Ma Trận Độ Cứng Của Phần Tử Biến Dạng Góc Ba Nút

Ở trạng thái cân bằng ban đầu chưa biến dạng, ta có le

l0

, với l0 là chiều dài của liên

kết thẳng ở trạng thái cân bằng ban đầu.

Thay phương trình (2.16) vào phương trình (2.13) ta có:

Ee 

r x qq y qq z qq 2. (2.18)

ij 1 4 ij 2 5 ij 3 6

2l0

2 

Đạo hàm bậc hai hàm thế năng được xác định từ phương trình (2.18) theo chuyển vị nút ta thu được ma trận độ cứng của phần tử hai nút [135]:

r 2 Ee

kmp r,

qmqp

m, p  1, 2...6.

(2.19)

2.2.3.2 Ma trận độ cứng của phần tử biến dạng góc ba nút

Ma trận độ cứng phần tử biến dạng góc ba nút cũng được trình bày trong tài liệu [1] cụ thể, theo hình 2.5b thế năng của một phần tử ba nút mô tả biến dạng góc có dạng như sau:

Ee1Cee2

(2.20)



2ijk ijk

trong đó góc

e ijk

giữa hai véc tơ

l ji (véc tơ nối nguyên tử j tới i ) và

l jk (véc tơ nối

nguyên tử j tới k ) có thể được tính từ biểu thức sau:

l .l cose x x y y z z

, (2.21)

ji jk ijk ij kj ij kj ij kj

với

xij , yij , zij

và xkj , ykj , zkj

có ký hiệu tương tự như (2.17).

Vi phân hai vế của phương trình (2.21) và biến đổi ta có: (2.22)

e sine

l l 

ji jk cose

x x y y z z x x y y z z 

ij kj ij kj ij kj ij kj ij kj ij kj

ijk ijk

l l ijk

l l l l l l

l l l l l l 

Chú ý rằng:

ji jk 

ji jk ji jk ji jk 

ji jk ji jk ji jk 

xij q1 q4 ;yij q2 q5 ;zij q3 q6 ;xkj q7 q4 ;ykj q8 q5 ;zkj q9 q6 , (2.23)

trong đó ứng.

q7 , q8 và

q9 là chuyển vị của nguyên tử k theo các phương

x, y và z tương

Đối với tấm phẳng cấu trúc hình lục giác ở điều kiện cân bằng ban đầu, chưa có biến dạng,

ta có l l l và e 

 1200 .

ji jk o ijk 0

Thay (2.23) vào phương trình (2.22) và chú ý đến phương trình (2.16) ta có:

1xij cos0xjk q1q4yij cos0y jk q2q5zij cos0z jk q3q6

e 

ijk

l2 sin

x

cos

x q

q y

cos

y q

q z

cos

z q

q 

0 0 jk

0 ij 4 7

jk 0

ij 5 8

jk 0 ij

6 9 

(2.24)

Thay phương trình (2.24) vào phương trình (2.20) ta có:

Ce x

cosx

q q

y

cosy

q

q z

cosz

q

q 2

Ee 

ijk

ij

0 jk 1 4

ij 0

jk 2 5

ij 0

jk 3 6 

2 l 2sin2x

cos

x q q y

cos

y q q z

cos

z q q 

0 0 jk

0 ij 4 7

jk 0

ij 5 8

jk 0

ij 6 9 

(2.25)

Ma trận độ cứng kcủa phần tử ba nút biến dạng góc được xác định như sau [135]:

2 Ee

kmp ,

qmqp

m, p  1, 2...9.

(2.26)

2.2.4 Ma trận độ cứng tổng thể

Phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử (AFEM) đã được triển khai và sử dụng thành công để tính toán đặc trưng cơ học của các tấm graphene, BN và SiC trong nghiên cứu gần đây [63]. Trong AFEM, nguyên tử và chuyển vị của nguyên tử được coi như các nút và chuyển vị nút tương ứng. Năng lượng tương tác giữa các nguyên tử sẽ được xây dựng thông qua vị trí tọa độ của các nguyên tử (các nút). Sau đó, ma trận độ cứng tổng thể sẽ được ghép nối từ các ma trận độ cứng phần tử gồm các bước: Lập bảng ghép nối thể hiện chỉ số bậc tự do của từng phần tử; Thả vào ma trận độ cứng tổng thể theo vị trí tương ứng với chỉ số bậc tự do. Cụ thể bao gồm hai bước như sau:

Bước 1: Khởi tạo ma trận vuông K có kích thước (3NAtom, 3NAtom) và véc tơ chuyển vị Q có kích thước (3NAtom, 1), với các số hạng bằng không, trong đó NAtom là số nút của hệ.

