Sơ Đồ Vùng Năng Lượng Suy Rộng (A) , Rút Gọn (B) Minh Họa Quy Luật Tán Sắc Của Hạt Trong Thế Năng Tuần Hoàn Một Chiều, Và Các Vùng Năng Lượng

Hình 1.5: Sơ đồ vùng năng lượng suy rộng (a) , rút gọn (b) minh họa quy luật tán sắc của hạt trong thế năng tuần hoàn một chiều, và các vùng năng lượng trong không gian (c).

Đường cong tán sắc gián đoạn tại điểm :

k  n, n 1,  2,  3,...

n a

1.49

Tại các giá trị này của k , hàm sóng là một “sóng đứng”, là kết quả của nhiều

Có thể bạn quan tâm!

• Sử dụng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng nghiên cứu các trạng thái của electron trong chấm lượng tử - 1
• Sử dụng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng nghiên cứu các trạng thái của electron trong chấm lượng tử - 2
• Các Mức Năng Lượng Của Một Hạt Trong Giếng Thế Hình Cầu Với Hàng Rào Vô Hạn.
• Khái Niệm Các Giả Hạt: Electron, Lỗ Trống, Exction [8, 19  23]
• Sử dụng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng nghiên cứu các trạng thái của electron trong chấm lượng tử - 6
• Sử dụng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng nghiên cứu các trạng thái của electron trong chấm lượng tử - 7

Xem toàn bộ 61 trang tài liệu này.

lần phản xạ từ cấu trúc tuần hoàn. Với mọi

kn thỏa mãn (1.49), hai sóng đứng cùng

tồn tại với thế năng khác nhau. Điều này dẫn đến sự xuất hiện của vùng năng lượng bị cấm, nghĩa là không tồn tại sóng truyền trong vùng đó. Do đó, đường cong tán sắc mở rộng (hình 1.5 (a)) có thể được điều chỉnh thành sơ đồ vùng rút gọn.

1.2.5. Xây dựng khái niệm khối lượng hiệu dụng [7, 129 134]

Như đã biết vận tốc chuyển động tịnh tiến của electron:

Mặt khác, từ

m m

v p 

k

k 2

2m

E , lấy đạo hàm theo k , nhận được

k  m dE

2 dk

thì:

1.50

1.51

v 1 dE ; p  dk

k  m dE

dk

Hệ thức giữa vận tốc, xung lượng trong sự phụ thuộc vào dE dk không chỉ

đúng với electron tự do mà đúng với cả electron chuyển động trong trường tuần hoàn của tinh thể. Xung lượng p lúc này gọi là giả xung lượng của electron.

a 

dv

1 d dE 

dt

dt dk 





1 d2E dk

dk dt

2

Khi đặt trường ngoài vào tinh thể, electron chịu tác dụng lực F qvới gia tốc:

Fds  F.v.dt F dE .dt

dk

Mặt khác sau khoảng thời gian dt lực này thực hiện công:

dA 

(1.52)

(1.53)

công này làm tăng năng lượng của electron một lượng

dE  dA E dE dt . Từ đây

dk

suy ra dk F

a  F d E

2

2 dk2

dt

và gia tốc của electron lúc này bằng:

(1.54)

biểu thức này xác lập quan hệ giữa lực tác dụng F của trường ngoài và gia tốc a

mà electron trong tinh thể thu được, nó tuân theo định luật II Niutơn.

Từ (1.54) thấy là nếu đưa vào ký hiệu m* thỏa mãn đẳng thức:

thì (1.54) có dạng

m* (1.55)

2

d2E / dk2

a  F / m* , có nghĩa là, dưới tác dụng của ngoại lực F , electron

trong trường tuần hoàn của tinh thể chuyển động như chuyển động của electron tự do,

chỉ khác là electron trong tinh thể lúc này có khối lượng hiệu dụng m*

công thức (1.55). Tất cả ảnh hưởng của trường tinh thể đã thể hiện ở m*

được tính theo qua d2E dk2 .

