Biết Hiệu Hai Số Và Tổng Các Bình Phương Của Chúng.

+Toán tìm số.

Bài toán1. Số trứng ở rổ thứ nhất gấp đôi số trứng ở rổ thứ hai. Nếu bớt đi 20 quả ở rổ thứ nhất và bỏ thêm 10 quả vào rổ thứ hai thì số trứng ở rổ thứ nhất

gấp

4 lần số trứng ở rổ thứ hai. Tính số trứng ban đầu ở mỗi rổ ?

Trước những bài toán thưc tế trên, điều quan trọng là phải hướng dẫn học

sinh phân tích bài toán để biết được trong bài toán có những đại lượng nào ? quan hệ giữa chúng ra sao ? toán học hoá các đại lượng và các mối quan hệ ấy ?

Trong ví dụ của bài toán trên, ta gặp các đại lượng. Số trứng ở rổ thứ nhất (chưa biết) gấp đôi số trướng ở rổ thứ hai (chưa biết) chính vì thế cần chọn ẩn là các đại lượng chưa biết.

Ta gọi số trứng ở rổ thứ nhất và ở rổ thứ hai theo thứ tự là x và y (x>y>0)

Theo bài ra quan hệ giữa số trứng thêm, bớt ở rổ thứ nhất và rổ thứ hai là bước tiếp theo là toán học hoá các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng thì tỉ số giữa số trứng ở hai rổ sau khi thêm bớt là:

x 20

y 10

4 . Từ đó ta lập hệ thống phương trình để giải.

Gọi số trứng ở rổ thứ nhất và ở rổ thứ hai theo thứ tự xvà y (x>y và x,y nguyên dương).

Theo đầu bài ta có phương trình:

x 2 y

x 20

y 10

Giải ra tìm được x=100; y=50. Thoả mãn điều kiện đầu bài, Vậy rổ trứng thứ nhất có 100 quả, rổ trứng thứ hai có 50 quả.

Bài toán2.Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng các bình phương của chúng là 157.

a/ phân tích tìm lời giải. Nếu ta đặt ẩn với cả hai số là x và y thì ta có ngay

hệ phương trình bậc hai

y 17

x2 y 2

157

Bài toán trên cố thể sử dụng kiến thức đơn giản hơn,phù hợp với đa phần học sinh, có thể chuyển sang chỉ tìm một số rồi từ đó tìm số kia sau. Vì lẽ đó ta sắp xếp và viết bài toán dưới dạng:

Số thứ nhất là x số thứ hai là 17-x

Tổng các bình phương của chúng là 157 . Khi đó ta có phương trình:

X2+(17-x)2=157. giải phương trình ta có hai số là 6 và 11

b/ Lời giải (HS tự giải)

c/Khai thác bài toán . Đây là loại toán bậc hai, để tạo những bài toán tương tự , ta có thể điều kiện, chẳng hạn

1.Biết hiệu hai số và tổng các bình phương của chúng.

2.Biết tổng hoặc hiệu hai số và tổng hoặc hiệu các nghịch đảo của hai số. Ta có thể thay đổi ẩn như tìm ba số…

Bài toán3.(bài toán cổ)

Quýt, cam mười bảy quả tươi

Đem chia cho một trăm người cùng vui Chia ba mỗi quả quýt rồi.

Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh Trăm người trăm miếng ngọt lành Quýt, cam mỗi loại tính rành là sao? Hướng dẫn giải;

Gọi x( quả) là số quả quýt và y là số quả cam. điều kiện: x,y<17;x,y N *

Theo đề bài ta có: x+y=17

Chia ba mỗi quả quýt và chia mười mỗi quả cam được một trăm miếng, nghĩa là: 3x+10y=100

Ta có hệ phương trình: x y 17

3x 10y 100

Giải hệ phương trình ta được: x=10; y=7

Hai số x và y tìm được thoả mãn điều kiện của bài toán. Vậy có 10 quả quýt và 7 quả cam.

+Toán năng xuất

Bài toán1. Hai công nhân cùng làm một công việc thì sau 5giờ 50 phút sẽ hoàn thành.Sau khi làm chung được 5 giờ thì một người phải điều đi làm việc khác nên người kia phải làm tiếp trong 2giờ nữa mới xong công việc. Hỏi nếu một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu ?

Gợi ý.

Gọi x, y là số giờ mà mỗi người phải làm một mình sẽ xong công việc thì

trong một người thứ nhất làm được

1 công việc và người thứ hai làm được

1 công việc (x>0, y>0). cả hai người cùng làm thì trong 5giờ 50 phút hay 5 5 giờ

y 6

sẽ xong công việc thì trong một giờ họ làm được 1 công việc. Từ đó ta

lập hệ phương trình để giải.

