Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM

tròn D : x2 + y2 5, x 0.

Bài 7

a) Tìm giá trị nhỏ nhất hàm số

f (x, y)  2x 2  4xy  5 y 2  8x  16 y  10

trên 2.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất hàm số

c) Tìm giá trị lớn nhất hàm số

f (x, y, z) x 2  5 y 2  2z 2  4xy  6 y  16z  100

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 224 trang tài liệu này.

f (x, y, z)  4xy  12 y  36z x 2  6 y 2  3z 2  8

trên 3. trên 3.

Bài 8Cho hàm hai biến

f (x, y) xy 2  9x  4x 2  6

a) Tìm cực trị hàm số f(x,y).

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số

f (x, y) trên miền

D : x  0, y  0

x 2 y 2  9



c) Năm 2018, công ty của bạn sản xuất hai loại sản phẩm với thông tin (ước tính gần

đúng) như sau: Nếu sản xuất x

(đôn vò tính :1000)

sản phẩm loại I và y

(đôn vò tính :1000)

sản phẩm loại II thì miền sản lượng là D : x 0, y  0 và hàm lợi

x 2 y 2  9



nhuận là f (x, y) (đôn vò tính :100,000USD) . Hỏi công ty của bạn phải sản xuất bao

nhiêu sản phẩm loại I và bao nhiêu sản phẩm loại II để đạt lợi nhuận lớn nhất? Tính lợi nhuận lớn nhất này.

§7. ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG-VECTƠ GRADIENT

1.Đạo hàm theo hướng 1.1.Định nghĩa Cho hàm số

f (x, y, z)

xác định trong miền mở D R3chứa điểm



M o (xo , yo , zo )

và vectơ

a  0 . Lấy điểm M D sao cho vectô M 0M // a đặt ρ = M 0M .

Đạo hàm theo hướng vectơ nghĩa là



a của hàm

f (x, y, z)

tại

M o(xo, yo, zo) được ký hiệu và định

f (x

, y , z

ÑN f(M)  f(M )

) lim

(ĐK: Giới hạn này hữu hạn)

 0 0

 a

0 ρ 0 ρ

1.2. Định lý (công thức tính đạo hàm theo hướng)



Cho hàm f (x, y, z) khả vi tại (xo, yo, zo) và vectơ a = (ax,ay,az). Khi đó



f (x

 a

, y0

, z0

) f (x

x 0

, y0

, z0

)cosα f (x

y 0

, y0

, z0

)cosβ f (x

z 0

, y0

, z0

)cosγ

 f ' (x

, y0

, z0

)cosα  f ' (x

, y0

, z0

)cosβ  f ' (x

, y0

, z0

)cosγ

với

cosα a x

, cosβ a y

, cosγ a z

a 2  a 2 a 2

x y z

Ý nghĩaGiá trị đạo hàm theo hướng vectơ



a 2  a 2 a 2

x y z

a 2  a 2 a 2

x y z

a của hàm

f (x, y, z)



tại

M o (xo , yo , zo )

thể

hiện tốc độ biến thiên của hàm

f (x, y, z)

theo hướng vectơ

a tại

M o(xo, yo, zo) . Chẳng

hạn, nếu

f (x, y, z)

là nhiệt độ tại M

(x , y , z )

thì

f (x

, y , z

) là tốc độ biến thiên nhiệt

o o o o



 0 0 0

 a

độ theo hướng vectơ

a tại

M o (xo , yo , zo ) .Tương tự, nếu

f (x, y, z)

là áp suất tại

M (x , y , z )

thì

f(x

, y , z )



là tốc độ biến thiên áp suất theo hướng vectơ

tại

o o o o

 0 0 0 a

 a

M o (xo , yo , zo ) .



