Xử lý tín hiệu số - 31

3

°Xkx%ne

n0

j 2nk

4

Mặt khác nếu biểu diễn

x%ntheo các hàm mũ phức:

x%n

A j 2n

Có thể bạn quan tâm!

• Xử lý tín hiệu số - 28
• Xử lý tín hiệu số - 29
• Xử lý tín hiệu số - 30
• Xử lý tín hiệu số - 32
• Xử lý tín hiệu số - 33

Xem toàn bộ 272 trang tài liệu này.

e 4 

A j 2n

e 4

2 2

1 3 j 2nk

Và sử dụng :

x%n°Xke4

N

n0

j 2nk

j 24k n

Sử dụng tính tuần hoàn của các hàm mũ phức, e

4 e 4

So sánh các công thức ta được: °X 0°X 2 0 , °X1 2A , °X 3 2A

Bài 3.31

Nếu ta xem

x%nlà chuỗi tuần hoàn có chu kỳ 2N, các hệ số DFS là:

2 N 1

°X2 kx%ne

n0

j2nk

2 N

Do x%nx%nN nên ta có:

N 1



j2 nk

j2nN k 

°X2 k

x%ne2N

e 2 N 

n0

N 1



j2 nk

x%ne2N n0

1e jk 

Lưu ý thành phần trong ngoặc vuông bằng 2 khi k chẵn và bằng 0 khi k lẻ. Khi k chẵn:

°X2 k

N 1

2x%ne

n0

j 2 nk /2

N

 2°X k



2 

2°X

k 

Vậy: °X2 k 2 

k  0, 2,...2 N 2

Bài 3.32

N1



0

k  1,3,...2 N1

an .W kn

0 k N 1

X(k) =

N

n0

0 k cßn l¹i

X(k)=(a.W ) =

N1

k n

N

1 aW kN

N

1 aW k

n0 N

N

Wk 1 k

Vậy:

Bài 3.33

X(k) =

1 aN 1 aW k

N

x(n)

1

-1 0 1 2 3 4

n

4

x(n 3)

1

-1 0

1

2 3 4

n

Trước hết ta tìm

X (k)4 =

DFT[x(n)4 ]

sau đó áp dụng tính chất trễ để tìm

X 1 (k)4 =

DFT[x(n -

3)4 ] :

X (k)4 =

DFT[ x(n)4 ]

3

0.n

3 1 1 5

X (0)4 =

å

n= 0

x(n)4W4

= 1 + + + =

4 2 4 2

3

1.n

3 1 1 2 1 3 1 1

X (1)4 = åx(n)4W4

= 1 +

W4 + W4 + W4 = - j

n= 0

3

2.n

4 2 4 2 2

3 2 1 4 1 6 1

X (2)4 = åx(n)4W4

= 1 +

W4 + W4 + W4 =

n= 0

3

3.n

4 2 4 2

3 3 1 6 1 9 1 1

X (3)4 = åx(n)4W4

= 1 +

W4 + W4 + W4 = + j

n= 0

Áp dụng tính chất trễ ta có:

4 2 4 2 2

DFT[ x(n -

3) ]=W 3k X (k)

4 4 4

- j 2p3 k

= e 4 X (k)

4

4

= (- j)3k X (k)

4

Vậy:

5

X 1 (0)4 =

2

= ( j)k X (k)

X 1 (1)4 =

j( 1 -

j 1) =

1 + j 1

2 2 2 2

X (2) = j 2 1 = - 1

1 4 2 2

X 1 (3)4 =

j 3 ( 1 + j 1) = 1 - j 1

Bài 3.34

2 2 2 2

x3 (n)4 =

x1(n)4 (*)x2 (n)4 =

3

3

å

m= 0

x1(m)4 x2 (n -

1

m)4

x3 (0)4 =

å

m= 0

3

x1 (m)4 x2 (0 -

4)4 =

4

x3 (1)4 =

x3 (2)4 =

å

m= 0

3

å

x1 (m)4 x2 (1-

x1 (m)4 x2 (2 -

4)4 = 1

3

4)4 =

x3 (3)4 =

m= 0

3

å

m= 0

x1 (m)4 x2 (3-

1

-1 0 1 2 3 4 n

x3 (n)4

4

1

4)4 =

2

Bài 3.35

X ( k )

X ( k )

N 1 N k=0



kn 

1 N 2 N

WN

n0

0 k 0

Áp dụng tích chất của tích chập vòng ta có:

N 2

X3 ( k )N X1( k )N .X 2 ( k )N 

k=0

x (n)

N1



1

X (k) W

kn

0 k 0

3 N N

k 0

3 N N

1 X (0) W 0

0 n N-1



n 3 N N

Vậy:

0 n cßn l¹i

N 0 n N-1 x3 (n)N 

0 n cßn l¹i

Bài 3.36

Theo định nghĩa tích chập vòng ta có:



N 1

y(n)N x1 (m)N .x2 (n m)N m0

7

Từ đó suy ra:

x3 ( n )8 x1( m )8 .x2 ( m )8

m0

7

x3 ( 0 )8 x1( m )8 .x2 ( m )8 1

m0

7

x3 ( 1 )8 x1( m )8 .x2 ( 1 m )8 2

m0

7

x3 ( 2 )8 x1( m )8 .x2 ( 2 m )8 3

m0

7

x3 ( 3 )8 x1( m )8 .x2 ( 3 m )8 4

m0

7

x3 ( 4 )8 x1( m )8 .x2 ( 4 m )8 3

m0

7

x3 ( 5 )8 x1( m )8 .x2 ( 5 m )8 2

m0

7

x3 ( 6 )8 x1( m )8 .x2 ( 6 m )8 1

m0

7

x3 (7 )8 x1( m )8 .x2 (7 m )8 0

m0

Vậy :

x (n) =

¯

{ }

1, 2, 3, 4, 3, 2,1, 0

83

x 3 (n)8

4

1

-1 0

2

3

3

2

1

1 2 3 4

5 7

6

n

Bài 3.37

Giải bằng phương pháp đồ thị như sau:

x(n)

-1 0 1 2 3 4 5 6

n

x~(n)4

-1 0 1 2 3 4 5 6

n

~

x(n-2)4

-1 0 1 2 3 4 5 6

n

x(n-2)4

-1 0 1 2 3 4 5 6

n

~x(n+2)4

-1 0 1 2 3 4 5 6

n

x(n+2)4

-1 0 1 2 3 4 5 6

n

Bài 3.38

Theo định nghĩa ta có:

3

X (k) = DFT[x(n) ]=å

x(n) W kn

Suy ra :

8 4 8 8

n= 0

3

0.n

3 1 1 5

X (0)8 =

å

n= 0

x(n)8W8

= 1 + + + =

2

4 2 4 2

3

1.n

3 1 1 2 1 3

æç1 2 ö÷

X (1)8 = å

x(n)8W8

= 1 +

W8 +

4

W8 + W8

2 4

= 1 +

4+ çç + ÷j

n= 0

3

2.n

3 2 1 4 1 6 1 1

çè2 2 ø÷

X (2)8 = åx(n)8W8

= 1 +

W8 + W8 + W8 = + j

n= 0

4 2 4 2 2

3

3.n

3 3 1 6 1 9

2 æç1 2 ÷ö

X (3)8 = åx(n)8W8

= 1 +

W8+ W8+ W8= 1- + çç- + ÷j

n= 0

4 2 4 4

èç2

2÷ø

3

4.n

3 4 1 8

1 12 1 3

X (4)8 = åx(n)8W8

= 1 +

W8 + W8 + W8 = + j

n= 0

4 2 4 2 4

3

5.n

3 5 1 10

1 15

2 æç1 2 ÷ö

X (5)8 = å

x(n)8W8

= 1 + W8

4

+ W8

2

+ W8

4

= 1- + çç - ÷j

n= 0

3

6.n

3 6 1 12

4

1 18 1 1

çè2 2 ÷ø

X (6)8 = åx(n)8W8

= 1 +

W8 + W8 + W8 = - j

n= 0

4 2 4 2 2

3

7.n

3 7 1 14

1 21

2 æç1 2 ö÷

X (7)8 = åx(n)8W8

= 1 +

W8+ W8+ W8= 1 + - çç + ÷j

n= 0

4 2 4 4

çè2 2 ø÷

Đáp án chương 4 Bài 4.1



h(n) 1 H e je jn d1

c jN 1

e2

ejn d

2

1 j( nN 1)

c

c

2

j(nN 1)

 2j(e

2 e c 2 )

 2 j

sin 

n N 1

N 1

c 2 

2j(n  )

2



sin 

n N 1

c 2 

c 

n N 1

c 2 



Vẽ h nvới và N = 7:

c 3

sin 

n N 1

sin n  3

c 

2 1 3 

h(n) c 

n N 1

3 n  3

c 2 3



h(3) 1

3

3

h(2) h(4) 

3

2

h(1) h(5) 

4

3

h(0) h(6)  0

h(1) h(7) 

8

r

Bài 4.2

8

h(n)

1

3

3



3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

n



3

h(n) 1



H e je jn d

2

1 jN 1

1 c

jN 1

2

e



2 e jn d

e

2

c

2 e jn d

1



e

j( nN 1)

2

d1

c j( nN 1)

e 2 d

c

22

sin n N 1  sin 

n N 1

2 c 2

c 

n N 1 n N 1

2 c 2 



sin 

n N 1

N 1 

c 

2 

(n 

) c 

2 n N 1

c 2 



Vẽ h nvới và N = 7

c 3

sin n  3

h(n) (n  3) 1

3

h(3)  1 1 2

3

3 3

h(2) h(4) 

3

n  33

3

2

h(1) h(5) 

4

3

h(0) h(6)  0

h(1) h(7) 

8

h(n)

2

3

3

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

n



3

4



3

2

Bài 4.3

1 

2

h(n) H e je jnd



1

c 2



jN 1

e 2

e jn d1

c1



jN 1

e 2

ejn d

c 2

2

sin 

c1

2

n N 1

sin 

n N 1

c 2 

2 

c1 

2 

c 2 c1 

n N 1n N 1

c 2 2 c1 2 



Vậy bộ lọc thông dải chính là hiệu của hai bộ lọc thông thấp.