Bước 2: Lập bảng chỉ số thể hiện các bậc tự do của các phần tử. Với mỗi phần tử biến dạng dài và biến dạng góc, cộng đúng số hạng có vị trí (i,j) của ma trận phần tử vào số hạng (i,j) của ma trận độ cứng tổng thể K (giống như trong phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống).

2.2.5 Ma trận khối lượng

Theo như Hand, Finch [52] và Riley et al [98], động năng T của hệ được xác định như sau:



NAtom 1

T 

m q2

q2

q2 

(2.27)

i1 2

3i2 3i1 3i

Trong đó, mi là khối lượng của nguyên tử thứ i đặt ở vị trí của nó và q3i2 , q3i1, q3i là vận tốc của nguyên tử i, với i = 1 ÷ NAtom.

Phương trình (2.27) có thể được biểu diễn ở dạng ma trận như sau :

T 1 QTMQ (2.28)

Trong đó, M(3NAtom, 3NAtom) là ma trận khối lượng của hệ nguyên tử. Như vậy :

M = diag m1, m1, m1, m2 , m2 , m2 ..., mi , mi , mi ..., mN

, mN , mN 

(2.29)



Q3NAtom , 1là ma trận chuyển vị của hệ.

Atom Atom Atom 

Q 3N

, 1q , q , q ..., q

,..., q T

(2.30)

Atom

1 2 3 3i

3NAtom 

trong đó, q3i-1 và q3i là chuyển vị tương ứng với hai bậc tự do của nút i.

2.2.6 Hệ phương trình cơ bản

Ta có phương trình dao động tự do không cản của hệ như sau [34, 99]:

MQ + KQ = 0 (2.31)

Nghiệm của phương trình có dạng:

Qt 

ue jt

(2.32)

Thế (2.32) vào (2.31) ta có:

2M K u  0, u  0

(2.33)

Giải phương trình (2.33) ta sẽ thu được tần số dao động tự do f = /(2), và dạng dao động riêng u của hệ.

Việc thiết lập và giải phương trình nêu trên được nghiên cứu sinh lập trình trên phần mềm Matlab với sơ đồ giải thuật như sau.

Bắt đầu

Vào thông số hàm thế, mô hình vật liệu, điều kiện biên, kích thước hình học

Tính ma trận độ cứng K, ma trận khối lượng M

Giải hệ phương trình dao động tự do

Hiển thị, thu thập kết quả tần số f và dạng riêng u

Kết thúc

Hình 2.6 Sơ đồ thuật toán giải bài toán dao động của tấm và ống na nô đơn lớp

CHƯƠNG 3 DAO ĐỘNG NGANG TỰ DO CỦA TẤM

NA NÔ

3.1 Giới thiệu

y, Armchair

Chương này, phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử (AFEM) với hàm thế điều hòa được sử dụng để khảo sát đặc trưng dao động ngang tự do của các tấm vật liệu na nô là graphene, boron nitride (BN) và silicon carbide (SiC). Trong AFEM, các ma trận độ cứng phần tử được thiết lập dựa trên thế năng tương tác giữa các nguyên tử, các ma trận độ cứng phần tử sau đó được ghép nối vào ma trận độ cứng tổng thể giống với phương thức của phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống. Ma trận khối lượng tổng thể được xây dựng từ động năng của hệ. Tần số riêng và dạng dao động riêng của tấm graphene, BN, SiC được tính toán ở các điều kiện biên khác nhau. Bên cạnh mô hình lý tưởng, ảnh hưởng của khuyết tật mất nguyên tử và tỉ lệ kích thước tấm cũng được nghiên cứu. Mô hình các tấm vật liệu na nô lục giác được xây dựng như hình 3.1.

x, Zigzag

Atom style 1 Atom style 2

Hình 3.1 Mô hình tấm vật liệu na nô cấu trúc lục giác. Nó được gọi là tấm Zigzag nếu Lx ≤ Ly và tấm armchair nếu Ly ≤ Lx.

