

1.1.1 Ñònh nghóa. Tập hợp được gọi là một không gian vectơ trên  (hay không gian tuyến tính trên, hay- không gian vectơ) nếu ta đã xác định hai phép toán:

* Phép toán cộng “+”:   (phép cộng hai véctơ cho kết quả là một vectơ)

(u, v)  u v

* Phép toán nhân “.” : x  (phép nhân một số với một véctơ cho kết quả là một vectơ)

(k, v)  k.v

thỏa 8 tính chất sau đây: u, v, w ; , .

u v v u (giao hoán)

 (u v) w u  (v w) (kết hợp)

0V V

sao cho: u  0V u

(tồn tại phần tử trung hòa của phép cộng)

Với mỗi vectơ u , tồn tại một vectơ (u)  sao cho: u  (u)  0V

1.u = u

(u) = ()u = (u)

(u + v) = u +v

 (+ ) u = u + u

Mỗi phần tử của  gọi là một vectơ, mỗi phần tử của  gọi là một vô hướng.

 Chú yù

0V là vectơ không của không gian vectơ  và thường có thể viết gọn là ; 0 là số

không của . Nếu không nhầm lẫn với số 0 thì vectơ khơng có thể viết là 0.

Véctơ (u) gọi là véctơ đối của véctơ u, và có thể viết là u .

Tổng u  (v)

còn được viết là u v

và gọi là hiệu của u và v .

Trong định nghĩa trên nếu chúng ta thay  bởi  thì ta được  là không gian vectơ trên . Nếu thay  bởi trường  thì ta được  là không gian vectơ trên trường  (hay -không gian vectơ ).

Tổng quát, chúng ta trình bày không gian vectơ trên trường , nhưng hầu hết các ví dụ minh họa và ứng dụng thì trường  là trường số thực .

1.1.2. Tính chất , , u, v

a)  0V

= 0V

; 0u = 0V

; (-1) u = -u

c) Nếu u = u và u  0V

thì = .

b) u = 0V

thì = 0 hay u = 0V

d) Nếu u = v và 0 thì u = v.

1.1.3. Một số ví dụ cơ bản quan trọng

Để chứng minh một tập hợp với các phép toán cộng “+” và nhân “.” là một không gian vectơ chúng ta phải kiểm tra tính chất đóng kín của hai phép toán và 8 tính chất rất dài dòng và mất nhiều thời gian, công sức. Chúng tôi đã thử nghiệm và nhận thấy bộ não mỗi người chúng ta đều có khả năng tư duy trừu tượng tương tự rất tốt. Vì vậy, trong các ví dụ sau, chúng tôi trình bày bằng cách mở rộng từ không gian các vectơ hình học mà bạn đọc đã quen thuộc trong chương trình phổ thông sang các không gian trừu tượng, phức tạp theo trình tự như sau:

Oxy 2, Oxyz 3 n n+1 P [x] , m n Mmn()



Ca, b,

D(), D (), D(a, b) , D(a, b) , T (a, b) ,…

Yêu cầu khi đọc các ví dụ sau: Bạn đọc hãy tin vào khả năng của mình, đọc thật kỹ từng ví dụ, hình dung từng phép toán hay tính chất của mỗi không gian trong các ví dụ tương ứng với định nghĩa như thế nào, chỗ nào thấy khó hiểu thì hãy cầm bút rồi đối chiếu định nghĩa mà viết ra cụ thể cho không gian mình đang xét.

Ví dụ 3.1 Hiển nhiên, tập các vectơ hình học (trong mặt phẳng Oxy 2hay trong

không gian Oxyz 3) với phép cộng “+” vecvtơ và phép nhân “.” một số với một

vecvtơ như trên là một không gian vectơ trên . 

1 2 n i

Ví dụ 3.2 Xét tập n= x  (x , x ,...., x ) : x  , i  1, n 

x = (x1 , x2 ,…, xn) n , y = (y1 , y2 ,…, yn) n , k 

Tương tự phép cộng “+” , phép nhân “.” trên 2và 3, chúng ta mở rộng cho n:

ÑN

- Phép toán cộng “+” : x + y (x

+ y , x + y

, .…, x

+ y ) n

1 1 2 2 n n

ÑN

- Phép toán nhân “.” : k x

( k x , k x ,.…, k x ) n

1 2 n

Dễ thấy phép toán cộng “+” và nhân “+” vừa định nghĩa thỏa mãn 8 tính chất của định nghĩa trên, nghĩa là (n,+, .) là khơng gian vectơ trên  hay nlà không gian

véctơ trên .

- Quan hệ bằng nhau của hai vectơ:

x y

khi và chỉ khi

xi yi , i  1, n .

ký hiệu

- Vectơ không trong  là (0,0,...,0)  θ

hoặc 0 nếu không nhầm lẫn với số 0.

Tương tự trong ví dụ này nếu thay  bởi  ta có nlà khơng gian vectơ trên . Tổng quát, nlà khơng gian vectơ trên trường . 



Lưu yù Khi viết các vectơ trong 2vaø 3, chúng ta có thể viết dấu” ” hay không



viết dấu” ” đều được. Nhiều người thường không viết dấu” ” cho gọn.

Ví dụ 3.3 Minh họa cho ý nghĩa các phép toán trong n.

Hai loại sản phẩm A và B được sản xuất từ n loại nguyên liệu N1, N 2,..., N n.

Nếu

ai (i  1, n)

là lượng nguyên liệu Ni

cần sử dụng để sản xuất 1 sản phẩm loại A

thì

a  (a1 , a2 ,..., an )

là vectơ biểu diễn lượng nguyên liệu mỗi loại cần sử dụng để

sản xuất 1 sản phẩm loại A .

Tương tự, nếu

bi (i  1, n)

là lượng nguyên liệu Ni

cần sử dụng để sản xuất 1 sản

phẩm loại B thì

b  (b1 , b2 ,..., bn )

là vectơ biểu diễn lượng nguyên liệu mỗi loại cần

sử dụng để sản xuất 1 sản phẩm loại B . Khi đó:

a b  (a1 b1, a2 b2,..., an bn) là vectơ biểu diễn lượng nguyên liệu mỗi loại cần

sử dụng để sản xuất 1 sản phẩm loại A và 1 sản phẩm loại B .

ka  (ka1, ka2,..., kan) là vectơ biểu diễn lượng nguyên liệu mỗi loại cần sử dụng để

sản xuất k sản phẩm loại A .

ka hb  (ka1 hb1 , ka2 hb2 ,..., kan hbn )

là vectơ biểu diễn lượng nguyên liệu

mỗi loại cần sử dụng để sản xuất k sản phẩm loại A và h sản phẩm loại B .

a b  (a1b1, a2b2,..., anbn) là vectơ biểu diễn lượng nguyên liệu chênh lệch

mỗi loại cần sử dụng để sản xuất 1 sản phẩm loại A và 1 sản phẩm loại B .

ka hb  (ka1hb1, ka2hb2,..., kanhbn) là vectơ biểu diễn lượng nguyên liệu chênh

lệch mỗi loại cần sử dụng để sản xuất k sản phẩm loại A và h sản phẩm loại B . 

Ví dụ 3.4 Gọi Pn[x] là tập hợp tất cả các đa thức biến x với hệ số thực có bậc bé hơn

hoặc bằng n . Tức là P [x] = f(x)  a  a x  ...  a x n: a , a ,..., a R

1 1 n

f (x)

= a 0

 a1

x  ...  a

x n ,

g(x)

= b0 + b1x +.…+ bnxn 

Pn [x] , 

- Phép toán cộng “+” là phép cộng hai đa thức:

( f g)(x) =

f (x) + g(x)

= (a 0 bo )  (a1  b1 )x  ...  (a n  b n )x

- Phép toán nhân “.” là phép nhân một số với một đa thức:

