Các Tính Chất Của Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Dãy Có Chiều Dài Hữu Hạn

DFT rect

(n)

N

khi k=0



L N 0 khi 0<k  (N-1)

Tức là : Vậy:

DFT rectL(n)NN.(k)N

Có thể bạn quan tâm!

• Phổ Tần Số Của Hàm Tương Quan Và Hàm Tự Tương Quan
• Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Tín Hiệu Tuần Hoàn Có Chu Kỳ N.
• Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Dãy Không Tuần Hoàn Có Chiều Dài Hữu Hạn
• Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp Ứng Xung Chiều Dài Hữu Hạn (Fir)
• Đáp Ứng Xung H ( N ) Của Bộ Lọc Chắn Dải Lý Tưởng.
• Đặc Tính Xung Của Bộ Lọc Số Fir Pha Tuyến Tính

Xem toàn bộ 272 trang tài liệu này.

sin( kL / N ).e-j k (L-1)

khi N > L

L N 

DFT rect ( n ) 

N

sin( k/ N )

N.(k) khi N = L

N

3.5.2.2. Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy có chiều dài hữu hạn

a. Tính tuyến tính

Nếu: Xi(k)N =DFT[xi(n)N]

Thì: Y (k)

DFT y(n) A .x (n) A .X (k)

(3.97)

N N i i N 

i i N

i i

Nếu các dãy xi(n)N có độ dài Ni khác nhau thì phải tính DFT với độ dài

i

N max N , bằng cách thêm các mẫu 0 vào các dãy có độ dài ngắn hơn N.

Ví dụ 1:

Cho các dãy

x1 (n) rect2 (n) và

x2 (n) (n)

Tìm:

Giải:

Y (k)2 DFT[x1(n)  2x2 (n)]

Theo tính chất tuyến tính có: Y (k)2 DFT[x1(n)]  2DFT[x2 (n)]

Mà:

DFT rectL(n)NN.(k)N

DFT[rect2 (n)]  2(k)2

DFT[(n)N ] rectN (k)

DFT[(n)] rect2 (k)

Vậy:

Y (k)2  2(k)2  2rect2 (k)

b. Tính chất trễ vòng (dịch vòng)

Định nghĩa phép dịch vòng:

Dãy hữu hạn y(n)N =x(n-n0)N là dịch vòng n0 mẫu của dãy x(n)N , khi n0 bị đẩy ra khỏi đoạn [0,(N-1)] sẽ quay vòng trở lại đầu kia.

Các dãy y(n)N và x(n) xác định trong đoạn [0,(N-1)] . Khi n0 >0 là dịch trễ vòng( dịch vòng phải ). Khi n0<0 là dịch sớm (dịch vòng trái).

Chú ý: để phân biệt phép dịch vòng với phép dịch tuyến tính, người ta ký hiệu chỉ số độ dài N của dãy dịch vòng ở phía sau tên dãy.

Như vậy về bản chất phép dịch vòng dãy hữu hạn x(n-n0)N chính là sự quan sát

trên cửa sổ cố định rectN(n) phép dịch tuyến tính dãy hữu hạn x(n)N khi coi nó là một chu kỳ của dãy tuần hoàn xP(n) có chu kỳ N.

Khi dịch vòng N lần dãy hữu hạn x(n)N sang trái hoặc sang phải thì sẽ nhận được đúng dãy x(n)N, do đó:

x(n-N)N = x(n)N (3.98)

Vì dãy hữu hạn x(n)N chỉ xác định trong đoạn [0,(N-1)] nên khi dịch vòng, mẫu

x(n)N chính là mẫu x(0)N:

x(N)N = x(0)N (3.99)

Các mẫu của dãy dịch vòng y(n)N =x(n-n0)N được tìm theo nguyên tắc:

y(0)N = x(0-n0)N = x(N-n0)N

y(1)N = x(1-n0)N = x(N+1-n0)N

…………

y(n0-1)N = x(n0-1-n0)N = x(N+n0-1-n0)N = x(N-1)N y(n0)N = x(n0-n0)N = x(N+n0-n0)N = x(N)N= x(0)N y(n0+1)N = x(n0+1-n0)N = x(1)N

…………

y(N-1)N = x(N-1-n0)N

Ví dụ đối với trường hợp y(n)5 = x(n-2)5 thì n0 =2 và N=5 ,nhận được:

y(0)5 = x(0-2)5 = x(5-2)5 = x(3)5

y(1)5 = x(1-2)5 = x(5+1-2)5 = x(4)5

y(2)5 = x(2-2)5 = x(5+2-2)5 = x(5)5 = x(0)5 y(3)5 = x(3-2)5 = x(1)5

y(4)5 = x(4-2)5 = x(2)5

Dãy biến đảo x(-n)N của phép dịch vòng là dãy x(0-n)N, do đó có biểu thức:

x(-n)N =x(N-n)N (3.100)

