Tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy môn toán đại số nâng cao 10 - thpt

0,375>0,333>0,327

Do đó ta cử 15 nữ yếu đi gặt và 10 nữ khoẻ đi bó thì lợi nhất. Còn số nam chia làm hai tốp: một tốp đi gặt và một tốp đi bó sao cho số lúa gặt được và số lúa bó được của cả hai đội bằng nhau.

Gọi x là số nam đi gặt thì số nam đi bó sẽ là 20-x. Ta có phương trình 1,5.15+2x=5,5.10+6(20-x)

Giải phương trình trên và làm tròn nghiệm chỉ lấy phần nguyên ta được giá trị 19. Như vậy phương án tối ưu là:

15 nữ yếu và 19 nam đi gặt 10 nữ khoẻ và 1 nam đi bó.

Cũng như PT, HPT, BPT một ẩn, bất PT bậc nhất hai ấn là một nội dung toán học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Đặc biệt trong lĩnh vực giải các bài toán kinh tế. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Qui hoạch tuyến tính. Nó giúp cho các nhà kinh tế tìm ra được phương án, kế hoạch tổ chức sản xuất sao cho có lợi nhất.

Trước khi đưa ra những ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cần cho học sinh nắm vững nội dung liên quan đến vấn đề này, đặc biệt là nội dung hai định lý sau:

Định lí 1: Trong mặt phẳng toạ độ, đường thẳng (d):ax+by+c=0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d) gồm các điểm có toạ độ thoả mãn bất phương trình ax+by+c>0, nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d) gồm các điểm có toạ độ thoả mãn bất phương trình ax+by+c <0.

Định lý 2: Cho biểu thức F=ax+by (b 0) và một miền đa giác lồi (s), kể cả biên, trong mặt phẳng tọa độ oxy. Khi đó F đạt giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) tại một trong các đỉnh của (s).

Khi học sinh nắm được nội dung hai định lí, biết cách xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta cho các em thấy được vai trò thực tiễn của vấn đề này thông qua một số bài toán kinh tế sau:

Bài toán 2: một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I và II.

Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại II cần dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy M2 một ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ. Hãy đặt kế hoạch sản xuất sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.

- Đại lượng cần quan tâm: lượng (tính bằng tấn) sản phẩm loại I và II sản xuất được.

- Tổng tiền lãi thu được: 2 triệu x lượng sản phẩm loại I + 1,6 triệu x lượng sản phẩm loại II.

- Để có 1 tấn sản phẩm loại I cần : máy M1 làm 3giờ + máy M2 làm 1 giờ.

- Để có 1 tấn sản phẩm loại II cần: Máy M1 làm 1 giờ + Máy M2 làm 1 gìơ.

- Như vậy ta có thể biết được thời gian làm việc của từng máy để làm ra được sản lượng của sản phẩm theo kế hoạch nào đó.

Khi đó học sinh sễ nhận ra rằng: Bắt đầu bằng việc đặt ẩn số cho hai đại lượng chưa biết là Sản phẩm loại I, II. Các yếu tố khác sẽ được biểu thị qua hai ẩn số này. Cụ thể là:

Gọi sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất theo kế hoạch trong một ngày

lần lượt là x,y (x

0, y

0) .

Số tiền lãi thu được là: L= 2x +1,6y

Để có được số lượng hai sản phẩm như trên máy M1 cần làm việc trong 3x+y (giờ) và máy hai cần làm việc trong x+y (giờ)

Máy M1 làm không quá 6 giờ trong một ngày nên: 3x+y 6

Máy M2 làm không quá 4 gìơ trong một ngày nên: x+y 4

Ta có mối quan hệ ràng buộc giữa x,y cho bởi hệ bất phương trình sau:

3x y 6

x y 4

x 0

y 0

Bài toán trở thành giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, tìm nghiệm (x0,y0) sao cho L = 2x + 1,6y lớn nhất.

Khi x=1 và y=3.

