Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số

Bài 2.27

Cho hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân sau:

y(n)  0.7 y(n 1)  0.12y(n  2) x(n 1) x(n  2)

và tín hiệu vào x(n)=nu(n)?

Xét tính ổn định của hệ thống? Tính đáp ứng của hệ thống?

Bài 2.28

Cho hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân sau:

y(n) 5y(n 1)  6 y(n  2) x(n) 1 x(n 1)

Có thể bạn quan tâm!

• Ứng Dụng Biến Đổi Z Trong Xử Lý Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc
• Giải Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính Hệ Số Hằng Dùng Biến Đổi Z
• Biến Đổi Z Của Các Dãy Nhân Quả Thường Gặp
•    E J ( N  1)   E J ( N  3)    D 
• Phổ Tần Số Của Hàm Tương Quan Và Hàm Tự Tương Quan
• Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Tín Hiệu Tuần Hoàn Có Chu Kỳ N.

Xem toàn bộ 272 trang tài liệu này.

2

biết rằng y(n)=0 với n < 0 và x(n)  2n

Sử dụng biến đổi Z tìm đáp ứng của hệ thống.

CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ

Bên cạnh biến đổi Z, một công cụ toán học khác cũng rất quan trọng và hữu hiệu thường được dùng trong việc phân tích và tổng hợp các hệ thống tuyến tính bất biến, đó là chuỗi và biến đổi Fourier. Ở đây, tín hiệu được phân giải thành các thành phần hình sin (hoặc mũ phức). Do đó, ta nói tín hiệu được biểu diễn trong miền tần số. Biểu diễn toán học cơ bản của tín hiệu tuần hoàn là chuỗi Fourier. Nội dung chương này được bắt đầu từ việc biểu diễn các tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn liên tục theo thời gian dưới dạng chuỗi và biến đổi Fourier tương ứng, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) của một tín hiệu tuần hoàn, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) của một dãy hữu hạn.

Sau đây ta sẽ quan sát các hình ảnh tương quan giữa các miền đã học: miền thời gian rời rạc n, miền Z với miền tần số ω như hình vẽ dưới đây:

Miền n

IZT

ZT FT

IFT

Miền Z

Miền

Quan hệ giữa ZT và FT

Hình 3.1. Quan hệ giữa miền tần số và các miền khác.

Việc ánh xạ tín hiệu từ miền thời gian rời rạc sang miền tần sốđược thực hiện nhờ biến đổi Fourier và ngược lại việc ánh xạ tín hiệu từ miền tần số ω sang miền thời gian rời rạc được thực hiện nhờ biến đổi Fourier ngược.

Ký hiệu:

FT: Fourier Transform (Biến đổi Fourier)

IFT: Inverse Fourier Transform (Biến đổi Fourier ngược)

Trong chương này chúng ta cũng thấy sự liên quan giữa biến đổi Z và biến đổi Fourier và việc chuyển đổi giữa chúng.

3.1. Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc

3.1.1. Định nghĩa biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier (Fourier Tranform: FT)

Biến đổi Fourier của một tín hiệu

x nđược định nghĩa như sau:

Ký hiệu toán tử:

X (e j) 





x(n)ejn

n

(3.1)

FT x(n)X e j

xnFT X e j

(3.2)

Ta thấy rằng

e j

 cos

j sin 

tuần hoàn với chu kỳ 2π, do vậy khi thể

hiện

X e jta chỉ cần thể hiện với dải từ 0 đến 2π hoặc từ -π đến π rồi lấy tuần hoàn.

* Các cách thể hiện X e j

Biểu diễn theo phần thực phần ảo:

Bởi vì X e jlà một hàm biến phức nên ta có thể biểu diễn nó trong miền tần

số ω dưới dạng phần thực và phần ảo như biểu thức dưới đây:

R I

X (e j) X () jX ()

Theo công thức Euler có :



(3.3)

X (ej) x(n)ej.n n

Hàm phần thực :

x(n) cos(n) j sin(n)

n



(3.4)

R

X () Re[X (ej)] x(n) cos(n)

n

(3.5)

Hàm phần ảo :



I

X () Im[X (ej)] x(n)sin(n)

n

(3.6)

Đây là dạng biểu diễn quen thuộc của số phức. Biểu diễn theo Modul và Argument:

X (ej) 

Modul :

X (ej) ej()

X (ej) 

(3.7)

(3.8)

X 2() X 2()

R

I

Argumen :

() arg X (e j)arctg X I () 

(3.9)

X





R

() 

X (e j)

được gọi là phổ biên độ tần số. Phổ biên độ tần số là hàm chẵn và đối

xứng qua trục tung :

X (e j) 

X (ej) .

()

được gọi là phổ pha tần số. Phổ pha tần số là hàm lẻ và phản đối xứng

qua gốc toạ độ: () () .

Biểu diễn theo độ lớn và pha:

X (e j) A(e j)e j() 

A(e j) e j()

(3.10)

Hàm độ lớn A(ej) có thể nhận các giá trị dương hoặc âm, và :

A(e j) 

X (e j)

(3.11)

Còn : Hàm pha :

arg[A(e j)] () ()

() () arg[A(e j)]

(3.12)

(3.13)

Với

arg[A(e j)] phụ thuộc vào dấu của hàm

A(e j) như sau :



arg[ A(e j)] 2k



Khi A(e j) 0; k  0, 1, 2...

Khi A(e j) 0

(3.14)

Một cách tổng quát, có thể viết :

j

arg[ A(e j)]  2k

A(e )

1





2 A(e j) 

(3.15)

 2k

2





1SgnA(e j)

Ví dụ 1:

Cho phổ của tín hiệu

x nnhư sau:

X (e j) ejsin 4

a. Hãy biểu diễn phổ này ở dạng:

- Phần thực, phần ảo

- A(e j),()

- X (e j) ,()

b. Hãy biểu diễn bằng đồ thị

Giải:

A(e j),() , X (e j) ,() trong đoạn 0, 2

a. Từ biểu thức đã cho của đầu bài ta có:

X (e j)  sin 4ej

 sin 4(cosj sin )

 sin 4cosj sin 4sin )

Vậy phần thực là: sin 4cos

Phần ảo là: - sin 4sin

X (e j)  sin 4ejA(e j)e j()

A(e j)  sin 4

() 

X (e j) 

Vì () () arg[A(e j)]

A(e j)  sin 4



() 



víi sin40 víi sin40

b. Đồ thị của hình 3.2.

A(e j),() , X (e j) ,() trong đoạn 0, 2được cho trên

A(e j)

1

0 2

-1 4 2

1

X (e j)

0 2

4 2



 2

2



0





2







Hình 3.2.

A(e j),() , X (e j) ,() trong đoạn 0, 2.

Tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu kỹ hơn về biến đổi Fourier rời rạc thông qua các ví dụ sau:

Ví dụ 2:

Hãy tìm biến đổi Fourier các dãy sau đây:

a.x1nn 3n 3

b. x2 nu(n)

3

c.xn 2nu(n  2)

4 4

d.1n

x n



u(n  4)

5 0

e.xn0,5ncosnun



1n

f. x6

n 3 

0





Giải:

n= 0,2,4…

Với các trường hợp khác

a. Tìm biến đổi Fourier của chuỗi x1 n



1 1



Xejxnejn n

[n 3n 3]ejn n



n 3ejn n 3ejn

n

e3 je3 j

n

b. Tìm biến đổi Fourier của chuỗi x2 n



2 2

X e jx

n

nejn



unejn 

ejn

n

Chuỗi này không tồn tại vì Fourier.

ejn

n0

 1. Vậy ta nói chuỗi

x2 nkhông có biến đổi

c. Tìm biến đổi Fourier của chuỗi x3 n



X e jx

nejn

3 3

n

n

2nun 2ejn 2ej

nn2

Vì2ej 2  1

nên chuỗi

2ejn2

không hội tụ. Vậy ta nói chuỗi

x2 n



n

không có biến đổi Fourier.

d. Tìm biến đổi Fourier của chuỗi



x4 n

4 4

X e jx

n

nejn

1 n



1 n



n 4 

un 4ejn 

n4  4e j





14

X e j

4e j

4 1 1

4e j

1

4e j

Vì 1  1

4

e. Tìm biến đổi Fourier của chuỗi Vì:

x5n

e j

 cos

j sin

ej cosj sin

5 0

xn0,5ncosnun

2

10,5nej0nej0nun

10,5nej0nun10,5nej0nun

2 2



5 5

X e jx

n

nejn







10,5nej0nun10,5nej0nunejn

n 2 2 

0 0

10,5e j () n10,5ej () n

2 n0

 1 1

2 n0

1 

2 1  0,5e j (0 )

1  0,5ej (0 )

f. Tìm biến đổi Fourier của chuỗi x6n



X e jx

nejn

6 6

n



1n

x

nejn 

ejn

6

n0,2,4

n0,2,4  3 

Đặt n=2m (Với m nguyên dương)



1 2 m



1 m1



X e j

6 m0  3e j

2 j

m0  9e 

1

1 9e2 j

1

9e2 j

Vì 1  1

9

Như vậy, thông qua các ví dụ trên chúng ra thấy rằng không phải đối với tín

hiệu trời rạc

x n

nào cũng thực hiện được biến đổi Fourier, rò ràng phải có một điều

kiện để cho biến đổi Fourier tồn tại.

3.1.2. Sự tồn tại của biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier của một dãy





n

x nsẽ tồn tại nếu và chỉ nếu:

x(n) 

(3.16)

(Có nghĩa là chuỗi





n

x(n)

hội tụ)

 2

Từ đó suy ra: Ex= 

n

x(n) 

(3.17)

Nói cách khác phép biến đổi Fourier luôn hội tụ với các tín hiệu có năng lượng hữu hạn.

Ví dụ:

Hãy xét sự tồn tại và tìm biến đổi Fourier của các dãy sau :

a. 2n u(n)

b. 2n u(n)

c. (n)

Giải :

d. (n k)



e. rectN (n)



a. 

n

2n u(n)

2n 

n0

Hàm 2nu(n) không thoả mãn (3.16) nên không tồn tại biến đổi Fourier.



b. 

n

2n

u(n)



2n

n0

1 2

1 21





Hàm 2-nu(n) thoả mãn (3.16) nên tồn tại biến đổi Fourier :

FT[2n



u(n)] 2n

u(n).e

j.n 

2n

ej.n

2

1.e

jn

n

n0

n0