Nhận xét

k f (x) =

ka 0 ka1 x  ... ka n x

f (x)

g(x)

= a 0 a1x  ...  a nx  (a , a ,..., a ) a 

0 1 n

n tương ứng với n+1

= b0+ b1x +.…+ bnxntương ứngvới (b , b ,..., b ) b n+1

(a b

)  (a

 b )x  ...  (a

 b )x n

tương ứng với  (a

b , a

 b ,..., a

b ) n+1

0o11nn

n+1

f ( x)g ( x)

0o11

a b

n n

kf (x) ka 0 ka1 x  ... ka n x

tương ứng với 

(ka 0 , ka1 ,..., ka n ) ka 

Như vậy, hai phép toán cộng “+” và nhân “.” thực hiện trên Pn[x] tương ứng với hai

phép toán cộng “+” và nhân “.” thực hiện trên n+1nên ( P [x] ,+, .) là một không gian vectơ trên . Trong đó phần tử 0 là đa thức hằng 0. 

Ví dụ 3.5 Gọi

Ca, blà tập hợp tất cả các hàm số thực (biến x), liên tục trên đoạn

a, b. Ta định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau: f (x), g(x) Ca, b, 

ÑN

Phép toán cộng “+”: ( f g)(x) f (x) g(x) , xa, b

(phép cộng hai hàm soá)

ÑN

Phép toán nhân “.”: ( k f )(x) k

f (x) , xa, b

(phép nhân một số với một hàm số )

Chúng ta thấy phép cộng “+” và nhân “.” thực hiện trên tập Ca, btương tự với phép

cộng “+” và nhân “.” thực hiện trên

Pn[x] nên dễ dàng kiểm chứng được ( Ca, b,+,.)

là một không gian vectơ trên . Trong đó phần tử 0 là hàm hằng 0, tức là hàm số

nhận giá trị bằng 0 với x[a,b]; và phần tử đối của f là

(f )(x) f (x) xa, b.

f , tức là

Tương tự, phép toán cộng “+” là phép cộng hai hàm số và toán nhân “.” là phép nhân một số với một hàm số chúng ta có các không gian vectơ trên sau đây:

C() – tập các hàm số thực liên tục trên  cũng là không gian vectơ trên .

C(a, b) – tập các hàm số thực liên tục trên khoảng a, b

trên .

D(a, b) - tập các hàm số có đạo hàm trên khoảng a, b

trên .

cũng là không gian vectơ

D () - tập các hàm số có đạo hàm trên tập số thực  cũng là khơng gian vectơ trên

.

D(a, b)

- tập các hàm số có đạo hàm mọi cấp trên khoảng a, b

cũng là không

gian vectô trên .

D() - tập các hàm số có đạo hàm mọi cấp trên tập số thực  cũng là không gian vectơ trên .

T (a, b)

trên .

- tập các hàm số có nguyên hàm trên đoạn a, b

cũng là không gian vectơ

T[a, b]

- tập các hàm số có nguyên hàm trên đoạn a, bcũng là không gian vectơ

trên . 

Ví dụ 3.6 Trong tập hợp Mmn() các ma trận thực cấp mn, ta định nghĩa phép cộng “+” và nhân “.” như sau : A = [aij]mn , B = [bij]mn Mmn() và .

Phép cộng “+” : A + B = [aij+bij] mn ( phép cộng ma trận )

Phép nhân “.” : k A = [ k aij] mn ( phép nhân một số với một ma trận )

Dễ dàng kiểm chứng được (Mmn(), +, . ) là không gian vectơ trên . Khi m n ta

được (Mn(), +, . ) là không gian vectơ trên . 

n

Ví dụ 3.7 Trong n= {xn}: xnR và tồn tại hữu hạn lim xn- tập hợp các dãy số thực hội tu, ta định nghĩa phép cộng “+” và nhân “.” như sau :  {an},{bn}n, k 

Phép toán cộng “+”: {an}  {bn}  {anbn} (phép cộng hai dãy soá)

Phép toán nhân “.”:

k{an }  {kan }

(phép nhân một số với một dãy số )

Dễ dàng kiểm chứng được (n, +, . ) là không gian vectơ trên . 