Ví dụ 2:

Cho dãy có chiều dài hữu hạn: x(n)5= 2n rect5(n) Xác định dãy y(n)5 =x(-n)5

Giải:

Ta c y(0)5 = x(N-0)5 = x(0)5 = 20= 1 y(1)5 = x(5-1)5 = x(4)5 = 24= 16 y(2)5 = x(5-2)5 = x(3)5 = 23= 8 y(3)5 = x(5-3)5 = x(2)5 = 22= 4 y(4)5 = x(5-4)5 = x(1)5 = 21= 2

Như vậy ,dãy biến đảo y(n)N = x(-n)N có mẫu y(0)N = x(0)N ,còn các mẫu từ y(1)N đến y(N-1)N là đảo của các mẫu từ x(1)N đến x(N-1)N tức là có y(1)N = x(N-1)N; y(2)N = x(N-2)N; ……..; y(N-1)N = x(1)N.

Tính chất của phép dịch vòng:

Khi dịch vòng dãy x(n)N đi n0 mẫu thì dãy biên độ tần số

X ( k )N

không thay

j(k )

đổi, chỉ có dãy pha tần số (k)

bị dịch đi một lượng

k1n0 tương ứng.

Nếu:

DFT x(n)NX (k)N

X (k)N .e

Thì:

DFT x(n n )

X (k)

X (k) .ejk1n0 

X (k) .e j[(k )jk1n0 ]

Ví dụ 3:

Cho dãy

0 N N N N

x(n)  (1 0,25n).rect5 (n) .

Hãy biểu diễn dưới dạng dãy số và đồ thị dãy

x(n)5

và các dãy dịch vòng

x(n 2)5 , x(n 1)5 .

Giải :

Biểu diễn bằng dãy số:

x( n ) = íï¯, 0,75 , 0,5 , 0,25 , üï

5 ì 1

ïî

0ý þï

ï

ï

ï

ïí ¯üï

ï

x( n-

2 )5 = ïì 0,25 , 0 , 1 , 0,75 , 0,5ïý

ïï ïï

îï ïþ

ïí ¯üï

Biểu diễn bằng đồ thị:

x( n + 1 )5

= ïïì 0,75 , 0,5 , 0,25 , 0 ,

ï

ï

ïïî

1 0,75

0,5 0,25

-1 0 1 2 3 4

n

x(n)5

1ïïý

ï

ï

ïïþ

5

x(n 2)

1

0,75

0,25 0,5

-1 0 1 2 3 4

n

5

x(n 1)

1

0,75 0,5

0,25

-1 0 1 2 3 4

n

Hình 3.20. Biểu diễn dạng dãy số và đồ thị dịch vòng dãy x(n)5

c. Tính chất đối xứng

Nếu:

x(n)N

là dãy phức và

DFT x(n)NX (k)N

Thì:

DFT x(n)*X *(k) X *(N k)

N N N

Trong đó :

X * (N k) và

X (N k) N

là liên hợp phức

N

X (N k) N

d. Tích chập vòng hai dãy

là dãy đối xứng vòng của

X (k)N .

Định nghĩa tích chập vòng:

Tích chập vòng của hai dãy hữu hạn được tính theo biểu thức:

x1 (n)N và

x2 (n)M

là dãy hữu hạn

y(n)N



N 1

y(n)N x1 (m)N .x2 (n m)N m0

(3.101)

Với N ≥ max [L,M].

Các dãy x1(m)N và x2(n)N là x1(m)L và x2(n)M được thêm vào các mẫu có giá trị bằng 0 để có độ dài N.

L M

Dãy x2(n-m)N là dịch vòng trễ m mẫu của x2(n)N . Tích chập vòng được ký hiệu như sau:

N

y n

x1 n(*)x2 n

(3.102)

Tích chập vòng có các tính chất giao hoán , kết hợp và phân phối . Để tính trực tiếp tích chập vòng , cũng phải tính từ ng giá trị của y(n)N như vậy khi tính tích chập. Theo biểu thức tích chập vòng ta có:



N 1

y(0)N x1 (m)N .x2 (m)N

m0



N 1

y(1)N x1 (m)N .x2 (1m)N m0

………



N 1

y(N 1)N x1 (m)N .x2 (N 1m)N

m0

Trong đó, x2(-m)N là dãy đảo của x2(m)N ,còn x2(1-m)N là dãy dịch vòng trễ 1 mẫu của x2(-m)N ,….., và x2(N-1-m)N là dịch vòng trễ (N-1) mẫu của x2(-m)N.

Ví dụ 4:

Cho hai dãy x1(n)= 2n.rect2(n) và x2(n)= rect3(n)

Tính tích chập y(n)=x1(n)*x2(n) và tích chập vòng y(n)4=x1(n)(*)x2(n) .