Giải:

5 5 35

Gọi số giờ mà mỗi người phải làm một mình xong công việc là x giờ, y giờ

(x>0, y>o). Thì trong một giờ người thứ nhất làm được

1 công việc, người thứ

hai làm được

1 công việc.

Cả hai người cùng làm xong công việc trong 5giờ 50 phút bằng

35 giờ. Thì

trong một giờ làm được

1 công việc hay

6 công việc, ta có phương trình:

1 1

x y 35

(1)

1 1

Trong hai giờ làm chung cả hai người làm được 5(

) công việc, và

người còn lại làm một trong hai giờ tức là làm được

2 công việc, ta có phương

trình: 5( 1

1 ) 1 (2).

y y

Theo đầu bài ta có hệ phương trình:

1 1

x y 35

5( 1 1 ) 1

x y y

Giải ra tìm được x=10, y=14 thoả mãn điều kiện bài toán.

Vậy. Nếu làm một mình thì người thứ nhất phải làm hết 10 giờ; Người thứ hai phải làm 14 giờ mới làm xong công việc.

Bài toán2. Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế gía trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng ?

Giải:

Giả sử không kể thuế VAT, người mua hàng phải trả x (triệu ) đồng cho loại hàng thứ nhất; y(triệu) đồng cho loại hàng thứ hai.

- Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể cả thuế VAT10%) là 110 x

100

(triệu) đồng, cho loại hàng thứ hai (kể cả thuế VAT 8%) là 108 y (triệu) đồng.

100

- Ta có phương trình:

110 x

100

108 y

100

2,17

1,1x+1,08y=2,17 (1)

Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tièn phải trả là

109 (x y)

100

2,18 hay 1,09x+1,09y = 2,18 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ PT ta được: x=0,5 (nhận) Y=1,5 (nhận)

1,1x

1,09x

1,08y

1,09y

2,17

2,18

Vậy nếu không kể thuế VAT thì người mua hàng phải trả 0,5 triệu đồng cho loại hàng thứ nhất và 1,5 triệu đồng cho loại hàng thứ hai.

Bài toán 3.(bài toán cổ) một người nói với bạn: “ nếu anh đưa tôi 7 đina thì tôi sẽ giàu gấp anh 5 lần”, người bạn trả lời: “ nếu anh cho tôi 5 đina thì tôi sẽ giàu gấp anh 7 lần !”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu đina ?

Hướng dẫn. bài toán có hai người khi đó gọi người đầu là x, người thứ hai là y. với điều kiện đầu bài dẫn đến hệ phương trình.

x 7 5( y 7)

y 5 7(x 5)

Giải hệ trên ta có : x= 7

2 ; y

914

Trả lời: người đầu có 7 2 đina, người thứ hai có 9 14 đina.

17 17

Bài toán này được lấy trong cuốn “liberabaci” của nhà toán học Italia leonađơ Pizaxnki phibonaxi. Ông sinh ra ở Pida, năm 117. ông đã từng giảng dạy toán học ở angie, sang phương đông làm quan với toán học ẢRập. Chính vì thế mà ông đã có dịp đối chiếu và so sánh giữa nghệ thuật tính toán Ấn độ với 9 kí tự Hindu trong tính toán, ông đã đúc kết những kiến thức “cổ kim” về toán học và quyết định viết cuốn “ Liberabaci”. Đây là tác phẩm số học và đại số gồm 15 chương, công lao vĩ đại nhất của ông đối với khoa học đó là ông là người đầu tiên ở Ấn Độ giới thiệu môn đại số và hệ thống tính toán với các nhà bác học châu Âu.

Như trên đã nói, để giải đươc các bài toán trong thực tiễn việc toán học hoá các đại lượng, các mối liên hệ (thực chất là “dịch” bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ toán học) là việc rất quan trọng, nó quyết định sự thành công hay thất bại của việc tìm kết quả đúng của bài toán.

Bài toán 4.Một thương gia hàng năm tăng tài sản lên

1 và giảm tài sản do

chi phí 100 bảng. Sau 3 năm ông nhận thấy gia tài tăng gấp đôi. Hỏi ban đầu ông có bao nhiêu tiền ?

Ta nhận thấy rằng nội dung của bài toán chứa những mệnh đề cần phải biểu thị bằng những biểu thức.

Lời nói

Biểu thức đại số

Thương gia có một số tiền

Năm đầu tiên chi phí mất 100 bảng

số dư của ông ta tăng lên 1

Năm thứ hai ông lại chi phí 100 bảng nữa và lại tăng số dư lên 1

Năm thứ ba ông lại chi phí 100 bảng

và số dư cũng tăng lên 1 hơn nữa số