Bắt đầu từ đây, để chúng ta viết-không gian vectơ thay cho là không gian vectơ trên trường.

1.2. Không gian con

1.2. 1. Ñònh nghóa

Cho -không gian vectơ  và  . Nếu  cũng là một không gian vectơ trên  ứng với phép cộng “ + “ và phép nhân “.” giống như trên  thì ta nói  là không gian con của .

Ví dụ 3.8 Theo định nghĩa trên thì rõ ràng:

a)  là không gian con của .

b) 0Vlà không gian con của  .

Hai khơng gian con này là hai khơng gian con tầm thường của . Các khơng gian con của  khác hai không gian này gọi là khơng gian con thật sự của . 

Ví dụ 3.9 Xét phép toán cộng “+” là phép cộng hai hàm số và phép toán nhân là phép nhân “.” một số với một hàm số . Ta có:

a) D() là không gian con của D ().

b) D () là không gian con của C().

c) D(a, b)

là khơng gian con của

D(a, b) .

d) D(a, b) là không gian con của C(a, b) .

e)  = (a, b,0) : a , b  là không gian con của (a, b, c) : a , b , c  = 3.

f) Pn[x] là không gian con của

g) Pn[x] là không gian con của

h) Pn[x] là không gian con của

D().

Pn1[x] .

Pnk [x] , k {1,2,3...} . 

1.2. 2. Định lý 3.1

Cho -không gian vectơ  và  . Khi đóù,  là không gian con của  nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau đây được thỏa:

i) u v W

với mọi

u, v  (tính chất đóng kín đối với phép toán cộng “+”)

ii).u W

với mọi

u , với mọi  (tính chất đóng kín đối với phép toán nhân “.”)

Lưu yù Hai điều kiện (i) và (ii) ở trên tương đương với điều kiện sau:

u + v  với mọi u, v  và với mọi 

Vậy  là không gian con của  khi và chỉ khi:

u + v  với mọi u, v  và với mọi 

Ví dụ 3.10 Không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất. Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

a11x1 a12 x2 ... a1n xn  0

a11a22 ........a1n

x1 

0

a x a

x .. a

x  0



a a ........a



x 0

21 1

22 2

2n n

(*) 

21 22

2n 

2 

AX = 0

......................

















m1 1

am2 x2

amn xn  0

am1am2 ......amn xn 



0

A X0



Mỗi nghiệm của hệ phương trình (*) là một vectơ trong nviết dạng cột. Chứng minh

tập  = X n:

AX  0

là một không gian con của n.

Giải

X -tức là

AX  0 ; Y -tức là

AY  0 ; . Khi đó

A(X Y ) A(X ) AY AX AY 0  0  0

Suy ra (X Y ) . Theo định lý trên,  là một không gian con của n.

Vậy, tập tất cả các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính (hệ số thực) thuần nhất n ẩn là một không gian con của n. Không gian này gọi là không gian nghiệm

của hệ phương trình thuần nhất. 

Ví dụ 3.11 Gọi  là tập tất cả các hàm số có đạo hàm đến cấp hai thỏa phương trình

y' 'ay'by  0 với a, b const 

Trên  xét phép toán cộng “+” là phép cộng hai hàm số và phép toán nhân là phép nhân “.” một số với một hàm số. Chứng minh  với hai phép toán này là không gian

con của

D()-không gian các hàm số có đạo hàm mọi cấp trên .

Giải

Với mọi u, v  và với mọi . Ta có

u' 'au'bu  0 , v' 'av'bv  0 (do u, v )

nên (u v)' 'a(u v)'b(u v) (u' 'au'bu) v' 'av'bv 0  0  0

Suy ra

(u v) . Vậy  là không gian con của

D(). 