2

Khối lượng hiệu dụng có những đặc tính riêng của nó. Nó có thể dương, âm, giá trị tuyệt đối có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn khối lượng tĩnh m của electron. Dưới đây sẽ khảo sát cặn kẽ hơn vấn đề này.

Với electron ở đáy vùng năng lượng,

A

d2E dk2  2A a2 , khối lượng hiệu dụng lúc này là:

Eđáy  Emin  AA ka,từ đây

m* đáy

2

 m*

A

2A a2 e

(1.56)

vì AA  0

nên

m*  0 . Tức là electron nằm ở đáy của vùng năng lượng có khối

lượng hiệu dụng dương. Dưới tác dụng của trường ngoài, electron trong tinh thể được gia tốc theo hướng của lực tác dụng. Nó khác với electron tự do ở chỗ khối

lượng của nó có thể có giá trị khác khối lượng tĩnh của electron m* m. Ngoài ra

(1.56) còn cho thấy là AA

càng lớn tức vùng được phép càng rộng, khối lượng hiệu

dụng của electron nằm ở đáy vùng càng nhỏ.

Với electron ở đỉnh vùng, E

 E  A ka2, d2E dk2 2A a2, khối

2

 m*

lượng hiệu dụng:

đinh max B B

m* (đỉnh)

 2A a2

e  0

(1.57)

B

Trong tinh thể, dưới tác dụng của trường ngoài, electron được gia tốc theo

*

hướng ngược với lực tác dụng, ngoài ra, giá trị tuyệt đối của m* cũng được xác

định với độ rộng vùng

AB , vùng càng rộng, m

càng nhỏ.

Bây giờ ta đi khảo sát cơ sở vật lý của khối lượng hiệu dụng. Với electron tự do, toàn bộ công A của ngoại lực F làm tăng động năng của chuyển động tịnh tiến:

2k2

mv2

A  Eđ 

2

m

d E

2

đ 



2 2m

*

(1.58)

ngoài ra

dk2

. Đặt vào (1.55) nhận được m

 m.

Như vậy khối lượng hiệu dụng của electron tự do, đơn giản bằng khối lượng tĩnh m.

Với electron chuyển động trong tinh thể, nó không chỉ có động năng mà còn

E

đ

có cả thế năng. Công mà ngoại lực F chuyển một phần thành động năng ' , còn

E

đ

một phần khác chuyển thành thế năng U: A = ' + U. Lúc này vận tốc chuyển

động của electron sẽ tăng chậm hơn so với electron tự do. Gia tốc mà nó thu được

nhỏ hơn và dường như nó nặng hơn electron tự do ( m* > m).

Nếu toàn bộ công này chuyển thành thế năng, tức là A = U thì vận tốc chuyển động của electron sẽ không đổi, electron như hạt với khối lượng hiệu dụng vô cùng

lớn m*. Hơn thế nữa, không chỉ toàn bộ công của ngoại lực F chuyển thành

thế năng mà cả một phần động năng Eđ

sẵn có của electron cũng chuyển thành thế

năng nữa. U = A + Eđ

thì vận tốc chuyển động của electron trong tinh thể sẽ giảm,

nó chuyển động ngược hướng của ngoại lực F . Electron lúc này thể hiện như hạt

có khối lượng âm ( m* < 0). Lúc này phần năng lượng mà electron truyền cho mạng

lớn hơn năng lượng mà nó nhận được từ trường ngoài.

E

Nhưng trong tinh thể có thể xảy ra trường hợp, không chỉ toàn bộ năng lượng của trường ngoài chuyển thành động năng của electron mà trường tinh thể cũng chuyển một

phần thế năng

U ' của mình cho electron:

' A U' . Lúc này vận tốc chuyển động của

đ

electron sẽ tăng nhanh hơn so với electron tự do. Electron lúc này như nhẹ đi hơn

electron tự do, khối lượng hiệu dụng m* < m.

Hình 1.6: Mô tả sự thay đổi E k, v k và m*

từ 0 đến  a .

với sự thay đổi của vectơ sóng k

Ở đáy vùng, gần k = 0, khi k tăng, năng lượng E( k ) tăng tỷ lệ với k 2 , vận

v dE dk

tốc chuyển động tịnh tiến của electron tăng tỷ lệ với k , gia tốc chuyển

động dương, khối lượng hiệu dụng

m* dương và m*

d2E dk21

và không đổi,

bằng khối lượng của electron ở đáy:

m*  m*

(công thức 1.56). Tại điểm uốn A,

e

d2E dk2 

0 , dE/d k đạt giá trị cực đại, do đó ở gần A,

m* , v  vmax . Sau đó,

đường cong E( k ) bắt đầu úp xuống dE/d k bắt đầu giảm, vì thế v giảm, gia tốc lúc này âm, ngược hướng của lực tác dụng F tương đương như khối lượng hiệu dụng

có dấu âm. Giá trị tuyệt đối của

m* biến thiên theo quy luật m*

d2E dk21 . Tại

đỉnh của vùng (điểm B), E( k ) lại tỷ lệ với bình phương của k và khối lượng hiệu

m

e

dụng giữ giá trị không đổi * âm (công thức 1.57).

1.2.6. Electron trong tinh thể [8, 16 19]

Xét tinh thể lý tưởng với sự sắp xếp tuần hoàn của các nguyên tử. Toán tử Hamiltonian của hệ này bao gồm động năng của các electron, động năng của các hạt nhân, thế năng tương tác của electron – electron, electron - hạt nhân và thế năng tương tác của hạt nhân – hạt nhân. Do đó, có thể viết như sau :

H 

2

2



i 

2



a 1

2

1

2m

2M



2

U 



ri r j



U 

2



ri Ra

1 

2

U

B



Ra Rb 



1.59

i 0 a i j i,a a b

Trong phương trình này, m0 và M là khối lượng của các electron và hạt nhân. r và R là bán kính vectơ của electron và hạt nhân. Hiển nhiên, ta không thể giải phương trình với Hammilton (1.59) cho số các hạt cỡ 1022 – 1023 hạt. Do đó, phải dùng một

số phép gần đúng để giải bài toán này,

Do khối lượng hạt nhân M lớn hơn rất nhiều so với khối lượng của electron m nên hạt nhân được coi là đứng yên khi khảo sát các tính chất của electron trong tinh thể. Đây là phép gần đúng đoạn nhiệt hay gần đúng Born – Oppenheimen. Sử dụng gần đúng này, hàm sóng có thể tách thành hai phần: một phần phụ thuộc vào tọa độ electron, một phần phụ thuộc vào tọa độ hạt nhân dẫn đến hai phương trình Schordinger độc lập: một cho hệ các hạt nhân và một phương trình khác cho hệ các electron. Vì chỉ quan tâm tới tính chất các electron trong tinh thể nên ta chỉ viết:

2

21 U

i

ri  r j U

ri  Ra  E 

1.60

2

i 2m0

1 2 R

i j i,a

Trong phương trình này, bán kính vectơ của hạt nhân Ra

là các tham số chứ

không phải là biến. Hàm sóng phụ thuộc vào toàn bộ tập hợp các tọa độ electron và tập hợp các tọa độ hạt nhân như các tham số. Sự phụ thuộc tham số của giá trị

riêng

ER vào tọa độ của hạt nhân được đánh dấu bởi một chỉ số thích hợp.

Thứ hai, electron ở bên trong lớp vỏ liên kết chặt chẽ với hạt nhân không xác định các tính chất của vật như độ dẫn điện, quá trình dịch chuyển quang học và những tính chất khác, và do đó, có thể coi như một thành phần của mạng. Điều này có nghĩa rằng, thay vì nghiên cứu hạt nhân, chúng ta nghiên cứu các lõi ion. Do đó, số hạng thứ hai trong phương trình (1.60) chỉ là tương tác Coulomb giữa các electron hóa trị và có thể biểu diễn:

1U

ri  r j 1e

1.61

i j i j i j

2

2  1

2 r  r

Thứ ba, dưới các điều kiện nhất định của bài toán nhiều hạt, (1.60) có thể rút gọn thành một tập hợp của các bài toán một hạt bằng phương pháp gần đúng trường tự hợp: tương tác của mỗi electron hóa trị với tất cả các electron hóa trị khác và với tất cả các lõi ion được tính đến bằng cách đưa vào một thế năng tuần hoàn U(r), thế này phải được điều chỉnh sao cho khi sử dụng tính đối xứng của mạng tinh thể và một số dữ liệu thực nghiệm, ta thu được cấu trúc vùng năng lượng đối với tinh thể đã cho.

