Ứng Dụng Biến Đổi Z Trong Xử Lý Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc

Biến đổi Z của hàm tự tương quan rx(m)

Nếu: Thì:

ZT[x(n)] X (z)

x x

R (z) ZT[r (m)] X (z) X (z1)

(2.52)

2.4. Ứng dụng biến đổi Z trong xử lý tín hiệu và hệ thống rời rạc

2.4.1. Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc

Có thể bạn quan tâm!

• Xử lý tín hiệu số - 9
• Các Phương Pháp Biến Đổi Z Ngược
• Định Lý Giá Trị Đầu Của Dãy Nhân Quả
• Giải Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính Hệ Số Hằng Dùng Biến Đổi Z
• Biến Đổi Z Của Các Dãy Nhân Quả Thường Gặp
• Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số

Xem toàn bộ 272 trang tài liệu này.

Chúng ta biết rằng trong miền n, một hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi đáp ứng xung h(n) của nó hoặc đặc trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng, nhưng việc phân tích hệ thống nhiều khi gặp phải bất tiện như là tích chập, cách giải phương trình sai phân, xét độ ổn định.

Để giải quyết những khó khăn trong miền n chúng ta sẽ chuyển cách biểu diễn hệ thống sang miền Z, cụ thể ta đưa ra khái niệm hàm truyền đạt hệ thống.

a. Định nghĩa: Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc là biến đổi Z của đáp ứng xung và được ký hiệu là H(z):

H zZT[h(n)]



H zY z 

X z

h(n)

Trong miền thời gian rời rạc n ta có quan hệ vào ra của hệ thống được thể hiện qua phép chập:

x(n) y(n)

Đáp ứng ra y(n) của hệ thống rời rạc được tính theo tích chập y(n) x(n) * h(n)

. Ta có thể tìm được :

X (z) ZT[x(n)] và

H (z) ZT[h(n)]

Theo tính chất tích chập của biến đổi Z có :

Y (z) ZT[ y(n) x(n) * h(n)] X (z)H (z)

Từ đó suy ra :

H (z) Y (z)

X (z)

H(z)

X(z) Y(z)

Trong miền Z tích chập đã được chuyển thành phép nhân đại số thông thường, đây chính là một trong những ưu điểm của biến đổi Z.

Lấy biến đổi Z ngược hàm truyền đạt H(z) của hệ thống tuyến tính bất biến

nhân quả, nhận được đặc tính xung h(n) của hệ thống:

h(n) IZT H (z)

Trong miền Z quan hệ vào ra của hệ thống được thực hiện nhờ phép nhân đại số thông thường thay thế cho phép tích chập, điều này dẫn đến hiệu năng tính toán cao. H(z): Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc là biến đổi Z của đáp ứng xung hay nó còn được xác định bằng tỷ số giữa biến đổi Z của tín hiệu ra trên biến đổi Z của tín hiệu vào. H(z) là hàm truyền đạt của hệ thống đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống trong miền Z có vai trò tương tự như đáp ứng xung h(n) trong miền thời gian rời rạc.

b. Xác định hàm truyền đạt H(z) của một hệ thống rời rạc từ phương trình sai phân

Xét hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến và nhân quả được mô tả bằng phương trình sai phân tổng quát bậc N :

N M

aky(n k) brx(n r)

k 0

N

r 0

M 

Lấy ZT hai vế:

ZT aky(n k)ZT brx(n r)

k 0 r 0 

Theo tính chất tuyến tính và tính chất trễ của biến đổi Z nhận được :

a z Y (z) b z X (z)

N M

k r

k r

Suy ra:

k 0

r 0

M M

b zr b z( M r )

Y (z)

r r

( N  )

H (z) r 0r 0zM

(2.53)

X (z) N

N

k (

k )

a z a z N

Nếu a0 = 1 sẽ được:

k k

k 0 k 0

b z

M

r

Y (z) r

H (z) r 0

(2.54)

N

X (z)

1akz

k

k 1

c. Biểu diễn hàm truyền đạt H(z) bằng các điểm cực và điểm không

Cũng giống như tín hiệu rời rạc, hàm truyền đạt của một hệ thống rời rạc có thể được biểu diễn bằng các điểm cực và các điểm không của nó như sau:

(1 z z )

M

1

0

N

H (z) ck 1

pk

(1z z1 )

(2.55)

k 1

Ví dụ:

M

(1z0 )

N

cz N M k 1

(1zpk )

k 1

(2.56)

Cho hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có phương trình sai phân :

2y(n)  4y(n 1)  2y(n  2) x(n)  3x(n 1)

Hãy xác định hàm truyền đạt H(z) và đặc tính xung h(n) của hệ thống.

Giải:

Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình sai phân trên:

2Y (z)  4z1Y (z)  2z2Y (z) X (z)  3z1 X (z)

Hay :

Y (z)(2  4z1  2z2 ) X (z)(1 3z1)

Y (z) (1 3z1)

z1(z  3)

z(z  3)

H (z) 



X (z) (2  4z1  2z2 ) 2z2 (z2  2z  1) 2(z2  2z  1)

Vậy hàm truyền đạt là :

H (z) Y (z) 

z(z  3)

z(z  3)

X (z) 2(z2  2z  1) 2(z 1)2

Lấy biến đổi Z ngược hàm truyền đạt H(z), tìm được đặc tính xung h(n):

h(n) IZT H z IZT z(z  3)  với RC H z  : z  1



2(z 1)2 

Để tìm h(n), phân tích hàm:

H (z) (z  3) C1 C2

z 2(z 1)2

(z 1) (z 1)2

1 3

(z  3)(z 1)2

2(z 1)2

Trong đó : C2 z 1 C2 

d  (z  3)(z 1)2 

1

2

1

C1 dz 

2(z 1)2

z 1

C1 2



Vậy:

H (z) (z  3)  1  1

z 2(z 1)2 2(z 1) (z 1)2

H (z) 1 z z

2 (z 1) (z 1)2

Với:

RC H :| z |  1,

h(n) 0,5u(n) nu(n) . Hay:

h(n) (0,5 n)u(n)

2.4.2. Phân tích hệ thống trong miền Z

a. Các phần tử thực hiện hệ thống

Trong chương 1 chúng ta đã trình bày cách biểu diễn các phần tử thực hiện trong miền n. Từ cách biểu diễn này, lấy biến đổi Z đầu vào và đầu ra của các phần tử thực hiện, ta sẽ có cách biểu diễn trong miền Z như sau:

- Phần tử cộng

Gọi xi(n) là các đầu vào, y(n) là các đầu ra, ta có quan hệ sau:

M

y(n) xi n

i1

Lấy biến đổi Z ta có:

ZT y nZT Mxn

i 

i1 

M

Y z Xi z 

i1

Phần tử cộng trong miền Z được sử dụng để cộng hai hay nhiều hàm ảnh Xi(z) và được ký hiệu như trên hình 2.11

X1(z)

2

X1(z)Y(z ) X (z)

Y(z )

X2(z)

Xi (z)

XM(z)

M

a. Y(z) = X1(z) + X2(z) b. Y (z) Xi (z)

i1

Hình 2. 11. Ký hiệu phần tử cộng trong miền Z.

- Phần tử trễ đơn vị

Theo tính chất trễ của biến đổi Z thì : Y (z) ZT[x(n 1)] z1 X (z)

do đó phần tử trễ đơn vị trong miền Z có hàm truyền đạt ký hiệu như trên hình 2.12.

z1

X(z) Y(z)

H (z) z1 và nó được

Hình 2. 12. Ký hiệu phần tử trễ đơn vị trong miền Z

- Phần tử nhân với hằng số

Gọi x(n) là đầu vào, y(n) là các đầu ra, ta có quan hệ sau:

y(n) ax n

Lấy biến đổi Z ta có:

ZT ynZT ax n

Y zaX z

Phần tử nhân với hằng số dùng để nhân hàm X(z) với hằng số a, nó được ký hiệu như trên hình 2.13.

a

X(z) Y(z)

Hình 2. 13. Ký hiệu phần tử nhân với hằng số trong miền Z

Ví dụ 1:

Hãy xây dựng sơ đồ cấu trúc trong miền Z của hệ thống số có quan hệ vào ra :

y(n)  2x(n)  3x(n 1)  0,5y(n 1)

Giải:

Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình trên nhận được :

Y (z)  2X (z)  3z1X (z)  0,5z1Y (z)

Từ đó xây dựng được sơ đồ cấu trúc trong miền Z của hệ trên hình 2.14.

2

X(z)

Y(z)

z 1

z 1

3 - 0,5

Hình 2. 14. Sơ đồ cấu trúc của hệ thống của ví dụ 1.

b. Phân tích hệ thống rời rạc

Một hệ thống số phức tạp có thể được mô tả bằng sơ đồ cấu trúc hoặc sơ đồ khối gồm nhiều khối liên kết với nhau, trong đó mỗi khối được đặc trưng bằng hàm truyền đạt Hi(z). Khi đã biết sơ đồ cấu trúc hoặc sơ đồ khối và các hàm truyền đạt Hi(z) thành phần, có thể xác định được hàm truyền đạt H(z) của cả hệ.

Việc phân tích hệ thống rời rạc dựa trên nguyên tắc chung sau đây:

- Phân tích hệ thống tổng quát thành các hệ thống nhỏ hơn (hay những khối nhỏ hơn).

- Tìm quan hệ ghép nối giữa những khối nhỏ hơn này.

- Tìm hàm truyền đạt Hi(z) của từng khối nhỏ này.

- Ghép các hàm truyền đạt Hi(z) của những khối nhỏ đã tìm thấy theo quy luật phân tích ở trên.

Cách mắc sơ đồ hệ thống trong miền Z:

- Hàm truyền đạt H(z) của các khối liên kết nối tiếp

Xét hệ thống số gồm m khối liên kết nối tiếp trên hình 2.15. Khi đó đáp ứng ra của hệ sẽ được xác định theo biểu thức :

Từ đó suy ra:

Y (z) X (z)H1(z)H2 (z)......Hm (z) X (z)H (z)

m

H (z) Hi(z)

i1

(2.57)

Hàm truyền đạt H(z) của các khối liên kết nối tiếp bằng tích các hàm truyền đạt Hi(z) thành phần

H1(z)

H2(z)

Hm(z)

X(z) Y(z)

Hình 2. 15. Sơ đồ các khối Hi(z) liên kết nối tiếp.

- Hàm truyền đạt H(z) của các khối liên kết song song

Xét hệ thống số gồm m khối liên kết song song trên hình 2.16.

H1 (z)

H2 (z)

Hm(z)

X(z) Y(z)

Hình 2. 16. Sơ đồ các khối Hi(z) liên kết song song.

Khi đó đáp ứng ra của hệ sẽ được xác định theo biểu thức :

Y (z) X (z)H1(z) X (z)H2 (z)  ... X (z)Hm (z)

Hay :

Y (z) X (z)H1(z) H2(z)  ... Hm(z)X (z)H (z)

Từ đó suy ra:

m

H (z) Hi (z)

i1

(2.58)

Hàm truyền đạt H(z) của các khối liên kết song song bằng tổng các hàm truyền đạt Hi(z) thành phần.

- Hàm truyền đạt H(z) của vòng phản hồi

Xét hệ thống số có vòng phản hồi trên hình 2.17, theo sơ đồ khối có :

X2 (z) Y (z)H2 (z)

và :

X1(z) X (z) X2 (z) X (z) Y (z)]H2 (z)

Y (z) X1(z)H1(z) X (z) Y (z)H2(z)H1(z)

Từ đó suy ra

Y (z) X (z)H1(z) Y (z)H1(z)H2 (z)

Y (z)1H1(z)H2(z)X (z)H1(z)

H (z) 

Y (z) H1 (z)

(2.59)

X(z)

X (z) 1H1 (z)H2 (z)

X2 (z)

H2 (z)

H1 (z)

X1 (z)

Y(z)

Hình 2. 17. Sơ đồ khối của vòng phản hồi.

Ví dụ 2:

Tìm hàm truyền đạt H(z) của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có sơ đồ cấu trúc trên hình 2.18.

X z

z1

2

z1

5

z1

Y z

z1

z1

-3

z1

Hình 2. 18. Sơ đồ cấu trúc của hệ thống số của ví dụ 2.

Giải:

Để tìm hàm truyền đạt H(z) của hệ thống số đã cho, có thể thực hiện theo thứ tự: Đầu tiên tìm hàm truyền đạt của các khối liên kết nối tiếp, song song và hàm truyền đạt của các vòng phản hồi chỉ bao một khối, từ đó rút gọn dần sơ đồ khối của hệ về còn một khối, hàm truyền đạt của khối đó chính là hàm truyền đạt H(z) cần tìm.

Tuy nhiên, có thể tìm được hàm truyền đạt H(z) của hệ đã cho nhanh hơn bằng cách chuyển tất cả các vòng phản hồi về chung một nút cộng như trên hình 2.19, sau đó mới thực hiện các bước rút gọn.

Sau khi xác định hàm truyền đạt của các khối liên kết nối tiếp và song song trong sơ đồ khối hình 2.19, rút gọn sơ đồ về dạng hình 2.19, với H2(z) là hàm truyền đạt của các khối phản hồi liên kết song song :

H2 (z) z  5z1  3z13z1 z  5z1  9z2

Y z

2

3z1

z

z  1

z  1

5z  1

3z  1

3z1

X z

Hình 2. 19. Sau khi đưa các vòng phản hồi về một khâu cộng.

3z1

H2 (z)

z2

X(z) Y(z)

Hình 2. 20. Sau khi tính hàm truyền đạt các khối nối tiếp và song song.

Tìm tiếp hàm truyền đạt của vòng phản hồi trên sơ đồ hình 2.20 :

z2 z2 z2

2

H3 (z) 1 z2 H



(z) 1 z2 (z  5z1  9z2 ) z4  z3  5z  9

Rút gọn được sơ đồ khối về dạng như trên hình 2.21. Tính hàm truyền đạt của hai khối liên kết nối tiếp, nhận được hàm truyền đạt H(z) của hệ thống số đã cho :

3

H (z)  3z1H

(z) 

3z

H3(z)

3z 1

H(z)

z4  z3  5z  9

X(z)

Y(z)

X(z) Y(z)

Ví dụ 3:

Hình 2. 21. Sau khi tính hàm truyền đạt khâu phản hồi và hai khối liên kết nối tiếp, nhận được H(z).

Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ chi tiết như hình dưới đây:



z  1

X(z)

X1 (z)

Y(z)

Hình 2. 22. Sơ đồ hệ thống trong ví dụ 3

Giải:

Đặt thêm biến phụ X1(z), sau đó tìm quan hệ giữa Y(z) và X(z)