Ở đây, nguyên tử loại 1 là Carbon, Boron và nguyên tử Silicon trong các tấm Graphene, BN và SiC. Nguyên tử loại 2 là carbon, nitrogen và nguyên tử carbon trong tấm tương ứng. Điều kiện biên là các kết cấu bị ngàm theo các cạnh. Kết cấu bị ngàm khi các nguyên tử liên quan thuộc ngàm bị khống chế theo cả ba phương x, y, z (xi = yi = zi =0). Trong bài toán

dao động tự do ngang của tấm thì mỗi nút (nguyên tử) chỉ có hai bậc tự do tịnh tiến theo hai phương x và y. Như vậy với điều kiện biên ngàm trên một nút (nguyên tử) bất kỳ thì sẽ hạn chế chuyển vị theo hai phương x và y của nút đó. Cụ thể khi nguyên tử thứ i thuộc ngàm thì chuyển của nó theo hai phương x và y sẽ bằng không: q2i-1 = q2i = 0.

Các tấm sẽ được xét với năm điều kiện biên, kí hiệu từ BC1 – BC5 như sau:

- BC1: Tất cả các cạch được ngàm.

- BC2: Cạnh trái và phải được ngàm.

- BC3: Cạnh trên và dưới được ngàm.

- BC4: Cạnh trái được ngàm.

- BC5: Cạnh dưới được ngàm.

Nguyên tử bất kì thứ i thuộc ngàm:

q2i-1 = q2i = 0

Hình 3.2 Mô tả năm điều kiện biên của tấm na nô đơn lớp: a) điều kiện biên BC1; b) điều kiện biên BC2; c) điều kiện biên BC3; d) điều kiện biên BC4; e) điều kiện

biên BC5

Thông số mô hình của tấm graphene, BN, SiC được liệt kê trong bảng 3.1. Trong đó, chiều dài liên kết ban đầu của các tấm được tham khảo từ tài liệu nghiên cứu của Şahin cùng đồng sự [101]; các hằng số lực của tấm graphene được tham khảo từ tài liệu nghiên cứu của Chang cùng đồng sự [25], của tấm BN được tham khảo từ tài liệu nghiên cứu của Jiang cùng đồng sự [60], của tấm SiC được lấy từ tài liệu nghiên cứu của Ansari cùng đồng sự [5]; khối lượng của nguyên tử B, N được lấy từ tài liệu nghiên cứu của Panchal cùng đồng sự [89], Si và C được lấy từ tài liệu nghiên cứu của Arghavan cùng đồng sự [10].

Bảng 3.1 Bảng thông số của vật liệu graphene, BN, SiC

Tấm

Nguyên tử 1	Nguyên tử 2	C e r (N/m)	C e 121 (Nm)	C e 212 (Nm)	l0, (m)	Khối lượng nguyên tử 1, (kg)	Khối lượng nguyên tử 2, (kg)
Graphene	C	C	742	1.42×10-18	1.42×10-18	1.42×10-10	1.99×10-26	1.99×10-26
BN	B	N	595	0.66×10-18	1.35×10-18	1.45×10-10	1.79×10-26	2.32×10-26
SiC	Si	C	417.2	0.84×10-18	0.84×10-18	1.77×10-10	4.66×10-26	1.99×10-26

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 133 trang tài liệu này.

Kết quả thu được từ tính toán được bàn luận và so sánh với các kết quả đến từ các công trình nghiên cứu đáng tin cậy trước đây như: Kết quả nghiên cứu sử dụng mô hình mạng lưới tinh thể của Arghavan và cộng sự [9, 10, 13], kết quả nghiên cứu khi sử dụng mô hình liên tục tương đương của Gupta cùng cộng sự [50].

3.2 Kiểm nghiệm mô hình nghiên cứu

Mục này đưa ra kết quả tần số riêng của các tấm graphene. Kết quả sẽ được so sánh với những công trình nghiên cứu tin cậy đã được công bố của Arghavan, Singh cùng cộng sự [9], công trình nghiên cứu của Arghavan cùng cộng sự [12] và công trình của Gupta cùng cộng sự [81].

Đầu tiên, tác giả khảo sát 10 tần số riêng đầu tiên dao động tự do ngang của tấm graphene với các kích thước khác nhau Lx × Ly như sau: 3,69 nm × 3,69 nm (558 nguyên tử), 30,0 nm

× 30,6 nm (35424 nguyên tử) và 30,0 nm × 60,4 nm (69864 nguyên tử). Điều kiện biên trong trường hợp này là ngàm tất cả 4 cạnh (BC1). Kết quả được đưa ra trong bảng 3.2

Bảng 3.2 So sánh tần số dao động riêng (GHz) của tấm graphene, điều kiện biên

BC1.

Dạng riêng

3,69 nm × 3,69 nm, 558 nguyên tử			30,0 nm × 30,6 nm, 35424 nguyên tử			30,0 nm × 60,4 nm, 69864 nguyên tử
[12]	AFEM	Sai lệch, %	[9]	AFEM	Sai lệch, %	[9]	AFEM	Sai lệch, %
1	3502,2	3473,8	-0,8	425,6	423,7	-0,4	302,7	295,9	-2,3
2	3503,8	3496p,7	-0,2	428,1	426,2	-0,4	376,1	378,1	0,5
3	4580,5	4441,1	-3,0	556,1	535,9	-3,6	420,3	413,8	-1,5
4	5220,4	5164,8	-1,1	636,5	628,4	-1,3	426,6	424,4	-0,5
5	5771,9	5748,4	-0,4	705,8	703,7	-0,3	489,5	476,3	-2,7

6282,6	6159,6	-2,0	764,6	740,3	-3,2	527,1	510,3	-3,2
7	6298,3	6165,7	-2,1	773,4	745,8	-3,6	572,4	564,3	-1,4
8	6336,2	6412,3	1,2	775,4	783,9	1,1	581,2	571,9	-1,6
9	7076,8	7046,3	-0,4	868,6	860,3	-1,0	611,9	600,1	-1,9
10	7161,2	7082,2	-1,1	873,9	863,6	-1,2	684,8	664,5	-3,0

Các sai lệch (%) xuất hiện trong bảng 3.2 là độ lệch giữa kết quả thu được bằng phương pháp AFEM với phương pháp khác sử dụng mô hình mạng lưới tinh thể của Arghavan và cộng sự [9, 12]. Bảng 3.3 cho ta thấy sai lệch lớn nhất giữa kết quả của luận án và các kết quả đến từ tài liệu [9, 12] là 3,0%.

Tiếp theo, các tấm graphene hình chữ nhật tỉ lệ các cạnh xấp xỉ 10 (Lx/Ly ~ 10 cho tấm armchair và Ly/Lx ~ 10 cho tấm zigzag) được khảo sát dưới điều kiện biên các cạnh là tự do. Các tần số dao động dọc trục trong mặt phẳng fA (cm-1) và tần số dao động uốn trong mặt phẳng fB (cm-1) của tấm graphene chữ nhật thu được bởi phương pháp AFEM cũng được so sánh với những kết quả của Gupta và Batra [50] khi sử dụng mô hình liên tục tương đương, như trình bày trong bảng 3.3. Ở đây, các tần số dùng đơn vị cm-1 là tần số đơn vị Hz chia cho tốc độ ánh sáng (3×1010 cm/s). Cần nhấn mạnh rằng kết quả thu được từ phương pháp AFEM, tác giả đã sử dụng mô hình nguyên tử rời rạc so sánh với những kết quả thu được từ các phương pháp khác sử dụng mô hình liên tục tương đương là rất khớp nhau (Sai lệch

<5%). Điều này chứng minh tính đúng đắn của mô hình và phương pháp được sử dụng trong nghiên cứu này.

Bảng 3.3 So sánh tần số dao động riêng (cm-1) của tấm graphene, điều kiện 4 cạnh tự

Tấm

Nguyên tử		Dạng riêng	f A, cm-1			f B, cm-1
[50]	AFEM	Dạng riêng	[50]	AFEM	Sai lệch, %	[50]	AFEM	Sai lệch, %
Armchair	2652	2652	1	12,741	13,262	4,1	2,364	2,474	4,7
			2	25,467	26,516	4,1	6,220	6,503	4,6
			3	38,162	39,752	4,2	11,467	12,003	4,7
Zigzag	2652	2656	1	12,656	13,097	3,5	2,321	2,382	2,6
			2	25,303	26,189	3,5	6,098	6,267	2,8
			3	37,923	39,268	3,5	11,247	11,583	3,0
Armchair	5886	5886	1	8,628	8,981	4,1	1,620	1,699	4,9
			2	17,246	17,956	4,1	4,269	4,460	4,8
			3	25,843	26,919	4,2	7,861	8,219	4,6
Zigzag	6204	6204	1	8,560	8,900	4,0	1,673	1,736	3,8