Vậy để có lãi xuất cao nhất, mỗi ngày cần sản xuất 1tấn sản phẩm loại I và 3 tấn sản phẩm loại II.

Bài toán 3. Một hộ nông dân định trồng đậu và trồng cà trên diện tích 8a. nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu được 3000000 đồng trên mỗi a, nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4000000 đồng trên mỗi a. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiêu tiền nhất khi tổng số công không quá 180

Gợi ý.

đại lượng quan tâm diện tích trồng đậu và cà ; Tổng số tiền thu khi số thời gian liên quan đến công (ngày).

Gọi x là diện tích trồng đậu,

Y là diện tích trồng cà, (đơn vị a=100m2), điều kiện: x>0,y>0, ta có x+y 8 Số công cần dùng là 20x+30y 180 hay 2x+3y 18.

Số tiền thu được là: F= 3000000x+4000000y (đồng). Hay F= 3x +4y (triệu đồng).

Ta cần tìm x,y thoả mãn hệ bất phương trình:

x y 8

2x 3y 18

x 0

(I)

y 0

Sao cho F= 3x+4y đạt giá trị lớn nhất.Biểu diễn tập nghiệm của hệ trên (I) ta được miền tứ giác OABC vớiA(0;6); B(6;2); C(8;0) và O(0;0) trên hình vẽ.

Ta xét các giá trị của F tại các đỉnh O,A,B,C và so sánh ta suy ra x=6; y=2 (toạ độ điểm B) là diện tích cần trồng mỗi loại để thu được nhiều tiền nhất là F=26 (triệu đồng).

Bài toán 4: Một nông dân có A sào đất để canh tác, ông ta dự định trồng khoai tây và lúa. Ông ta cũng có một lượng phân bón là F và một số tiền vốn để mua giống là P, chi phí tương ứng cho hai loại cây trồng trên là (F 1,P1) cho khoai tây và (F2,P2) cho lúa. Giả sử thu hoạch qui ra tiền. Cho mỗi sào khoai tây là S1, cho mỗi sào lúa là S2. Nếu dành để trồng khoai tây x1 sào và lúa x2 sào, thì bài toán chọn số sào trồng khoai tây và trồng lúa là bài toán qui hoạch tuyến tính sau đây, cực đại hoá hàm S1x1 +S2x2 (hàm mục tiêu cực đại)

Với các ràng buộc

x1 F1 x1 P1 x1

x2 A

F2 x2 F

P2 x2 P

x1 0, x20

2.2.4.Chương V:Thống kê

A.Tóm tắt kiến thức cơ bản

- Các khái niệm: Tần số, tần xuất, bảng phân bố tần số - tần xuất, bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp.

- Các biểu đồ tần số, tần xuất hình cột, tần xuất hình quạt, đường gấp khúc tần số, tần xuất.

- Công thức tính số trung bình, số trung vị, mốt phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.

B. Các ví dụ và bài toán có nội dung thực tế được ứng dụng trong lí thuyết và bài tập .

Ngay từ trường THPTCS học sinh đã được làm quen với một số toán ứng dụng: Tính gần đúng, sơ đồ, biểu đồ, một số bài tập về giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, Phần thống kê được biên soạn theo chương trình phân ban THPT ngay từ năm lớp 10. Nó có vị trí rất quan trọng trong đời sống ngày nay, thống kê đang ngày càng trở nên thân thiết và quan trọng đối với mọi ngành kinh tế xã hội. Thống kê giúp ta phân tích các số liệu một cách khách quan và rút ra được

nhiều thông tin ẩn chứa trong các số liệu trên cơ sở phân tích các số liệu chúng ta mới có thể đưa ra được những dự báo và quyết định đúng đắn. Vì thế thống kê cần thiết cho mọi lực lượng lao động, đặc biệt rất cần cho các nhà quản lí, hoạch định chính sách. Ngay từ đầu thế kỉ XX, nhà khoa học người Anh H.G.vvell d ự báo: “ Trong một tương lai không xa, kiến thức thống kê và tư duy thống kê sẽ trở thành một yếu tố không thể thiếu được trong học vấn phổ thông của mỗi công nhân, giống như là khả năng biết đọc biết viết vậy.”

*Ứng dụng trong lí thuyết: Thống kê là khoa học về các phương pháp thu nhập, tổ chức, trình bày, phân tích và sử lí số liệu. Thống kê có vai trò rất quan trọng trong thực tiễn, chúng ta tìm thấy các ứng dụng của thông kê qua các các hoạt động được thông qua các bài toán trong thực tiễn rất gần gũi với các em như sau:

Ví dụ 1: Khi có kết quả kỳ thi của môn toán của học sinh lớp 10A1.. Tính xem số điểm giỏi, số điểm khá, số điểm trung bình, số dưới trung bình, mỗi mức chiếm bao nhiêu?

Để làm được bài toán trên HS phải thực hiện các hoạt động: Ghi lại toàn bộ điểm của các bạn trong lớp.

Phân loại các mức điểm.

Đếm xem mỗi điểm có bao nhiêu bài.

Lấy số bài trong mỗi mức điểm chia cho sĩ số của lớp sẽ được tỉ lệ % của mức điểm đó.

Nhận thấy: trong bài toán trên HS phải nhập các số liệu (ghi lại điểm của các bạn trong lớp) phân loại các mức điểm và tính %.

Ví dụ 2: Để chuẩn bị may đồng phục cho HS vào năm học mới, người ta đo chiều cao của 38 HS trong một lớp học và thu được các số liệu thống kê như sau:

Chiều cao của 36 HS (đơn vị :cm)

158

152	156	158	168	160	170	166	161	172	173	160
150	167	165	163	158	162	169	159	163	161	160	164
164	159	163	155	163	165	154	161	164	164	152	151

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 128 trang tài liệu này.

Hãy xác định số lượng quần áo may cho mỗi “kích cỡ” từ 150cm đến 156cm, từ 156cm đến 162cm, từ 162cm đến 168cm, từ 168cm đến 174cm và tính % từng số lượng đó.

Nhận thấy: Ở bài toán trên học sinh có sẵn số liệu và HS cần làm sử lý số liệu đó.

Thống kê có vai trò rất quan trọng trong mọi lĩnh vực của cuộc sống thể hiện như kinh tế, chính trị, xã hội…

Thống kê là một trong những công cụ quản lí vĩ mô quan trọng cung cấp các thông tin, thống kê trung thực khách quan chính xác đầy đủ kịp thời trong việc đánh giá, dự báo tình hình, hoạch định chiến lược, chính sách xây dựng kế hoạch phát triển kinh tế, xã hội và đáp ứng được nhu cầu thông tin thống kê của các tổ chức cá nhân.

*Ứng dụng trong bài tập

Các khái niệm khác liên quan đến khoa học thống kê như tần số, tần xuất, biểu đồ, số trung bình, số trung vị, mốt , phương sai và độ lệch chuẩn đều có ý nghĩa rất thực tế trong công tác nghiên cứu, sử lí số liệu, chúng ta có những điều chỉnh, những định hướng cần thiết trong học tập, trong công tác quản lí, kinh doanh …Qua một số bài tập sau học sinh sẽ thấy rõ điều này.

Bài toán1: Tuổi thọ của 30 bóng đèn đều được thắp thử cho bảng sau:

Tuổi thọ (giờ)

Tần suất %

1150

1160

1170

1180

1190

Cộng

100%

Dựa vào bảng nhận xét tuổi thọ của bóng đèn. Qua đây nhận thấy trong 30 bóng đèn được thắp thử ta thấy.

- Chiếm tỉ lệ thấp nhất (10%) là những bóng đèn có tuổi thọ 1150 giờ hoặc bóng đèn có tuổi thọ là 1190 giờ.

-Chiếm tỉ lệ cao nhất (40%) là những bóng đèn có tuổi thọ 1170 giờ.

Bài toán 2: Người ta chọn một số bút bi của hai hãng sản xuất A và B và thử xem một bút sau bao nhiêu giờ thì hết mực kết quả như sau (đơn vị giờ):

Loại bút A: 23 25 27 28 30 35

Loại bút B: 16 22 28 33 46

a/ Tính số trung bình và độ lệch chuẩn về thời gian của mỗi loại bút.

b/Giả sử hai loại bút A và B có cùng một giá. Dựa vào sự khảo sát trên, ta nên qui định mua loại bút nào?

Nếu tính trung bình của từng loại bút thì A và B loại nào tốt hơn.

Nhận thấy khái niệm về phương sai, độ lệch chuẩn sẽ cho ta câu hỏi đó.

Nghĩa là phương sai độ lệch chuẩn là đại lượng đo mức chênh lệch giữa các giá trị của mẫu số liệu so với số trung bình.

Sau khi tính toán có loại bút A: số trung bình 28 giờ, độ lệch chuẩn 3,83. Sau khi tính toán có loại bút B: số trung bình 29 giờ, độ lệch chuẩn 10,24 giờ.

Loại bút B có thời gian sử dụng trung bình lâu hơn, tuy nhiên độ lệch chuẩn của loại B lớn hơn nên chất lượng của bút B không đồng đều.

Nếu không may bạn có thể mua phải chiếc bút có thời gian sử dụng rất thấp.

Tóm lại: Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán càng cao.

Nói chung, số trung bình thường hay được sử dụng để làm đại diện cho mẫu số liệu. Tuy nhiên, tuỳ từng yêu cầu cụ thể mà người ta quan tâm tới việc dùng đại diện nào. Trong một số tình huống, dùng mốt hay số trung vị làm đại diện thì hợp lí hơn.

Bài toán 3: Một cửa hàng đồ điện tử gia dụng bán năm loại ti vi với giá tiền mỗi chiếc tương ứng là 1;2;3;4;5 (triệu đồng). Trong năm vừa qua có 1285 lượt khách mua các mặt hàng trên với bảng số liệu sau:

Giá tiền

1 2 3 4 5
Số chiếc bán được	256 350 500 104 75

Số trung vị xấp xỉ là 2,527 triệu đồng, mốt là 3 triệu đồng.

Qua ví dụ trên một chiếc ti vi ở cửa hàng được bán với giá trung bình 2,527 triệu đồng. Cụm thuế thì quan tâm nhất tới giá trị này để xác định doanh thu của cửa hàng . Song điều mà người chủ hàng quan tâm lại là: loại ti vi nào nhiều người mua nhất? Đó là loại ti vi giá 3 triệu đồng. Như vậy, điều mà người chủ hàng quan tâm nhất là mốt của số liệu trên.

Bài toán 4: Một công ty tư nhân thuê sáu người A,B,C,D,E,F với mức lương hàng tháng như sau ( đơn vị :USD; F là giám đốc điều hành):

Nhân viên

A B C D E F
Tiền lương	56 60 70 120 120 450

Lương trung bình của mỗi nhân viên là 146 USD. Tuy nhiên, con số này không thể lấy làm đại diện cho mức lương trung bình của công ty vì nó cao hơn lương của tất cả năm người nhân viên chỉ trừ giám đốc.

70 120

Số trung vị Me =

= 95 (USD)

Số trung vị mới phản ánh tốt mức lương trung bình của công ty.

+ Kỹ năng dựng biểu đồ, đọc biểu đồ, hiểu được ý nghĩa các số liệu biểu diễn trên biểu đồ là vấn đề rất cần được hình thành ở HS. Hàng ngày các em có thể gặp rất nhiều, các thông tin về tình hình giáo dục, kinh tế, chính trị, xã hội bởi các biểu đồ, các em cần biết tri thức về thống kê. Để hiểu được các số liệu trong các biểu đồ đó ta nghiên cứu qua các bài tập sau: