Xử lý tín hiệu số

Vậy

FT[x(n)] 

1aej

Bài 3.7

Với a=2:

FT[x(n)] 

1 2ej

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 272 trang tài liệu này.



a. 

n

xn







n

u(n)

1 

n0

E 

n

xn

j

X1e là không tồn tại



b. 

n

xn







n

r(n)

n 

n0

E 

n

xn

Bài 3.8

X 2 e là không tồn tại

j

FT x nX e jejn0FT rect

N

n

jn N 1sin

e 0

2 2

Bài 3.9



sin 

Y e jH e jX e j

1 1

1ej1ej

Triển khai

Y e j

1ej

B

1ej



A B  1

ta được: A 

và B 

A B  1

Lấy IDFT:



IDFT Y e jy nn n u n





Bài 3.10

j

2 3 1 2ej

X e 

11 ej11 ej

6  5eje j 2

2 3

Bài 3.11

X3 e X e X e e  2 e

X1 e X e e e  2cos3

jjj 3j 32

jjjj 6j 61 2

Áp dụng biến đổi Fourier ngược ta có:

x3 nn 6 2nn 6

Bài 3.12

Sử dụng biến đổi Fourier, ta có:

jj

X1e X2e  1 2cos

Do đó:

1 2

X e jX e jX e j1 2cos2

 3  4cos 2cos 2

 3  2(e j ej)  (e j 2 ej 2)

Biến đổi Fourier ngược ta có:

x n 2 1

1 2 3

Bài 3.13

 1 n 1 1

X Z Z n 

n0 2 

Z 

11 Z 1 2

X Z hội tụ trên vòng tròn đơn vị nên tồn tại

X e j

Bài 3.14

X e j





11 ej



x n

a  1

n

n0

1a

Vì thế biến đổi Fourier của

x ntồn tại như vậy:



X e j

n0



anejn 

n0

aejn

Vì aej

a  1, nên

X e j

1aej

Phổ mật độ năng lượng là:

j

Sxx e 

Xej2X ejXej

hoặc tương đương:

 1 1

1aej1ae j

Bài 3.15

Sxx

e j

2  2acos+a2

Hình biểu diễn tín hiệu

x n

và phổ tương ứng của nó khi a = 0,5 và a = -0,5.

Nhận xét khi a = -0,5 tín hiệu biến đổi nhanh hơn và phổ lớn hơn ở các tần số cao.

x n0,5nu n

0 5 10 15 20 n



1  2acos+a2

, a  0,5



xn0,5nun



1  2acos+a2

, a 0,5



Bài 3.16

Nếu tín hiệu ngò vào

x nn, theo định nghĩa, đáp ứng cần tìm là đáp

ứng xung đơn vị

h n.

Do vậy:

h n 1L



L 1 k 0

n k 



H e j 1L

L 1 k 0

ejk

1 1ej L 1

L 1 1ej

j1

jL

jL1

e 2 e

jL1

H e

L 1 e

j j 

e 2 e 2

sin L 1

 1

jL

e 2

2 





Bài 3.17

L 1 sin 

2 

2



1 j 2

Ta có:

x(n) cos().e



.e j n .d

x(n) 1



(e j (n1)e j(n3) )d

4



x(n) 1 1



e j ( n1)





1 e j ( n3)

4j(n 1)

j(n  3)



x(n)

1 sin(n 1)



2 (n 1)

1 sin(n  3)

2 (n  3)

Vì:

sin(n 1)1 (n 1)

khi n k

khi n k

sin(n k)

(n k)

n k 

0

Nên:

xn1 (n 1) 1 (n  3)

Bài 3.18

2 2

FT[(n-1)] ej

FT[(n-3)] ej3

Áp dụng tính chất tuyến tính với a1 = 1/2; a2 = 1/2

e jej

Bài 3.19

X (e j) 

ej 2

 cos().ej 2



FT[u(n)] 

n0

ejn 1

1ej

Áp dụng tính chất trễ với n0= 1

Bài 3.20

X (e j)

ej

1ej

b ej

H e j

1aej

Hej2

b ejb e j

1aej1ae j

1b2  2b cos1a2  2b cos

Như vậy:

H e j2 1 nếu và chỉ nếu b = -a.

1 1  1 n

Khi

a  và b  và nếu: x n

u n

2 2  2 

1 ej

Y e jH e jX e j2

1  2

11 ej

11 ej

1 j

2 2 12 e 

Ta có: n1anunDFT



1aej2

Sử dụng các tính chất tuyến tính và trễ của DFT ta có:

1  1 n

1 n1



y nn 1

2 2

u nn 2 

u n 1

Bài 3.21



X( e j)=FT [2 n u(n) ]=

(1  0.5ej)

Y (e j) FT[6.21.2(n1) .u(n-1)]

Y (e j

3ej

) 

1 0.5ej

Suy ra:

H (e j)

Y (e )

j

X (e j)

 3e

j

H (e j)  3(cosj sin )

H (e j)  3cosj(3sin )

Đặc tính biên độ tần số:

(3cos)2  (3sin )2

H (e j) 

H (e j)  3

Đặc tính pha tần số

()  arctg[ 3sin ]

3cos

Bài 3.22

() 

H( e j)=

ejn ejej 2

n1

X( e j)

(1  0,5ej)

Phổ của đáp ứng: Y(e j) X (e j).H (e j)

Bài 3.23

Y( e j)= e j

(1  0,5ej)

e j 2

Y( e j)=X( e j)+ ejX( e j)+ ej2 Y( e j)

Suy ra: H( e j) =

Y (e j)

X (e j) =

(1 ej) (1 ej 2)

Hàm truyền đạt phức: H( e j) =

(1  cos j sin )

Đặc tính biên độ tần số:

H (e j) =

H (e j) =1

(1  cos )2 sin 2

sin(0,5)

Rút gọn:

Đặc tính tần số: Arg[H( e j)] = arctg[sin ] = 

Vậy hàm truyền đạt phức là: H( e

j) =

(1  cos ) 2

e j 0,5

sin(0,5)

Bài 3.24

X p (3) j 2 j3 2 j2 3.e

j 0,78

N 1

Ta có:

DFT rect

(n)

rect

(n) .ejk1n

L N L N

n0

L1

jkn

1ejk1L

DFT rectL(n)Ne

n0

1 

1e

jk1

jk L jk L jk L

DFT rect

(n)

e

N (e N e N )

jk

L N 

e N (e

jk e

jk 

DFT rect

N )

(n)

sin(kL / N ).ej k( L 1)

L N sin(k/ N )

kj k

Với N=4 và L=2:

Bài 3.25

DFT rect2(n)4 2cos e 4

j 2 k 5

4 4 j 2 kn

1e 10

°Xkx%nWkn ne 10

2



j k

k 0

1e 10



4sin k 4sin k k

°Xkejk 10 2  5ej 10 k 2 2

sin k sin k k

sin

10 10 10

k k

°Ak 5 2 2

sin k k

°Xk

10 10

°Ak

10 2

Bài 3.26

k 4k 1Sgn Ak 

N 1

Dựa vào biến đổi DFT: °Xkx%ne

k 0

j 2nk N

Ta có:

j 2 kn

e N

e

j kn

2 

j kn





°X (0) 

n0

x%(n)j0n  10

°X (1) 3  j

°X (2)  0

°X (3) 3  j

Bài 3.27

x1 m

`0 1 2 3 4 5 6 7 m

x2 0m

0 1 2 3 4 5 6 7

x2 7m

0 1 2 3 4 5 6 7 m

Sau khi tính toán ta thu được kết quả sau:

Bài 3.28

x%3 0 1,75

x%3 4 2,5

x%3 1 2

x%3 5 2,5

x%3 2 2, 25

x%3 6 2,5

x%3 3 2,5

x%3 7 1,5

Sau khi tính toán ta thu được kết quả sau:

Bài 3.29

x%3 0 1

x%3 4 2

x%3 1 0

x%3 5 2

x%3 2 1

x%3 3 2

°Xk

Wnk 

ej2/10kn ej4 k /10sin k / 2

n0

sin k / 10

Các điểm 0 của °Xk: 0,1,2,3.

Bài 3.30

sin k / 2 sin m

có nghĩa là k=2m, với m =

Dox%ntuần hoàn với chu kỳ N=4: