Định Lý Giá Trị Đầu Của Dãy Nhân Quả

z

Để đơn giản và dễ hiểu mà không làm mất đi tính tổng quát, giả sử X(z) dạng chính tắc và có r cực thực đơn zpk , một cực thực bội zpq bậc q, một cặp cực phức liên

hợp

zpe và

* , khi đó có thể phân tích X(z) thành tổng của các phân thức dạng:

pe

o o

X (z) E E* r B q C

ki

Có thể bạn quan tâm!

• Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
• Xử lý tín hiệu số - 9
• Các Phương Pháp Biến Đổi Z Ngược
• Ứng Dụng Biến Đổi Z Trong Xử Lý Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
• Giải Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính Hệ Số Hằng Dùng Biến Đổi Z
• Biến Đổi Z Của Các Dãy Nhân Quả Thường Gặp

Xem toàn bộ 272 trang tài liệu này.

(2.38)

z (z z ) (z z* ) k 0 (z z ) i1 (z z )i

pe pe pk pq

Trong đó thành phần ứng với r cực thực đơn Zpk là :

r

Xb (z) Bk

z k 0 (z zpk )

Thành phần ứng với cực thực bội zpq bậc q là :

X (z) q C

c i

i

z i1 (z zpq )

Thành phần ứng với cặp cực phức liên hợp

o

zpe và pe

z

*

o

là :

X (z) E E*

e 

pe pe

z (z z ) (z z* )

Với RC Xz:z

 max zpk

, từ hàm Xb(z), nhận được thành phần xb(n):

N

x (n) IZT[ X (z)] B zn u(n)

(2.39)

Các hệ số Ci

b b k pk k 0

ứng với cực thực bội zpq được xác định như sau:



1 d (qi )

X (z) q 

Ci (q i)! dz(qi ) z

(z zpq ) 

z zpq

(2.40)

Với RC Xcz:z 

zpq

, từ hàm Xc(z) nhận được thành phần xc(n):

q

xc(n) IZT XczCi

i1

n(n 1)....(n i 1) (i 1)!

.zpq 

(ni )

.u(n)

(2.41)

Các hệ số phức

z

pe

o

o

E và

o

E* ứng với cặp cực phức liên hợp

zpe và

* . Ta chỉ cần

xác định

E theo biểu thức:

o X (z) j

E z

(z zpe )

z zpe

Ee e

Theo lý thuyết hàm biến số phức thì

f (z*) 

f * (z) , nên ta có :

X (z) (z z* )

o

pe

Eeje

z

pe 

zz* E*

X (z)

Ee je

Eeje

Do đó có:

e

pe pe

z (z z ) (z z* )

Vậy:

X (z) Ee je z

Eeje z

pe pe

e (z z ) (z z* )

với

RC Xez:z 

zpe

, từ hàm Xe(z) nhận được hàm gốc xe(n):

e e pe pe

x (n) IZT X

(z)Ee je (z

)n u(n) Eeje (z*

)n u(n)

x (n) Ee je (| z | .e jp )n u(n) Eeje (| z

| .ejp )n u(n)

e pe pe

xe (n) E | zpe

|n u(n) (e je .e jnz 

e j (np e ) 

.eje .ejnz )

ej (np e ) 

x (n)  2E | z |n u(n) 

(2.42)

2

e pe



Vậy:

x (n) IZT X (z) 2E | z |n u(n).cos(n)

(2.43)

e e pe p e

o

Trong đó hệ số phức E Ee je

Từ đó, theo tính chất tuyến tính của biến đổi Z nhận được:

x(n) IZT X (z)xe (n) xb (n) xc (n)

(2.44)

Trong đó, xb(n) được xác định theo (2.39), xc(n) được xác định theo (2.41) và

xe(n) được xác định theo (2.42).

Ví dụ 5:

Cho:

X (z) 

z(z  2,5) (2z 1)2

Hãy tìm x(n) bằng phương pháp khai triển thành phân thức tối giản.

Giải:

Vì đa thức ở mẫu có

a0  2  1 nên phải nhóm thừa số 2 ra ngoài. Để nhận được

dãy x(n) dạng không trễ, phân tích hàm :

X (z) 

z

(z  2,5)

4(z  0,5)2

C1

(z  0,5)

C2

(z  0,5)2

Trong đó các hệ số được xác định như sau:

C d

X (z) (z  0,5)2 

d  (z  2,5)  1

1 dz z

z 0,5

dz 

4 

z 0,5 4

C X (z) (z  0,5)2 

 (z  2,5) 

 0,5  2,5  1

2 z

z 0,5 

4

z 0,5 4 2

Thay giá trị các hệ số trên vào biểu thức ta nhận được :

X (z)  1 1  1 1

z 4 (z  0,5) 2 (z  0,5)2

X (z)  0, 25 z

 0,5z

(z  0,5) (z  0,5)2

Vì x(n) là dãy nhân quả nên với

RC Xz:z  0,5

Hay :

x(n)  0, 25.0,5nu(n) n0,5nu(n)

x(n)  2n u(n)(0, 25 n)

2.3. Các tính chất của biến đổi Z

2.3.1. Tính chất tuyến tính

Hàm biến đổi Z của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm biến đổi Z thành phần.

Nếu :

Thì :

ZT xi(n)Xi(z)

với

RC Xiz:Ri | z | Ri

Y (z) ZT y(n) A x (n)A X (z)

(2.45)

Với:

i i i i

i i

RC Yz:Ry | z | Ry

Trong đó

Ry max[Ri] và

Ry min[Ri]

Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao miền hội tụ của các hàm Xi(z).

Ví dụ :

Cho

xnanunanun  2;

a  0

Hãy xác định hàm X(z).

Giải:

Đặt

x nanu n;

a  0

1

x2

Ta có:

nanu n  2;

a  0

1

X (z) ZT[anu(n)] 

n

z

z a

với

a2

RC X1

z:z a

và :

X 2 (z) ZT[a u(n 2)] 

z(z a)

với

RC X2z:z a

Theo tính chất tuyến tính có :

z a2

X (z) X1(z) X 2 (z) 



z a z

(z a)

z2 a2

X (z) 

z(z a)

z a z

1az1

với

RC X z:z  0

Tổ hợp tuyến tính của X1(z) và X2(z) đã tạo cho X(z) điểm không z0 = a để loại trừ điểm cực zp = a của cả X1(z) và X2(z), do đó miền hội tụ của Y(z) được mở rộng.

2.3.2. Tính chất trễ

Khi dịch trễ dãy x(n) đi k mẫu thì biến đổi Z của nó được nhân thêm thừa số Z-k.

Nếu:

Thì:

ZT[x(n)] X (z)

với

RC Xz:Rx

z Rx

Y (z) ZT y(n) x(n k)zk X (z)

(2.46)

Với RC Y z RC X z , trừ điểm z = 0 nếu k > 0 và điểm z =  nếu k < 0

Ví dụ:

Tìm biến đổi Z ngược :

N

X (z) ZT[ rect (n)]

Giải:

Ta có:

rect (n) u(n) u(n N )

N

ZT[u(n)] z

(z 1)

với

RC Xz:z  1

Sử dụng tính chất tuyến tính và tính chất trễ nhận được :

N

ZT[ rect

(n)] ZT[u(n)] ZT[u(n N )] 

N

(zN1)

z

(z 1)

zN

z

(z 1)

Vậy:

ZT[ rect (n)] 

z( N 1) (z 1)

với

RC Xz:z  1

2.3.3. Nhân với dãy hàm mũ an

Khi nhân dãy x(n) với thừa số an thì hàm biến đổi Z của nó bị thay đổi tỷ lệ (bị nén nếu a > 0, dãn nếu a < 0).

Nếu:

ZT[x(n)] X (z) với RC X z: R

z R

Thì:

với:

Ví dụ:

x

Y (z) ZT[ y(n) an x(n)] X (a1z)

RC Yz:| a | Rx | z |  | a | Rx

x

(2.47)

Cho các dãy sau đây:

1

a. x n 2n u n

b. x2

n 3n2n u n

1 n

c. x3

n

3



2n u n



d. x4 n



1 u n





j 

e 2 

Tìm các biến đổi Z tương ứng.

Giải:

Trước tiên ta tìm X1(z) sau đó áp dụng tính chất nhân với dãy hàm mũ để tìm

X 2 z, X 3 zvµ

X 4 z.



a. X1 z 2 u nz 2 z

n n n n

n

 1

1 2z1

n0

z  2

zp1 = 2

z

b. X

zX

z 3

z  3 .2

2 1 3 z

 2 3

z z  6

z  6

zp2 = 6

z

c. X

z X 

z 

1 / 3

z  1 / 3 .2

3 1 1 / 3 z

 2 1 / 3

 3z z  2

z 2

3z  2 3

p13

z 

j 

d. X 4 z X1 X1 ze 2 



e j 2 

j 

j

ze 2

j 

z e 2

2 hay

z  2

ze 2  2

j 

zp1  2e 2

Nhận xét:

- Nếu a là một số thực dương, việc đổi biến Z thành z

a

tương ứng với việc đưa

gần vào gốc tọa độ (a < 1) hoặc kéo ra xa khỏi gốc tọa độ (a > 1) vị trí các điểm cực và các điểm không theo các đường bán kính.

- Nếu a thuộc loại

e j0

thì việc đổi biến Z thành z

a

tương ứng với việc quay đi

một góc 0

vị trí các điểm cực và các điểm không theo vòng tròn có tâm là gốc tọa độ.

- Ta có thể nói rằng việc nhân dãy đã cho với một dãy hàm mũ an

thay đổi vị trí các điểm cực và các điểm không của biến đổi Z.

2.3.4. Đạo hàm của biến đổi Z

Nếu:

cho phép

Thì:

ZT[x(n)] X (z) với RC X z  : Rx

dX ( z)

z Rx

Y (z) ZT y(n) n.x(n)z.

dz

(2.48)

với:

Ví dụ:

RC Yz:Rx

z Rx

Hãy tìm biến đổi Z của các dãy sau :

a. x1(n) n.u(n)

2

b. x (n) n.anu(n)

Giải:

a. Sử dụng tính chất đạo hàm đối với

x1(n) n.u(n) nhận được :

ZT[n.u(n)] z. d

z z

với

RC : z  1

dz z 1

(z 1)2

b. Sử dụng tính chất đạo hàm đối với

x1(n) n.u(n)

, nhận được :

ZT[n.anu(n)] z. d z 

a.z

với

RC : z a



dz  (z a) 

(z a)2

2.3.5. Tích chập của hai dãy

Hàm biến đổi Z của tích chập hai dãy bằng tích hai hàm biến đổi Z thành phần.

Nếu:

ZT[x1(n)] X1(z)

với

RC X1z:R1

z R1

và :

ZT[x2 (n)] X 2 (z)

với

RC X2z:R2

z R2

Thì :

với:

Y (z) ZT y(n) x1(n) * x2 (n)X1(z).X 2 (z)

RC Yz:max[Ri] | z |  min[Ri]

(2.49)

Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao các miền hội tụ của các hàm Xi(z).

Ví dụ:

Tìm đáp ứng ra y(n) của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có đặc tính xung

2

h(n) 2n rect (n 1) với kích thích vào là

3

Giải:

x(n) u(n) .

Theo biểu thức biến đổi Z thuận ta có :



2

H z ZT h(n)2n rect

n

(n 1).zn

2n zn n1

Hay :

H zZT h(n) 2z1  22 z2  23 z3

Mặt khác:

Do đó :

X (z) ZT[u(n)] 

Y (z) X (z)H (z) 

z

(z 1)

z

(z 1)

(2z1  22 z2  23 z3 )

Y (z)  2z1 z  4z2 z  9z3 z

(z 1) (z 1) (z 1)

Áp dụng các tính chất trễ, tuyến tính nhận được :

Y (z) ZT[2u(n 1)] ZT[4u(n  2)]ZT[9u(n  3)]

Lấy biến đổi Z ngược tìm được đáp ứng ra y(n):

y(n) IZT[Y (z)]  2u(n 1)  4u(n  2)  9u(n  3)

Hay :

0 víi



y(n) 2 víi



6 víi

n 0 n 1 n 2

Kết quả đúng như tính trực tiếp tích chập ở chương một. So với tính trực tiếp, tính tích chập qua biến đổi Z không những dễ thực hiện hơn, mà còn luôn luôn nhận được biểu thức toán học của y(n).

2.3.6. Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả

Nếu x(n) là dãy nhân quả và

X (z) ZT[x(n)]

Thì:

lim X zx 0.



z

Ví dụ:

Cho:

a. X1 z 

b. X 2 z 

z4

z 1 2z3 z 1

Hãy tìm giá trị đầu của dãy x1(n) và x2(n).

Giải:

a. X1 z 

z4

z 1

1

z3 X

z

z

z 1

 lim z3 X

z  lim z 1

z 1

zz 1

Vậy ta thu được kết quả sau:

x1 3 1 và x1(n) = 0 với n < -3

2z3 4 2z

b. X 2 z 

z 1

z X 2 z 

z 1

 lim z4 X

z  lim 2z  2

z 2

Kết quả ta có:

zz 1

x2 4 2

2.3.7. Tích của hai dãy

và x2(n) = 0 với n < 4

Nếu:

và: Thì:

ZT[x1(n)] X1(z)

ZT[x2 (n)] X2 (z)

với với

RC X1z:R1

RC X2z:R2

z R1z R2

Y (z) ZT y(n) x1(n)x2 (n)

1 z 

j2Ñ

1 

X X 2

C 

().1d

(2.50)

với:

RC Y z : maxRi

z  minRi

Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao các miền hội tụ của X1(z) và X2(z). Đường cong kín C của tích phân phải bao quanh gốc tọa độ và thuộc miền hội tụ của cả X1(z) và X2(z) trong mặt phẳng phức.

2.3.8. Tương quan của hai tín hiệu

Nếu: Thì:

ZT[x(n)] X (z) và

ZT[ y(n)] Y (z)

R (z) ZT[r

(m)] X (z)Y (z1)

(2.51)

xy xy