1.3. Tính chất (quy tắc)



  (f ) . f (là hằng số )



 f

 ( )

gf



g  1





- f  2

a  a

f g

 a g  a

 a g

 ( f  g ) 

 a  a  a

f g

  ( f(u)) 





 a

f ' (u). u với u = u(x,y,z)



 a

 ( f . g )

 a

 g 

 a

 f 

 a

Ví dụ 5.40 Cho hàm số các hàm theo hướng

f (x, y, z) = 2xy 2 z 3  3x 2  5 ye z

và vectô



a = (1,2,2) . Tính đạo

f f



 a  a

(1,1,2) .

a2  a2  a2

x y z

cosα a x

1 ,

cosβ 

Giải

a2  a2  a2

x y z

a y 2

, cosγ az

 2

a2  a2  a2

x y z

f ' =

2 y 2 z 3  6x , f ' (1,1,2) = 2 12  23  6 1  22

4xyz 3  0  5e z , f ' (1,1,2) = 4 11 23  0  5e2  32  5e2

f ' = 6xy 2 z 2  0  5 ye z , f ' (1,1,2) = 6 112  22  0  5 1e2  24  5e2

z z

f  (2 y2 z3  6x) 1  (4xyz3  5ez ) 2  (6xy2 z2  5 yez )(  2)

3 3 3



f (1,1,2) = 22 1 + (32  5e2) 2 + (24  5e2)(- 2) = 38

 a 3 3 3 3

2.Vectô gradient

2.1.Ñònh nghóa Cho hàm f (x, y, z)



khả vi tại (x0,y0,z0). Vectơ gradient của f tại



(x0,y0,z0). Ký hiệu grad f(x 0 , y0 , z 0 )

hoặc  f(x 0, y0, z0) và được định nghĩa là



f

f f 

grad f(x 0, y0, z0) x (x 0, y0, z0), y (x 0, y0, z0), z (x 0, y0, z0)



f f f 



' ' '

grad f x , y , z = ( f x , f y , f z )



2.2.Tính chất







 grad(.f) 

α grad f

α const

 grad(f.g) 

g .grad f  f. grad g



 grad(f

 g) 



grad f



 grad g



 grad f(u) 



f ' (u).grad u

, với u =(x,y,z)

2.3.Liên hệ với đạo hàm theo hướng



f (x



, y , z ) 

 0 0 0

 a

grad f(x0 , y0 , z0 ). 

Lưu yù: Khái niệm đạo hàm theo hướng và vectơ gradient của hàm 2 biến trong R2

và hàm n biến trong bày như trên.

Rn ( n  3)

cũng tương trường hợp hàm 3 biến trong

R3 đã trình

Ví dụ 5.41 Tìm vectơ gradient của hàm số

a) f x, y x2 y  sin x . b)

f (x, y, z) x 2 e y y 3 z 2  2xz 3

a) Các đạo hàm riêng

f 'x  2xy  cos x ,

Giải

f 'y x .

f f ' ' 2

grad f x , y = ( f x , f y )= 2xy  cos x, x 



b) Các đạo hàm riêng

f '  2xe y  2z 3 ,

f ' x 2 e y  3y 2 z 2 ,

f ' 

2 y 3 z

 6xz 2



f

f f 

' ' '

y 3 2 y

2 2 3 2

grad f

x , y , z = ( f x , f y , f z )= ( 2xe  2z

, x e

 3y z

, 2 y z

 6xz )



Bài Tập

Bài 1Đạo hàm riêng có phải là trường hợp đặc biệt của đạo hàm theo hướng không ? Tai sao ? (xét hàm hai biến, hàm ba biến)



Bài 2Nêu ý nghĩa nghĩa của dạo hàm theo hướng vectô

trường hơp sau:

a  0

của hàm số f trong các

a) f (x, y)

là mật độ muỗi tại

(x, y) .

b) f (x, y)

là mật độ châu chấu tại

(x, y) .

c) f (x, y)

d) f (x, y)

là mật độ rầy nâu tại (x, y) . là mật độ dân cư tại (x, y) .

e) f (x, y, z) là nồng độ O-xy tại (x, y, z) .

f) f (x, y, z) là nồng độ ô nhiễm (một loại chất ô nhiễm nào đó) tại (x, y, z) .



Bài 3

a) Tính đạo hàm theo hướng vectơ



của hàm f(x,y) = x5– 2y4+ 5x2y3tại điểm

a = 3 i - 4 j

M(1,2).



b) Tính đạo hàm theo hướng vectơ



của hàm f(x,y,z) = xeyz + y2exz tại

điểm M(1, -1,2).

a = 4 i +8

j - k



c) Tính đạo hàm theo hướng vectơ

a = 3 i +6 j -6 k của hàm f(x,y,z) = 2x –3y +6z tại

điểm tại mọi điểm trong không gian 0xyz.

Bài 4

a) Tìm góc tạo bởi các gradient của hàm f(x,y,z) =

và B(-3,1,0).

b) Tính gradient của hàm f(x,y,z) = xy2z3exyz + x2y.

x 2 y 2 z 2

tại các điểm A(1,2,2)

c) Cho hàm f(x,y,z) = 2x2+3y2+z2+xz + 3z –2x –6y . Tìm tất cả các điểm trong không



gian 0xyz mà tại đó grad f  0 .

§8. MỘT SỐ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC

1.Tiếp tuyến và pháp diện của đường cong

x x(t)



Cho đường cong trong không gian có phương trình tham số là (C): y y(t)



z z(t)



Tại mỗi điểm M (x(t ),y(t ),z(t )), vectơ tiếp tuyến với (C) là: =(x,(t ),y,(t ), z,(t )).

0 0 0 0

v 0 0 0

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M

là ():

x x(t0 ) y y(t0 ) z z(t0 ) .

x, (t )

y , (t )

z , (t )

- Mặp phẳng đi qua M0vuông góc với tiếp tuyến gọi là pháp diện của đường cong tại M0và có phương trình là : x,(t0)(x – x(t0)) + y,(t0)(y – y(t0)) + z,(t0)(z –z(t0)) = 0.

x  3t



Ví dụ 5.42 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của các đường cong (C) : y  4 cos t , tại



 z  4 sin t

điểm ứng với t = π .

Giải

x' 3 



Đạo hàm : y'4sin t . Vectơ tiếp tuyến với (C) là: v =(x,(t0),y,(t0), z,(t0)) = (3,2



 z' 4cost

3,2) .

Điểm ứng với t =

πlà M

3 o

(,2,2

3) .

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M

(,2,2

3) là ():

x 

y  2z .

o 3  2 3 2

Pháp diện của đường cong tại

M o (,2,2

3) là : 3(x )  2

3( y  2)  2(z  2

3)  0

Giả sử hai mặt cong S1, S2có phương trình tương ứng là

F x, y, z  0

và G x, y, z  0

giao

nhau theo một đường cong C . Khi đó, tiếp tuyến của C tại một điểm M 0 thuộc C là giao của

các tiếp diện của S1,S2tại M 0

F M

x

0 x x0

F M

y

0 y y0

F M

z

0 z z0

 0 .

G M

x

0 x x0

G M

y

0 y y0

G M

z

0 z z0

 0 .

nên nó có vectô chỉ phương là



i j k



FM 

x 0

G M 

x 0

FM 

y 0

G M

y 0

FM .

z 0

G M

z 0

Ví dụ 5.43. Cho đường cong C là giao của hai mặt

F x2 y2 10  0 , G y2 z2  9  0 .

Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện với C tại

Giải

M 3,1, 2 2 .

Các đạo hàm riêng

Các đạo hàm riêng tại điểm

F 'x  2x, F 'y  2 y, F 'z  0 ;

G 'x  0, G 'y  2 y, G 'z  2z .

M 3,1, 2 2 

F 'x M  6, F 'y M  2, F 'z M  0 ;

G 'x M  0, G 'y M  2, G 'z M  4 2

Vectô chỉ phương của tiếp tuyến tại M là





i j



v  6 2

0 2 4

Vậy tại M , tiếp tuyến có phương trình

 8 2i  24

j 12k .

8 2

và pháp diện có phương trình

x  3 

y 1

z  2 2 ;

24 2

8 2 x 3 24 2 y 112 z 2

2.Tiếp diện và pháp tuyến mặt cong

 0.

Cho mặt cong (S): F(x, y, z) = 0. Phương trình mặt phẳng tiếp diện với (S) tại điểm

M o(xo, yo, zo) là :

F (x

x 0

, y0

, z0

)(x x0 ) +

F (x

y 0

, y0

, z0

)( y y0 ) +

F (x

z 0

, y0

, z0

)(z z0 )

= 0.

- Đường thẳng qua

M o (xo , yo , zo )

và vuông góc với tiếp diện gọi là pháp tuyến của mặt cong

tại M o

và có phương trình là:

x xo

= y yo =

z zo



F (x o , yo , z o ) x

F(x

y

, yo

, z o )

F (x o , yo , z o ) z

Ví dụ 5.43Cho mặt cong (S):

z  10 x2 y 2

Viết phương trình pháp tuyến và phương trình tiếp diện

M (2;2;2) .

() của mặt cong

(S )

tại điểm

Giải

(S ) : x2 y 2 z 10  0

Vectơ chỉ phương của và cũng là vectơ pháp tuyến của () là

F F F

 ( , , ) = (2x,2 y,1)

n x y z

Tại

M (2;2;2) :



n  (4;4;1)

Phương trình tiếp tuyến () :

x  2 y  2 z  2

Phương trình pháp diện

4  4 1

Rút gọn được () :

() : 4(x  2)  4( y  2) 1(z  2)  0 4x  4 y z 18  0

Ví dụ 5.44. Viết phương trình pháp tuyến và phương trình tiếp diện

paraboloic eliptic

() của mặt

2 2

z 

tại điểm

4 9

M 2, 3, 2thuộc paraboloic eliptic.

Giải

Tá có:

2 2 2

z x y z  0

4 9 4 9

x2 y2

Đặt

F x, y, z z .

4 9

Vectơ chỉ phương của và cũng là vectơ pháp tuyến của () là

Tại

M (2;3;2) :



n  (1;

2 ;1)

F n  ( x

, F

y

, F ) =

z

( 1 x, 2

2 9

y,1)

Phương trình tiếp tuyến () :

x  2y  3z  2

Phương trình pháp diện

1 2  1

() : 1(x  2) 2 ( y  3)  1(z  2)  0

Rút gọn được () : 3x  2 y  3z  6  0

3. Hình bao của họ đường cong

3.1 Ñònh nghóa Cho họ đường cong phẳng phụ thuộc tham số a là L(a) : F(x, y, a) = 0.

Nếu mọi đường cong của họ L(a) đều tiếp xúc với đường (E) cố định và tại mọi điểm của đường E luôn có một đường của họ L(a) tiếp xúc với (E) tại điểm ấy, thì E gọi là hình bao của họ đường L(a).

Ví duï

- Họ đường tròn L(a) : (x – a)2+ y2= R2, trong đó R cố định, a là tham số, có đường hình bao là các đường thẳng (E) : y = R.

- Họ đường thẳng L() : xcos+ ysin=1, trong đó là tham số biểu diễn một họ đường thẳng mà khoảng cách từ góc 0 đến đường thẳng ấy bằng 1. Hình bao của L() này là đường tròn (E) : x2+ y2= 1.

3.2.Cách tìm hình bao

Để tìm hình bao của họ đường cong phụ thuộc tham số a là L(a) : F(x,y,a) = 0 ta khử tham số a

F(x, y, a)  0

 (x, y, a)  0

của hệ : F

a

Sau đó loại bỏ các điểm kỳ dị của họ đường cong ta thu được hình bao của họ L(a).

F (x o , yo , a)  0

x



Điểm kỳ dị là điểm (x , y ) thỏa hệ .

o o F

(x o , yo , a)  0

y

Bài 1

Bài tập

a) Tìm hình bao của họ đường cong : x

a2 

2 a 2

b) Tìm hình bao của họ đường thẳng : xcos+ ysin= 1

c) Tìm hìmh bao của họ đường cong : y2 = a2(x – a)

Bài 2Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của các đường cong:

x  2t x  e t

a) C: y  6cost , tại điểm ứng với t =

3πb) (L): y

 e-t

, tại điểm M0ứng với t = 1.

Bài 3









 z  6sin t 3

a) Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt : x2– 4y2+ 2z2= 6 tại điểm (2,2,3).

b) Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt: z = 2x2+ 4y2tại điểm (2,1,12).

c) Tìm mặt phẳng tiếp xúc với mặt Elipsoid x2+ 2y2+ 3z2= 21 và song song với mặt phẳng x + 4y + 6z = 0.

d) Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến với mặt cong z = y + ln x.

Bài 4Viết phương trình tiếp diện của mặt cong (S): z  4 x 2 y2 tại điểm M (0;1;3) .

Bài 5 Cho mặt cong (S):

z  4 x2 y 2

Xem toàn bộ nội dung bài viết ᛨ