Khi đó, phương trình Schrodinger với toán tử Hamilton (1.59) rút gọn thành phương trình cho một hạt duy nhất:

2

2

2m0

 U r 

 E 

1.62

2



2  E

với thế năng tuần hoàn đó, phương trình này lại có thể rút gọn thành phương trình cho một hạt tự do nhờ tái chuẩn hóa khối lượng:

2m*

1.63

Như chúng ta đã biết, phổ năng lượng của electron bao gồm các dải được bị tách ra bởi các vùng cấm. Các tính chất điện của chất rắn phụ thuộc vào sự chiếm các vùng năng lượng và độ lớn vùng cấm. Nếu tinh thể vùng năng lượng bị chiếm một phần, nó thể hiện tính kim loại vì các electron trong vùng này quyết định tính

dẫn điện. Nếu tất cả các vùng ở T = 0K đều bị chiếm hoàn toàn hoặc tự do, vật liệu sẽ thể hiển tính chất điện môi. Các electron trong vùng năng lượng bị chiếm không thể tham gia quá trình dẫn điện do nguyên lí loại trừ Paoli: chỉ duy nhất một electron có thể một trạng thái đã cho. Vì vậy, dưới ảnh hưởng của điện trường ngoài, electron trong vùng năng lượng bị chiếm đầy hoàn toàn không thể thay đổi năng lượng bởi tất cả các trạng thái lân cận đã được lấp đầy. Vùng năng lượng bị chiếm cao nhất gọi là “vùng hóa trị” và vùng năng lượng thấp nhất không bị chiếm

được gọi là “vùng dẫn”. Khoảng cách giữa đỉnh của vùng hóa trị Ev

và đáy của

vùng dẫn Ec

được gọi là vùng cấm năng lượng Eg

(hay khe năng lượng)

Eg  Ec  Ev

Tùy thuộc vào giá trị tuyệt đối của

Eg , các vật rắn cho thấy tính chất điện môi

(tức là không dẫn điện) tại T = 0K được phân thành chất điện môi và chất bán dẫn.

Nếu Eg

nhỏ hơn 3 – 4 eV, vùng dẫn bị chiếm đáng kể khi tăng nhiệt độ, và loại tinh

thể này được gọi là các chất bán dẫn.

Đường cong tán sắc

E k

cho thấy các tinh thể thực tế là khá phức tạp. Khối

lượng hiệu dụng không thể được coi là hằng số, và trong một số trường hợp, có thể được mô tả như là một tenxơ bậc hai. Tuy nhiên, trong rất nhiều trường hợp thực

nghiệm quan trọng, các sự kiện xảy ra trong vùng lân cận của

Ec và Ev

là quan

trọng nhất và có thể được mô tả bằng xấp xỉ khối lượng hiệu dụng không đổi, nhưng đôi khi cũng có sự phân biệt theo các hướng khác nhau. Cấu trúc các vùng năng lượng của hai chất bán dẫn tiêu biểu, Cadimium Sufide và Silicon (CdS và Si) được minh họa trong hình 1.6. Với tinh thể CdS, khoảng cách tối thiểu giữa

Ec và Ev

xảy ra ở cùng một giá trị k. Các tinh thể loại này được gọi là bán dẫn có

vùng cấm thẳng. Với các tinh thể Si, vùng cấm năng lượng nhỏ nhất ứng với các

giá trị k khác nhau cho vùng cấm xiên.

Ec và Ev . Tinh thể loại này thường được gọi là bán dẫn có

Hình 1.7: Cấu trúc vùng của hai bán dẫn điển hình, CdS và Si.