Giải:

Tích chập tuyến tính của 2 dãy:

M 1

1 2 1 x

y nx n* x nx (m).x (n m) y(n)=x1(n)*x2(n)

m0

nhau.

2

y( 0 ) x1( m ).x2 ( m ) 1.1 2.0 0.0 1

m0

2

y(1) x1 (m).x2 (1 m) 1.1 2.1 0.0 3

m0

2

y(2) x1 (m).x2 (2 m) 1.1 2.1 0.1 3

m0

2

y(3) x1 (m).x2 (3 m) 1.0 2.1 0.1 2

m0

y(n) =0 với mọi n ≥ 4

Tích chập vòng của 2 dãy:



N 1

y(n)N x1 (m)N .x2 (n m)N m0

3

y(0)4 x1 (m)4 .x2 (m)4 1.1 2.0 0.1 0.1 1

m0

3

y(1)4 x1 (m)4 .x2 (1 m)4 1.1 2.1 0.0 0.1 3

m0

3

y(2)4 x1 (m)4 .x2 (2 m)4 1.1 2.1 0.1 0.0 3

m0

3

y(3)4 x1 (m)4 .x2 (3 m)4 1.0 2.1 0.1 0.1 2

m0

Như vậy, tích chập vòng và tích chập tuyến tính của hai dãy đã cho là bằng

Nhận xét: Trong đoạn[0,(N-1)] tích chập vòng y(n)N=x1(n)L(*)x2(n)M với

N=(L+M-1) bằng tích chập tuyến tính y(n) =x1(n)L*x2(n)M .

Tính chất tích chập vòng :

DFT của tích vòng hai dãy bằng tích các DFT của hai dãy thành phần.

Nếu: DFT[x1(n)N] =X1(k)N và DFT[x2(n)N] =X2(k)N

Thì: DFT[y (n)N = x1(n)N (*)x2(n)N ]= X1 (k)N .X2(k)N

3

Ví dụ 5:

Tính tích chập vòng

Giải:

y n

rect3 n(*)( n )3

Ta có:

Từ đó suy ra:

DFT rectL(n)NN.(k)N

DFT[(n)N ] rectN (k)

Vậy :

X1(k)3DFT rect3(n) 3.(k)3

X 2 (k ) DFT[(n)3 ]=rect3 (k)

Y 3 (k) X1 (k).X 2 (k)

 3(k)3.rect3 (k)

 3(k)3

y(n)3 IDFT[ X1 (k)3.X 2 (k)3 ]

IDFT[3(k)3 ]

rect3 (n)

BÀI TẬP CHƯƠNG 3

Bài 3.1

Tìm biến đổi Fourier các dãy sau đây:

a. x1 nn

b. x2 n(n 1)

1 n

3 2

c. x n



u(n)

4

d.

Bài 3.2

xn2nu(n)

Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu:

Bài 3.3

x na n

với -1< a <1

Tìm biến đổi Fourier và phổ biên độ của dãy:



x nA

0

0 n L 1

n còn lại

Với minh hoạ như hình sau:

Bài 3.4

0 L-1 n

xn

Hình BT 3.3.

Cho tín hiệu trên miền tần số:

X (e j)  cos(2).ej

Xác định các hàm phần thực và phần ảo; modul và argument; độ lớn và pha của

phổ tín hiệu

Bài 3.5

X (e j) .

Cho tín hiệu rời rạc

x nsau đây:

a. Tìm

xnrectN n

X e j

b. Tìm phổ biên độ và phổ pha của

x n

Bài 3.6

Cho tín hiệu

x(n) anu(n)

Xét sự tồn tại và tìm biến đổi Fourier của Tính kết quả với a = 2

Bài 3.7

x n.

Xét sự tồn tại của biến đổi Fourier và tính năng lượng

Excủa các dãy

x nsau:

a.

b.

Bài 3.8

x1 nu n

x2 nr n

Cho Tìm

Bài 3.9

xnrectN n n0 

X e j

n0  0

Biết đáp ứng xung đơn vị của một hệ thống tuyến tính và bất biến là:

hnnu n. Hãy tìm đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu ngò vào

x nnu ntrong đó

Bài 3.10

 1,

 1 và .

Xác định biến đổi Fourier của tín hiệu sau đây:

xn 2x1 n 3x2 n

Với:

1 n

x n2 

n  0

1

x2

Bài 3.11



0





1 n



n 3 

0





n  0

n  0

n  0

Giả sử ta có hai tín hiệu

x1 nvà

x2 nnhư sau:

x1 nx2 nn 3n  3

Tính tích chập

Bài 3.12

x3 n= x1 n* x2 nthông qua biến đổi Fourier.

Tính tích chập

x1 nx2 n

với